Модулярная группа

Модуля́рная гру́ппа, группа $\Gamma$ всех дробно-линейных преобразований $\gamma$ вида

$$z \rightarrow \gamma(z)=\frac{a z+b}{c z+d}, \quad a d-b c=1, \tag{1}$$где $a, b, c, d$ – целые рациональные числа. Модулярная группа отождествляется с факторгруппой $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) /\{ \pm E\}$, где $E=\left\|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right\|$, и является дискретной подгруппой в группе Ли $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{R}) = \operatorname{SL}_2(\mathbb{R}) /\{ \pm E\}$. Здесь $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ [соответственно, $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$] – группа матриц $\left\| \begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right\|$, $a, b, c, d$ – действительные (соответственно, целые) числа, $a d-b c=1$.