Формула Пуанкаре – Бертрана

Фо́рмула Пуанкаре́ – Бертра́на, формула перестановки порядка интегрирования в повторных несобственных интегралах в смысле главного значения по Коши.

Пусть $\Gamma$ – простая замкнутая или разомкнутая гладкая линия на комплексной плоскости; $\varphi \left(t,t_{1}\right)$ – определённая на $\Gamma$ (вообще говоря, комплекснозначная) функция, удовлетворяющая равномерно условию Гёльдера по $t,t_{1}$ ; $t_{0}$ – фиксированная точка на $\Gamma$ , отличная от концов, если $\Gamma$ разомкнута. Тогда имеет место формула Пуанкаре – Бертрана

\int _{\Gamma }{\frac {dt}{t-t_{0}}}\int _{\Gamma }{\frac {\varphi \left(t,t_{1}\right)}{t_{1}-t}}dt_{1}=-\pi ^{2}\varphi \left(t_{0},t_{0}\right)+\int _{\Gamma }dt_{1}\int _{\Gamma }{\frac {\varphi \left(t,t_{1}\right)}{\left(t-t_{0}\right)\left(t_{1}-t\right)}}dt

(1).

Формула справедлива и при более общих предположениях относительно линии $\Gamma$ и функции $\varphi$ (Мусхелишвили. 1968^[1]). Если $\varphi \left(t,t_{1}\right)=\alpha (t)\beta \left(t_{1}\right)$ , где $\alpha \in L_{p}$ , $\beta \in L_{p^{\prime }}$ , $p>1$ , $p^{\prime }=p/(p-1)$ , то равенство $(1)$ справедливо для почти всех $t_{0}\in \Gamma$ (Khvedelidze. 1947; Xведелидзе. 1975^[2]). Если линия $\Gamma$ замкнута и функция $\varphi$ зависит от одного аргумента, то равенство $(1)$ принимает вид

{\frac {1}{(\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma }{\frac {dt}{t-t_{0}}}\int _{\Gamma }{\frac {\varphi \left(t_{1}\right)}{t_{1}-t}}dt_{1}=\varphi \left(t_{0}\right)

(2)

и имеет место для всех или почти всех $t_{0}\in \Gamma$ в зависимости от того, удовлетворяет $\varphi$ условию Гёльдера или $\varphi \in L_{p}$ , $p>1$ . Равенство $(2)$ также называется формулой Пуанкаре – Бертрана.

Построены аналоги формулы $(1)$ в случае кратных интегралов (Tricomi. 1928^[3]; Giraud. 1936; Giraud. 1934^[4]; Михлин. 1948^[5]).

Формула $(1)$ при определённых условиях была получена Г. Харди (Нardу. 1909^[6]) ранее А. Пуанкаре (Poincaré. 1910^[7]) и Ж. Бертрана (Bertrand. 1921; Bertrand. 1923^[8]).

↑ Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. – 3-е изд., испр. и доп. – Москва : Наука, 1968.
↑ Xведелидзе Б. В. Метод интегралов типа Коши в разрывных граничных задачах теории голоморфных функций одной комплексной переменной / Б. В. Xведелидзе // Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики. – 1975. – Т. 7. – С. 5–162.
↑ Tricomi F. Equazioni integrali contenenti il valore principale di un integrale doppio / F. Tricomi // Mathematische Zeitschrift. – 1928. – Vol. 27, № 1. – P. 87–133.
↑ Giraud G. Équations à intégrales principales; étude suivie d’une application / G. Giraud // Annales scientifiques de l'École normale supérieure. 3 série. – 1934. – Vol. 51. – P. 251–372.
↑ Михлин С. Г. Сингулярные интегральные уравнения / С. Г. Михлин // Успехи математических наук. – 1948. – Т. 3, № 3. – С. 29–112.
↑ Нardу G. Н. The Theory of Cauchy's Principal Values. (Fourth Paper: The Integration of Principal Values – Continued – with Applications to the Inversion of Definite Integrals) / G. Н. Нardу // Proceedings of the London Mathematical Society. – 1909. – Vol. s2/7 (1). – P. 181–208.
↑ Poincaré H. Lecons de mecanique celeste professees a la Sorbonne. [T.] 3. Theorie des marees / H. Poincaré. – Paris : Gauthier-Villars, 1910. – (Cours de la Faculté des Sciences de Paris).
↑ Bertrand G. La théorie des marées et les équations intégrales / G. Bertrand // Annales scientifiques de l'École normale supérieure. 3 série. – 1923. – Vol. 40. – P. 151–258.

