Теорема Адамара об определителях

Теоре́ма Адама́ра об определи́телях, теорема, утверждающая, что если ${\displaystyle D}$ – определитель матрицы с элементами ${\displaystyle a_{\mu \nu }}$, ${\displaystyle \mu ,\nu =1,\ldots ,n}$, то имеет место неравенство

${\displaystyle D^{2}\leqslant \sum _{\varkappa =1}^{n}a_{1\varkappa }^{2}\sum _{\varkappa =1}^{n}a_{2\varkappa }^{2}\cdots \sum _{\varkappa =1}^{n}a_{n\varkappa }^{2}}$ (*).

Равенство имеет место в том и только в том случае, когда

${\displaystyle a_{\mu 1}a_{\nu 1}+a_{\mu 2}a_{\nu 2}+\ldots +a_{\mu n}a_{\nu n}=0}$

для каждой пары различных ${\displaystyle \mu ,\nu }$ или когда хотя бы один множитель в правой части (*) равен нулю. Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что объём параллелепипеда в ${\displaystyle n}$-мерном пространстве не превышает произведения длин его рёбер, исходящих из одной вершины, и что равенство имеет место, когда эти рёбра взаимно перпендикулярны или когда длина одного из рёбер равна нулю.

Ж. Адамар (Hadamard. 1893) рассматривал эту задачу для определителя с комплексными элементами.