Соприкасающаяся окружность

Соприкаса́ющаяся окру́жность кривой ${\displaystyle L}$ в точке ${\displaystyle M}$, окружность, имеющая с ${\displaystyle L}$ в точке ${\displaystyle M}$ касание порядка ${\displaystyle n\geqslant 2}$. Если кривизна кривой ${\displaystyle L}$ в точке ${\displaystyle M}$ равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую. Так как порядок касания ${\displaystyle L}$ и соприкасающейся окружности в точке ${\displaystyle M}$ не ниже двух, то соприкасающаяся окружность воспроизводит ход кривой вблизи точки касания с точностью до малых 3-го порядка по сравнению с размерами участка кривой.

На рисунке изображено обычное (порядок касания кривой и соприкасающейся окружности равен двум) взаимное расположение кривой и её соприкасающейся окружности: кривая пронизывает соприкасающуюся окружность в точке соприкосновения. Радиус соприкасающейся окружности называется радиусом кривизны кривой ${\displaystyle L}$ в точке ${\displaystyle M}$, а центр соприкасающейся окружности – центром кривизны. Если кривая задана уравнением ${\displaystyle y=f(x)}$, то радиус соприкасающейся окружности определяется формулой

${\displaystyle \rho =\left|{\frac {(1+y'^{2})^{3/2}}{y''}}\right|}$.

Иногда соприкасающаяся окружность называется соприкасающимся кругом. См. также Дифференциальная геометрия.