Эргоди́ческая цепь Ма́ркова, однородная по времени цепь Маркова $\xi (t)$, обладающая следующим свойством: существуют (не зависящие от $i$) величины$$\tag{1}p_j = \lim_{t \to \infty} p_{ij} (t), \quad \sum_j p_j = 1,$$где$$p_{ij} (t) = \mathsf{P} \{ \xi (t) = j \mid \xi (0) = i \}$$– переходные вероятности. Распределение $\{p_j \}$ на множестве состояний цепи $\xi (t)$ называется стационарным распределением: если $\mathsf{P} \{ \xi (0) = j\} = p_j$ при всех $j$, то $\mathsf{P} \{ \xi (t) = j\} = p_j$ при всех $t \geqslant 0$ и $j$. Вместе с основным свойством цепи Маркова$$\mathsf{P} \{ \xi (t) = j\} = \sum_i \mathsf{P} \{ \xi (0) = i\} p_{ij} (t)$$это позволяет находить $\{p_j\}$, не вычисляя пределов в $(1)$.

Пусть$$\tau _{jj}=\min \{ t\geqslant 1 : \xi (t) =j \quad (\xi (0) = j) \}$$– момент первого возвращения в состояние $j$ (для цепи Маркова с дискретным временем), тогда$$\mathsf{E}\tau_{jj} = p_j^{-1};$$аналогичное (более сложное) соотношение имеет место для цепи Маркова с непрерывным временем.

Траектории эргодических цепей Маркова удовлетворяют эргодической теореме: если $f(\cdot)$ – функция на множестве состояний цепи $\xi(t)$, то в случае дискретного времени$$\mathsf{P}\bigg\{ \lim _{t\to \infty }n^{-1} \sum^{n}_{t=0}f(\xi (t)) = \sum_{j}p_{j}f(j) \bigg \} = 1,$$в случае непрерывного времени первая сумма в левой части заменяется интегралом.

Цепь Маркова, для которой существуют такие $\rho < 1$ и $C_{ij} < \infty$, что при всех $i$, $j$, $t$$$\tag{2} | \, p_{ij} (t) - p_j | \leqslant C_{ij} \rho^t ,$$называется геометрически эргодической. Достаточным условием для геометрической эргодичности эргодических цепей Маркова является условие Дёблина (см., например, Дуб. 1956), которое в рассматриваемом здесь случае дискретных (конечных или счётных) цепей Маркова может быть сформулировано так: существуют такие $n < \infty$ и состояние $j$, что $\underset{i}{\inf} p_{ij} (n) = \delta > 0$. Если выполнено условие Дёблина, то для констант в $(2)$ справедливо соотношение $\sup\limits_{i,j} C_{ij} = C < \infty$.

Необходимым и достаточным условием геометрической эргодичности счётной цепи Маркова с дискретным временем является следующее (см. Попов. 1977): существуют такие числа $f(j)$, $q < 1$ и конечное множество $B$ состояний цепи, что$$\begin{array}{cc} {\mathsf E} \{ f (\xi (1)) \mid \xi (0) = i \} \leqslant q f (i) ,\ i \notin B , \\ \\ \underset{i \in B }{\max}\, {\mathsf E} \{ f ( \xi (1)) \mid \xi (0) = i \} < \infty. \end{array}$$