Разложение Вольда

Разложе́ние Во́льда (англ. Wold’s theorem, Wold’s decomposition), результат теоремы, представленной Г. Вольдом (1908–1992) в 1938 г. в работе «Исследование анализа стационарных временных рядов» (англ. «A Study in the Analysis of Stationary Time Series») (Wold. 1938^[1]). Согласно теореме, любой стационарный в широком смысле (слабо стационарный) процесс ${\displaystyle Y_{t}}$ [например, задающийся моделью авторегрессии (AR) или авторегрессии и скользящего среднего (ARMA)] с нулевым математическим ожиданием может быть представлен в виде:

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\varepsilon _{t-j}+Z_{t},}$

где

• ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ – процесс белого шума;
• ${\displaystyle a_{1}=1}$;
• ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}^{2}<\infty }$;
• ${\displaystyle Z_{t}}$ – стационарный случайный процесс;
• ${\displaystyle E(Z_{t})=0}$;
• ${\displaystyle Cov(\varepsilon _{t-j},Z_{t})=0}$ для всех ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle Cov}$ – ковариация;
• ${\displaystyle Z_{t}}$ – детерминированный процесс (например, полностью описываемый лагами процесса ${\displaystyle Y_{t}}$).

По сути, процесс ${\displaystyle Y_{t}}$ разлагается на две компоненты. Линейно недетерминированную ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\varepsilon _{t-j}}$ и линейно детерминированную ${\displaystyle Z_{t}}$. В случае когда линейно детерминированная компонента ${\displaystyle Z_{t}}$ отсутствует, ряд ${\displaystyle Y_{t}}$ представим в виде процесса скользящего среднего бесконечного порядка ${\displaystyle MA(\infty )}$:

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\varepsilon _{t-j}}$.

Тогда процесс ${\displaystyle Y_{t}}$ называется линейно недетерминированным в чистом виде.

Разложение Вольда используется в эконометрике при построении и анализе моделей временных рядов, т. к. оно позволяет представить динамику зависимой переменной в виде линейной комбинации её прошлых значений. В частности, разложение Вольда используется при анализе свойств, декомпозиции дисперсии ошибки прогноза и исторической декомпозиции в моделях скользящего среднего, авторегрессии и скользящего среднего, векторных и структурных векторных авторегрессий, факторных и байесовских моделей векторных авторегрессий.