Признак Д'Аламбера

При́знак Д'Аламбе́ра, признак сходимости числовых рядов: если для числового ряда

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n}}$

существует такое число ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle 0<q<1}$, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

${\displaystyle {\frac {\mid u_{n+1}\mid }{\mid u_{n}\mid }}<q}$,

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера,

${\displaystyle {\frac {\mid u_{n+1}\mid }{\mid u_{n}\mid }}\geqslant 1}$,

то ряд расходится. В частности, если существует предел

${\displaystyle \lim \limits _{n->\infty }{\dfrac {\mid u_{n+1}\mid }{\mid u_{n}\mid }}<1}$,

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится, а если

${\displaystyle \lim \limits _{n->\infty }{\dfrac {\mid u_{n+1}\mid }{\mid u_{n}\mid }}>1}$,

то он расходится. Например, ряд

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{n!}}}$

абсолютно сходится для всех комплексных ${\displaystyle z}$, так как

${\displaystyle \lim \limits _{n->\infty }{\dfrac {\left|{\dfrac {z^{n+1}}{(n+1)!}}\right|}{\left|{\dfrac {z^{n}}{n!}}\right|}}=0}$,

а ряд ${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{n!}{z^{n}}}$расходится при всех ${\displaystyle z\neq 0}$, так как

${\displaystyle \lim \limits _{n->\infty }{\dfrac {\left|{(n+1)!}{z^{n+1}}\right|}{\left|{n!}{z^{n}}\right|}}=+\infty }$.

Если ${\displaystyle \lim \limits _{n->\infty }{\dfrac {\left|{u_{n+1}}\right|}{\left|{u_{n}}\right|}}=1}$, то ряд может как сходиться, так и расходиться: ряды

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{2}}}\quad {\textrm {\text{и}}}\quad \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1}{\sqrt {n}}}}$

удовлетворяют этому условию, причем первый ряд сходится, а второй расходится.

Признак установлен Ж. Д’Аламбером в 1768 г.