Форма Фубини

Фо́рма Фуби́ни, дифференциальная форма ${\displaystyle (}$квадратичная ${\displaystyle F_{2}}$ и кубическая ${\displaystyle F_{3})}$, на основе которой строится проективная дифференциальная геометрия. Введены Г. Фубини (Fubini. 1926–1927^[1]).

Пусть ${\displaystyle x^{\alpha }\left(u^{1},u^{2}\right)}$ – (однородные) проективные координаты точки поверхности с внутренними координатами ${\displaystyle u^{1}}$, ${\displaystyle u^{2}}$ и пусть

${\displaystyle }$
${\displaystyle b_{ij}=\left(x^{\alpha },x_{1}^{\alpha },x_{2}^{\alpha },x_{ij}^{\alpha }\right),}$
${\displaystyle b_{ijk}=a_{ijk}-{\frac {1}{2}}\partial _{k}b_{ij}+{\frac {1}{2}}b_{i,j}\partial _{k}\ln {\sqrt {\mid b\mid }},}$
${\displaystyle b=\operatorname {det} b_{ij},\quad a_{ijk}=\left(x^{\alpha },x_{1}^{\alpha },x_{2}^{\alpha },x_{ijk}^{\alpha }\right).}$
${\displaystyle }$

Тогда формы Фубини определяются так:

${\displaystyle F_{2}=b_{ij}du^{i}du^{j}\mid b\mid ^{-1/4},\quad F_{3}=b_{ijk}du^{i}du^{j}du^{k}\mid b\mid ^{-1/4}}$.

Однако сами проективные координаты не вполне определены: они допускают введение произвольных множителей и однородных линейных преобразований. Поэтому формы Фубини определены только с точностью до множителя и чтобы избежать связанных с этим затруднений, нормируют координаты и определённые через них формы; например, при унимодулярных проективных преобразованиях формы Фубини сохраняют своё значение (с точностью до знака). Отношение ${\displaystyle F_{3}/F_{2}}$, называемое проективным линейным элементом, уже не зависит от нормирования (и определяет проективный метрический элемент).

Построенные метрическими средствами, исходя из второй квадратичной формы и формы Дарбу (определяемой тензором Дарбу), формы Фубини

${\displaystyle f_{2}=\lambda F_{2},\quad f_{3}=\lambda F_{3}}$,

инвариантны относительно эквиаффинных преобразований и потому могут быть положены в основу эквиаффинной дифференциальной геометрии.