Эйлеровы углы

Э́йлеровы углы́ (углы Эйлера), углы ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle \psi }$, ${\displaystyle \theta }$, определяющие положение одной декартовой прямоугольной системы координат ${\displaystyle Oxyz}$ относительно другой декартовой прямоугольной системы координат ${\displaystyle Ox'y'z'}$ с тем же началом координат и с той же ориентацией. Эйлеровы углы рассматриваются как углы последовательных поворотов одной системы относительно осей другой, после которых обе системы совпадают (см. рисунок). Пусть ${\displaystyle u}$ – ось, совпадающая с линией пересечения плоскости ${\displaystyle Oxy}$ с плоскостью ${\displaystyle Ox'y'}$ и направленная так, что три направления ${\displaystyle Oz}$, ${\displaystyle Oz'}$ и ${\displaystyle u}$ образуют правую тройку. Угол ${\displaystyle \psi }$ – угол между осями ${\displaystyle Ox}$ и ${\displaystyle u}$, отсчитываемый в плоскости ${\displaystyle Oxy}$ от оси ${\displaystyle Ox}$ в направлении кратчайшего поворота от ${\displaystyle Ox}$ к ${\displaystyle Oy}$; ${\displaystyle \theta }$ – не превосходящий ${\displaystyle \pi }$ угол между осями ${\displaystyle Oz}$ и ${\displaystyle Oz'}$; ${\displaystyle \varphi }$ – угол между осями ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle Ox'}$, отсчитываемый в плоскости ${\displaystyle Ox'y'}$ от оси ${\displaystyle u}$ в направлении кратчайшего поворота ${\displaystyle Ox'}$ к ${\displaystyle Oy'}$. Связь между координатами ${\displaystyle x,y,z}$ и ${\displaystyle x',y',z'}$:

${\displaystyle x'=(\cos \psi \cos \varphi -\sin \psi \cos \theta \sin \varphi )x'+}$
${\displaystyle +(-\cos \psi \sin \varphi -\sin \psi \cos \theta \cos \varphi )y'+(\sin \psi \sin \theta )z',}$
${\displaystyle y=(\sin \psi \cos \varphi +\cos \psi \cos \theta \sin \varphi )x'+}$
${\displaystyle +(-\sin \psi \sin \varphi +\cos \psi \cos \theta \cos \varphi )y'+(-\cos \psi \sin \theta )z',}$
${\displaystyle z=(\sin \theta \sin \varphi )x'+(\sin \theta \cos \varphi )y'+(\cos \theta )z'.}$

Эйлеровы углы введены Л. Эйлером (1748).