Полное множество в топологическом векторном пространстве

По́лное мно́жество в топологи́ческом ве́кторном простра́нстве ${\displaystyle X}$ над полем ${\displaystyle K}$, множество ${\displaystyle A}$ такое, что совокупность линейных комбинаций элементов из ${\displaystyle A}$ (всюду) плотна в ${\displaystyle X}$, т. е. порождённое множеством ${\displaystyle A}$ замкнутое подпространство, или замкнутая линейная оболочка ${\displaystyle A}$, совпадает с ${\displaystyle X}$. Например, в нормированном пространстве ${\displaystyle C}$ непрерывных функций на ${\displaystyle [0,1]}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ множество ${\displaystyle \left\{x^{n}\right\}}$ является полным множеством. Если ${\displaystyle K}$ – недискретное нормированное поле, то каждое поглощающее множество (и, в частности, каждая окрестность нуля в ${\displaystyle X}$) является полным множеством.

Для того чтобы ${\displaystyle A=\left\{a_{t}\right\}}$, ${\displaystyle t\in T}$, было полным множеством в ослабленной топологии ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{*}\right)}$ пространства ${\displaystyle X}$, необходимо и достаточно, чтобы для каждого ${\displaystyle \xi \in X^{*}}$ существовал индекс ${\displaystyle t}$ такой, что ${\displaystyle \left\langle a_{t},\xi \right\rangle \neq 0}$; это означает, что никакая замкнутая гиперплоскость не содержит всех элементов ${\displaystyle a_{t}}$, т. е. что ${\displaystyle A}$ – тотальное множество. При этом если ${\displaystyle X}$ – локально выпуклое пространство, то полное множество в ослабленной топологии будет полным и в исходной топологии.