Метод функционального интеграла

Ме́тод функциона́льного интегра́ла, метод квантования физических систем, альтернативный волновой механике Шрёдингера и операторному методу Гейзенберга в квантовой механике. В основе метода, предложенного в 1940-х гг. Р. Фейнманом, лежит предположение о том, что амплитуда вероятности перехода механической системы из начального состояния с координатами ${\displaystyle x_{a}}$ в состояние с координатами ${\displaystyle x_{b}}$ пропорциональна сумме амплитуд, отвечающих всевозможным траекториям, связывающим точки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. При этом вклад данной траектории выражается через экспоненту от классического действия на траектории. Функциональный интеграл Фейнмана является обобщением интегралов по траекториям, введённых в работах А. Эйнштейна и М. Смолуховского.

Основы теории интегралов по траекториям были заложены в 1920-х гг. Н. Винером, но строгая математическая теория функциональных интегралов до сих пор не создана. Однако метод с успехом применяется к широкому кругу задач. Р. Фейнман показал, что если волновую функцию принять как амплитуду вероятности перехода в состояние (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$) из всевозможных начальных состояний, то волновая функция удовлетворяет уравнению Шрёдингера (здесь ${\displaystyle t}$ – время).

Явно вычисленные гауссовы интегралы используются в теории возмущений для квантовой статистики и квантовой теории поля. С помощью метода функционального интеграла получены правила Фейнмана для вычисления матрицы рассеяния в квантовой электродинамике.

Метод особенно полезен в задачах, в которых необходимо суммировать большое число диаграмм (исследование фазовых переходов, описание коллективных возбуждений в квантовой теории поля и квантовой статистике). Особое место метод функционального интеграла занимает в теории калибровочных полей. С его помощью впервые построена ковариантная теория возмущений для полей Янга – Миллса, квантовой теории тяготения и др.