Ограниченно компактное множество

Ограни́ченно компа́ктное мно́жество в линейном топологическом пространстве ${\displaystyle X}$, такое множество ${\displaystyle M}$, что замыкание ${\displaystyle N}$ всякого ограниченного подмножества ${\displaystyle \mathrm {N} \subset M}$ компактно и содержится в ${\displaystyle M}$ (для нормированного пространства в сильной, соответственно слабой, топологии это равносильно компактности, соответственно слабой компактности, пересечений ${\displaystyle M}$ с шарами). Выпуклое замкнутое множество в нормированном пространстве является ограниченно компактным множеством в том и только в том случае, когда оно локально компактно. Ограниченно компактные множества находят применение в теории приближения в банаховых пространствах; они обладают свойством существования элемента наилучшего приближения. Бочечное линейное топологическое пространство, являющееся (в самом себе) ограниченно компактным множеством в слабой, соответственно сильной, топологии есть рефлексивное пространство, соответственно монтелево пространство. Нормированное пространство, являющееся ограниченно компактным множеством, конечномерно.