Тройка в категории

Тро́йка в катего́рии (монада), моноид в категории функторов. Другими словами, тройкой в категории ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ называется ковариантный функтор ${\displaystyle T:{\mathfrak {R}}\rightarrow {\mathfrak {R}}}$, снабжённый такими естественными преобразованиями ${\displaystyle \varepsilon :\operatorname {Id} _{\mathfrak {R}}\rightarrow {\mathfrak {R}}}$ и ${\displaystyle \mu :T^{2}\rightarrow T}$, что следующие диаграммы коммутативны (здесь ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ обозначает тождественный функтор категории ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$).

Иногда тройка называется стандартной конструкцией.

Для любой пары сопряжённых функторов ${\displaystyle F:{\mathfrak {R}}\rightarrow {\mathfrak {L}}}$ и ${\displaystyle G:{\mathfrak {L}}\rightarrow {\mathfrak {R}}}$ функтор ${\displaystyle T=FG:{\mathfrak {R}}\rightarrow {\mathfrak {R}}}$ является тройкой вместе с морфизмами ${\displaystyle \varepsilon :\operatorname {Id} _{\mathfrak {R}}\rightarrow T}$ и ${\displaystyle \mu =G\left(\eta _{F}\right):T^{2}\rightarrow T}$, где ${\displaystyle \varepsilon }$ и ${\displaystyle \eta }$ – единица и коединица сопряжения. Обратно, для произвольной тройки ${\displaystyle (T,\varepsilon ,\mu )}$ существует такая пара сопряжённых функторов ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$, что ${\displaystyle T=FG}$, а преобразования ${\displaystyle \varepsilon }$ и ${\displaystyle \mu }$ получаются из единицы и коединицы сопряжения описанным выше способом. Подобных различных разложений для тройки может оказаться целый класс. В этом классе имеется наименьший элемент (конструкция Клейсли) и наибольший элемент (конструкция Эйленберга – Мура).

Примеры. 1) В категории множеств функтор взятия множества подмножеств произвольного множества обладает структурой тройки: каждое множество ${\displaystyle X}$ естественно вкладывается в множество своих подмножеств, а каждому множеству подмножеств ${\displaystyle X}$ сопоставляется объединение этих подмножеств.

2) В категории множеств каждый основной функтор ${\displaystyle H_{A}(X)=H(A,X)}$ является тройкой: отображение ${\displaystyle \varepsilon _{X}:X\rightarrow H(A,X)}$ сопоставляет каждому ${\displaystyle x\in X}$ функцию ${\displaystyle f_{x}:A\rightarrow X}$, тождественно равную ${\displaystyle x}$; отображение ${\displaystyle \mu _{X}:H(A,H(A,X))\simeq H(A\times A,X)\rightarrow H(A,X)}$ сопоставляет каждой функции от двух переменных её ограничение на диагональ.

3) В категории ${\displaystyle R}$-модулей над коммутативным кольцом ${\displaystyle R}$ функтор ${\displaystyle T_{A}(X)=A\otimes _{R}X}$ снабжается структурой тройки, аналогичной структуре из примера 2).

4) В категории топологических пространств каждая топологическая группа ${\displaystyle G}$ позволяет определить функтор ${\displaystyle T_{G}(X)=X\times G}$, который является тройкой: каждый элемент ${\displaystyle x\in X}$ переходит в элемент ${\displaystyle (x,e)}$, где ${\displaystyle e}$ – единичный элемент группы ${\displaystyle G}$, а отображение ${\displaystyle \mu :X\times G\times G\rightarrow X\times G}$ определяется равенством ${\displaystyle \mu _{X}\left(x,g,g^{\prime }\right)=\left(x,gg^{\prime }\right)}$.