Пфаффиан

Пфаффиа́н кососимметрической матрицы ${\displaystyle X}$, многочлен ${\displaystyle \operatorname {Pf} X}$ от элементов матрицы ${\displaystyle X}$, квадрат которого равен ${\displaystyle \operatorname {det} X}$. Более подробно, если ${\displaystyle X=\|x_{ij}\|}$ – кососимметрическая (т. е. удовлетворяющая условиям ${\displaystyle x_{ij}=-x_{ji}}$) матрица порядка ${\displaystyle 2n\times 2n}$, то ${\displaystyle \operatorname {Pf} X}$ вычисляется по формуле

${\displaystyle \operatorname {Pf} X=\sum _{s}\varepsilon (s)x_{i_{1}j_{1}}\ldots x_{i_{n}i_{n}}}$,

где суммирование ведётся по всевозможным разбиениям ${\displaystyle s}$ множества ${\displaystyle \left\{1,\ldots ,2n\right\}}$ на непересекающиеся пары ${\displaystyle \left\{i_{\alpha },j_{\alpha }\right\}}$, причём считается, что ${\displaystyle i_{\alpha }<j_{\alpha },\alpha =1,\ldots ,n}$, а ${\displaystyle \varepsilon (s)}$ – знак подстановки

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&2&\ldots &2n-1&2n\\i_{1}&j_{1}&\ldots &i_{n}&j_{n}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$.