Формула Кристоффеля – Шварца

Фо́рмула Кристо́ффеля – Шва́рца, формула

${\displaystyle f(z)=c\int _{z_{0}}^{z}\prod _{k=1}^{n}\left(t-a_{k}\right)^{\alpha _{k}-1}\,dt+c_{1},}$ (*)

дающая интегральное представление функции ${\displaystyle f(z)}$, конформно отображающей верхнюю полуплоскость ${\displaystyle \operatorname {Im} z>0}$ на внутренность ограниченного многоугольника с вершинами ${\displaystyle A_{k}}$ и углами ${\displaystyle \pi \alpha _{k}}$ при вершинах (${\displaystyle 0<\alpha _{k}\leqslant 2}$, ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$). При этом ${\displaystyle z_{0},c,c_{1}}$ – некоторые постоянные, ${\displaystyle A_{k}=f\left(a_{k}\right)}$, ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$. Постоянную ${\displaystyle z_{0}}$ можно фиксировать произвольно в верхней полуплоскости. Тройку точек из ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$, например, ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}}$, можно задавать произвольно; остальные ${\displaystyle n-3}$ точки ${\displaystyle a_{k}}$, а также постоянные ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle c_{1}}$ определяются однозначно, если вершины ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ многоугольника заданы (M. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, 1973). Формула (*) была получена независимо Э. Кристоффелем (1867) и в 1869 г. Г. Шварцем (опубликовано в 1890). Интеграл в правой части формулы (*) называется интегралом Кристоффеля – Шварца.

Основная трудность при применении формулы (*) состоит в нахождении неизвестных параметров. При ${\displaystyle n>4}$ общие методы неизвестны.

Разработаны методы приближённого отыскания параметров формулы Кристоффеля – Шварца (Л. В. Канторович, В. И. Крылов, 1962; В. Коппенфельс, Ф. Штальман, 1963).

Формула Кристоффеля – Шварца остаётся справедливой и для многоугольников, у которых одна или несколько вершин лежат в бесконечно удалённой точке. В этом случае угол между сторонами многоугольника в бесконечности определяется как угол, взятый со знаком минус, между этими же сторонами или их продолжениями в конечной точке. Если прообраз ${\displaystyle a_{i}}$ одной из вершин многоугольника находится в бесконечно удалённой точке, то соответствующий множитель ${\displaystyle \left(t-a_{i}\right)^{\alpha _{i}-1}}$ в формуле (*) выпадает.

Формула Кристоффеля – Шварца справедлива также для функции, отображающей единичный круг ${\displaystyle \mid z\mid <1}$ на рассмотренный выше многоугольник. В этом случае ${\displaystyle \left|a_{k}\right|=1,k=1,\ldots ,n,\left|z_{0}\right|\leqslant 1}$. Видоизменения этой формулы охватывают случаи отображения верхней полуплоскости, а также внутренности и внешности единичного круга на внешность многоугольника (M. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, 1973).

Формула Кристоффеля – Шварца обобщена на случай, когда функция ${\displaystyle f(z)}$ конформно отображает круговое кольцо ${\displaystyle 0<q<\mid z\mid <1}$ или, в более общем случае, многосвязную область, состоящую из круга с выброшенными из него ${\displaystyle n}$ кругами, на область соответствующей связности, ограниченную многоугольниками (Н. И. Ахиезер, 1970; Ю. Д. Максимов, 1961).