Система подгрупп

Систе́ма подгру́пп, множество ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ подгрупп группы ${\displaystyle G}$, удовлетворяющее условиям: 1) ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ содержит единичную подгруппу 1 и саму группу ${\displaystyle G}$; 2) ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ линейно упорядочено по вложению, т. е. для всяких ${\displaystyle A,B}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ либо ${\displaystyle A\subseteq B}$, либо ${\displaystyle B\subseteq A}$. Говорят, что подгруппы ${\displaystyle A,A^{\prime }}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ составляют скачок, если ${\displaystyle A^{\prime }}$ непосредственно следует за ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$. Система подгрупп, замкнутая относительно объединений и пересечений, называется полной. Полная система подгрупп называется субнормальной, если для всякого скачка ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A^{\prime }}$ этой системы ${\displaystyle A}$ является нормальной подгруппой в ${\displaystyle A^{\prime }}$. Факторгруппы ${\displaystyle A^{\prime }/A}$ называются факторами системы ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$. Система подгрупп, все члены которой суть нормальные подгруппы группы ${\displaystyle G}$, называется нормальной. В случае, когда одна субнормальная система содержит (в теоретико-множественном смысле) другую, первую из них называют уплотнением второй. Нормальная система подгрупп называется центральной, если все её факторы центральны, т. е. ${\displaystyle A^{\prime }/A}$ содержится в центре ${\displaystyle G/A}$ для всякого скачка ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A^{\prime }}$. Субнормальная система подгрупп называется разрешимой, если все её факторы абелевы.

Наличие в группе тех или иных систем подгрупп выделяет в классе всех групп различные подклассы, наиболее употребительны из которых ${\displaystyle RN}$, ${\displaystyle {\overline {RN^{*}}}}$, ${\displaystyle {\overline {RN}}}$, ${\displaystyle RI}$, ${\displaystyle RI^{*}}$, ${\displaystyle {\bar {R}}I^{-}}$, ${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle ZA}$, ${\displaystyle ZD}$, ${\displaystyle {\bar {Z}}}$, ${\displaystyle {\tilde {N}}}$, ${\displaystyle N}$ – классы Куроша – Черникова:

${\displaystyle RN}$-группа – обладает разрешимой субнормальной системой подгрупп;

${\displaystyle {\overline {RN^{*}}}}$-группа – обладает разрешимой субнормальной системой подгрупп, вполне упорядоченной по возрастанию;

${\displaystyle {\overline {RN}}}$-группа – всякую субнормальную систему подгрупп этой группы можно уплотнить до разрешимой субнормальной;

${\displaystyle RI}$-группа – обладает разрешимой нормальной системой подгрупп;

${\displaystyle RI^{*}}$-группа – обладает разрешимой нормальной системой подгрупп, вполне упорядоченной по возрастанию;

${\displaystyle {\overline {RI}}}$-группа – всякую нормальную систему подгрупп этой группы можно уплотнить до разрешимой нормальной;

${\displaystyle Z}$-rруппа – обладает центральной системой подгрупп;

${\displaystyle ZA}$-группа – обладает центральной системой подгрупп, вполне упорядоченной по возрастанию;

Z D-группа – обладает центральной системой подгрупп, вполне упорядоченной по убыванию;

${\displaystyle {\bar {Z}}}$-группа – всякую нормальную систему подгрупп такой группы можно уплотнить до центральной;

${\displaystyle {\tilde {N}}}$-группа – через всякую подгруппу такой группы проходит субнормальная система подгрупп;

${\displaystyle N}$-группа – через всякую подгруппу такой группы проходит субнормальная система подгрупп, вполне упорядоченная по возрастанию.

Частный случай системы подгрупп – ряды подгрупп.