Полупрямое произведение

Полупрямо́е произведе́ние группы ${\displaystyle A}$ на группу ${\displaystyle B}$, группа ${\displaystyle G=AB}$, являющаяся произведением своих подгрупп ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, причём ${\displaystyle B}$ нормальна в ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle A\cap B=\{1\}}$. Если также и ${\displaystyle A}$ нормальна в ${\displaystyle G}$, то полупрямое произведение превращается в прямое произведение. Полупрямое произведение по группам ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ строится неоднозначно. Для построения полупрямого произведения нужно ещё знать, какие автоморфизмы на группе ${\displaystyle B}$ вызывают сопряжения элементами из ${\displaystyle A}$. Точнее, если ${\displaystyle G=AB}$ – полупрямое произведение, то каждому элементу ${\displaystyle a\in A}$ соответствует автоморфизм ${\displaystyle \alpha _{a}\in \operatorname {Aut} B}$, являющийся сопряжением элементом ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle \alpha _{a}(b)=aba^{-1},\quad b\in B}$.

При этом соответствие ${\displaystyle a\mapsto \alpha _{a}}$ есть гомоморфизм ${\displaystyle {\ce {A->\operatorname {Aut} B}}}$. Обратно, если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ – произвольные группы, то для любого гомоморфизма ${\displaystyle {\ce {\varphi :A->\operatorname {Aut} B}}}$

существует единственное полупрямое произведение группы ${\displaystyle A}$ на группу ${\displaystyle B}$ такое, что ${\displaystyle \alpha _{a}=\varphi (a)}$ для любого ${\displaystyle a\in A}$. Полупрямое произведение является частным случаем расширения группы ${\displaystyle B}$ с помощью группы ${\displaystyle A}$, такое расширение называется расщепляющимся.