Неравенство Боннезена

Нера́венство Бо́ннезена, одно из уточнений изопериметрического неравенства для выпуклых областей на плоскости. Пусть $K$ – выпуклая область на плоскости, $r$ – радиус наибольшего круга, который можно поместить в $K$ , $R$ – радиус наименьшего круга, содержащего $K$ , $L$ – периметр, a $F$ – площадь области $K$ . Тогда справедливо неравенство Боннезена (Bonnesen. 1921^[1]):

\Delta =L^{2}-4\pi F\geqslant \pi ^{2}(R-r)^{2}

.

Равенство $\Delta =0$ достигается только при $R=r$ , т. е. в том случае, когда $K$ есть круг. Обобщения неравенства Боннезена см. Дискант. 1973^[2].

↑ Bonnesen T. Über eine Verschärfung der isoperimetrischen Ungleichheit des Kreises in der Ebene und auf der Kugeloberfläche nebst einer Anwendung auf eine Minkowskische Ungleichheit für konvexe Körper / T. Bonnesen // Mathematische Annalen. – 1921. – Bd. 81. – S. 216–227.
↑ Дискант В. И. Обобщение неравенств Боннезена / В. И. Дискант // Доклады Академии наук СССР. – 1973. – Т. 213, № 3. – С. 519–521.

Bonnesen T. Über eine Verschärfung der isoperimetrischen Ungleichheit des Kreises in der Ebene und auf der Kugeloberfläche nebst einer Anwendung auf eine Minkowskische Ungleichheit für konvexe Körper // Mathematische Annalen. – 1921. – Bd. 81. – S. 216–227.
Дискант В. И. Обобщение неравенств Боннезена // Доклады Академии наук СССР. – 1973. – Т. 213, № 3. – С. 519–521.

[1] Bonnesen T. Über eine Verschärfung der isoperimetrischen Ungleichheit des Kreises in der Ebene und auf der Kugeloberfläche nebst einer Anwendung auf eine Minkowskische Ungleichheit für konvexe Körper / T. Bonnesen // Mathematische Annalen. – 1921. – Bd. 81. – S. 216–227.

[2] Дискант В. И. Обобщение неравенств Боннезена / В. И. Дискант // Доклады Академии наук СССР. – 1973. – Т. 213, № 3. – С. 519–521.

[1]

[2]

Неравенство Боннезена

Примечания

Литература