Метод полос в теории функций комплексного переменного

Ме́тод поло́с, метод в теории функций комплексного переменного, опирающийся на оценки, связывающие длины некоторого специального семейства кривых и площадь области, заполняемой этим семейством. В основе метода полос лежат леммы Грётша (Grötzsch. 1928, Grötzsch. 1929). Одна из них формулируется следующим образом.

Пусть в прямоугольнике со сторонами длины ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ имеется конечное число не налегающих друг на друга односвязных областей ${\displaystyle S_{k}}$, ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$, с жордановыми границами, содержащими на сторонах длины ${\displaystyle A}$ по отрезку, которые не вырождаются в точки (области ${\displaystyle S_{k}}$ образуют полосы, идущие от одной стороны длины ${\displaystyle A}$ к другой). Если область ${\displaystyle S_{k}}$ конформно отображается на прямоугольник со сторонами длины ${\displaystyle a_{k}}$ и ${\displaystyle b_{k}}$ так, что упомянутые отрезки переходят в стороны длины ${\displaystyle a_{k}}$, то

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b_{k}}}\leqslant {\frac {A}{B}}}$,

причём равенство достигается только в том случае, если ${\displaystyle S_{k}}$, ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$, – прямоугольники со сторонами длины ${\displaystyle a_{k}^{\prime }}$ и ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{\prime }=A}$.

В качестве другой леммы служит принцип Грётша. Леммы Грётша верны и для бесконечного множества подобластей.

Метод полос как метод теории однолистных конформных и квазиконформных отображений был впервые использован X. Грётшем (Grötzsch. 1928, Grötzsch. 1929), который с помощью этого метода систематически исследовал и решил большое количество экстремальных задач для однолистных функций, заданных в конечносвязных и бесконечносвязных областях (Дженкинс. 1962^[1]; о других применениях метода полос см. Голузин. 1966^[2], гл. 4, ${\displaystyle \S }$ 6).

Метод полос лежит в основе метода экстремальной метрики.