Ядро метода суммирования

Ядро́ ме́тода сумми́рования, функция ${\displaystyle K_{n}(t)}$ (зависящая от параметра), значения которой есть средние данного метода, применённого к ряду

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\sum _{\nu =1}^{\infty }\cos \nu t}$ (1).

Ядро метода суммирования служит для интегрального представления средних этого метода при суммировании рядов Фурье. Так, если метод суммирования определён преобразованием последовательности в последовательность посредством матрицы ${\displaystyle \Vert a_{nk}\Vert }$, ${\displaystyle n,k=0,1,\ldots }$, то ядром этого метода является функция

${\displaystyle K_{n}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{nk}D_{k}(t),}$

где ${\displaystyle D_{k}(t)}$ – частичные суммы ряда (1):

${\displaystyle D_{k}(t)={\frac {1}{2}}+\sum _{\nu =1}^{k}\cos \nu t={\frac {\sin \left(k+{\frac {1}{2}}\right)t}{2\sin {\frac {1}{2}}t}}}$ (2).

В этом случае средние ряда Фурье ${\displaystyle 2\pi }$-периодической функции ${\displaystyle f(x)}$ могут быть выражены через функцию и ядро формулой

${\displaystyle \sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)K_{n}(t-x)\,dt}$.

В частности, ядро метода средних арифметических имеет вид

${\displaystyle K_{n}(t)={\frac {2}{n+1}}{\bigg [}{\frac {\sin {\frac {1}{2}}(n+1)t}{2\sin {\frac {1}{2}}t}}{\bigg ]}^{2}}$

и называется ядром Фейера. Ядро метода суммирования Абеля выражается формулой

${\displaystyle K(r,t)={\frac {1}{2}}\,{\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos t+r^{2}}},\quad 0\leqslant r<1,}$

и называется ядром Пуассона. Функция ${\displaystyle D_{k}(t)}$ в (2) называется ядром Дирихле.

Функция ${\displaystyle {\overline {K}}_{n}(t)}$, значения которой есть средние метода суммирования, применённого к ряду

${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{\infty }\sin \nu t,}$

называется сопряжённым ядром метода суммирования.