Нardу G. Н. The Theory of Cauchy's Principal Values. (Fourth Paper: The Integration of Principal Values – Continued – with Applications to the Inversion of Definite Integrals) // Proceedings of the London Mathematical Society. – 1909. – Vol. s2/7 (1). – P. 181–208.
Poincaré H. Lecons de mecanique celeste professees a la Sorbonne. T. 3. Theorie des marees. – Paris : Gauthier-Villars, 1910. – (Cours de la Faculté des Sciences de Paris).
Bertrand G. Équations de Fredholm à intégrales principales au sens de Cauchy // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. – 1921. – T. 172. – P. 1458–1461.
Bertrand G. La théorie des marées et les équations intégrales // Annales scientifiques de l'École normale supérieure. 3 série. – 1923. – Vol. 40. – P. 151–258.
Tricomi F. Equazioni integrali contenenti il valore principale di un integrale doppio // Mathematische Zeitschrift. – 1928. – Vol. 27, № 1. – P. 87–133.
Giraud G. Équations à intégrales principales; étude suivie d’une application // Annales scientifiques de l'École normale supérieure. 3 série. – 1934. – Vol. 51. – P. 251–372.
Giraud G. Sur une classe générale d’équations à intégrales principale // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. – 1936. – T. 202. – P. 2124–2126.
Khvedelidze B. V. Some properties of improper integrals in the sense of the Cauchy-Lebesgue principal value // Soobscenija Akademii Nauk Gruzinskoj SSR. – 1947. – Vol. 8. – P. 283–290.
Михлин С. Г. Сингулярные интегральные уравнения // Успехи математических наук. – 1948. – Т. 3, № 3. – С. 29–112.
Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. – Москва : Физматгиз, 1962.
Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. – 3-е изд., испр. и доп. – Москва : Наука, 1968.
Xведелидзе Б. В. Метод интегралов типа Коши в разрывных граничных задачах теории голоморфных функций одной комплексной переменной // Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики. – 1975. – Т. 7. – С. 5–162.

[1] Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. – 3-е изд., испр. и доп. – Москва : Наука, 1968.

[2] Xведелидзе Б. В. Метод интегралов типа Коши в разрывных граничных задачах теории голоморфных функций одной комплексной переменной / Б. В. Xведелидзе // Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики. – 1975. – Т. 7. – С. 5–162.

[3] Tricomi F. Equazioni integrali contenenti il valore principale di un integrale doppio / F. Tricomi // Mathematische Zeitschrift. – 1928. – Vol. 27, № 1. – P. 87–133.

[4] Giraud G. Équations à intégrales principales; étude suivie d’une application / G. Giraud // Annales scientifiques de l'École normale supérieure. 3 série. – 1934. – Vol. 51. – P. 251–372.

[5] Михлин С. Г. Сингулярные интегральные уравнения / С. Г. Михлин // Успехи математических наук. – 1948. – Т. 3, № 3. – С. 29–112.

[6] Нardу G. Н. The Theory of Cauchy's Principal Values. (Fourth Paper: The Integration of Principal Values – Continued – with Applications to the Inversion of Definite Integrals) / G. Н. Нardу // Proceedings of the London Mathematical Society. – 1909. – Vol. s2/7 (1). – P. 181–208.

[7] Poincaré H. Lecons de mecanique celeste professees a la Sorbonne. [T.] 3. Theorie des marees / H. Poincaré. – Paris : Gauthier-Villars, 1910. – (Cours de la Faculté des Sciences de Paris).

[8] Bertrand G. La théorie des marées et les équations intégrales / G. Bertrand // Annales scientifiques de l'École normale supérieure. 3 série. – 1923. – Vol. 40. – P. 151–258.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Формула Пуанкаре – Бертрана

Примечания

Литература