Соответствие границ при конформном отображении

Соотве́тствие грани́ц при конфо́рмном отображе́нии, свойство однолистного конформного отображения ${\displaystyle f}$ конечносвязной области ${\displaystyle G}$ на область ${\displaystyle D}$ плоскости ${\displaystyle z}$, состоящее в том, что отображение ${\displaystyle f}$ можно продолжить до гомеоморфизма между теми или иными компактными расширениями ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ и ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ областей ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle D}$, т. е. ${\displaystyle f}$ индуцирует гомеоморфизм границ ${\displaystyle {\tilde {G}}\setminus G}$ и ${\displaystyle {\tilde {D}}\setminus D}$. Для обычных (евклидовых) границ ${\displaystyle \partial G}$ и ${\displaystyle \partial D}$ областей ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle D}$ это свойство не всегда имеет место. Например, конформное отображение круга ${\displaystyle K}$ индуцирует гомеоморфизм евклидовых границ ${\displaystyle \partial K}$ и ${\displaystyle \partial D}$, если ${\displaystyle \partial D}$ гомеоморфна окружности.

Известно несколько компактных расширений односвязной области со свойством соответствия границ при конформном отображении. Исторически первым из них было расширение Каратеодори (см. Мышкис. 1973, Carathéodory. 1913^[1]). Оно наиболее наглядно и часто используется при изучении конформных и других отображений. Элементы получающейся при этом границы К. Каратеодори назвал простыми концами (см. статью Граничные элементы). Была построена теория соответствия границ при переменном конформном отображении односвязных областей (см. Суворов. 1953^[2]).