Уравнение Гаммерштейна

Уравне́ние Гаммерште́йна, нелинейное интегральное уравнение вида

${\displaystyle \varphi (x)+\int _{a}^{b}K(x,s)f[s,\varphi (s)]\,ds=0,\quad a\leqslant x\leqslant b}$,

где ${\displaystyle K(x,s)}$ и ${\displaystyle f(x,s)}$ – заданные функции, а ${\displaystyle \varphi (x)}$ – искомая функция. Названо по имени А. Гаммерштейна, рассмотревшего случай, когда ${\displaystyle K(x,s)}$ есть фредгольмово симметричное и положительное ядро, т. е. все его собственные значения положительны. Если, кроме того, функция ${\displaystyle f(x,s)}$ непрерывна и удовлетворяет условию

${\displaystyle \mid f(x,s)\mid \leqslant C_{1}\mid s\mid +C_{2}}$,

где ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ – положительные постоянные, причём ${\displaystyle C_{1}}$ меньше первого собственного значения ядра ${\displaystyle K(x,s)}$, то уравнение Гаммерштейна имеет по крайней мере одно непрерывное решение. Если же для любого фиксированного ${\displaystyle x}$ из интервала ${\displaystyle (a,b)}$ функция ${\displaystyle f(x,s)}$ является неубывающей функцией от ${\displaystyle s}$, то уравнение Гаммерштейна может иметь не более одного решения. Это последнее свойство сохраняется и в том случае, если функция ${\displaystyle f(x,s)}$ удовлетворяет условию

${\displaystyle \left|f\left(x,s_{1}\right)-f\left(x,s_{2}\right)\right|\leqslant C\left|s_{1}-s_{2}\right|}$,

где положительная постоянная ${\displaystyle C}$ меньше первого собственного значения ядра${\displaystyle K(x,s)}$. Для построения решения уравнения Гаммерштейна можно применять метод последовательных приближений.