Локальное свойство в коммутативной алгебре

Лока́льное сво́йство в коммутати́вной а́лгебре, свойство ${\displaystyle P}$ коммутативного кольца ${\displaystyle A}$ или ${\displaystyle A}$-модуля ${\displaystyle M}$, которое верно для кольца ${\displaystyle A}$ (модуля ${\displaystyle M}$) тогда и только тогда, когда аналогичное свойство выполняется для локализаций кольца ${\displaystyle A}$ (модуля ${\displaystyle M}$) относительно всех простых идеалов кольца ${\displaystyle A}$, т. е. свойство, которое выполняется глобально тогда и только тогда, когда оно выполняется всюду локально. Часто вместо множества всех простых идеалов можно ограничиться рассмотрением всех максимальных идеалов кольца ${\displaystyle A}$. Эта терминология становится понятной, если сопоставить кольцу ${\displaystyle A}$ топологическое пространство ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ (спектр кольца ${\displaystyle A}$), состоящее из всех простых идеалов ${\displaystyle A}$. Тогда утверждение «${\displaystyle P}$ верно для ${\displaystyle A}$» эквивалентно утверждению «${\displaystyle P}$ выполняется на всём пространстве ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$», а утверждение «${\displaystyle P}$ верно для всех ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$» эквивалентно утверждению «каждая точка ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ пространства ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ обладает окрестностью, в которой выполняется ${\displaystyle P}$».

Примеры локальных свойств. Область целостности ${\displaystyle A}$ целозамкнута в своём поле частных тогда и только тогда, когда целозамкнуты локализации ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ для всех максимальных идеалов кольца ${\displaystyle A}$. Гомоморфизм
${\displaystyle A}$-модулей ${\displaystyle {{\ce {f: M -> N}}}}$ является изоморфизмом (мономорфизмом, эпиморфизмом, нулевым) тогда и только тогда, когда отображение локализованных модулей ${\displaystyle {\ce {f_{\mathfrak {p}}:M_{\mathfrak {p}}->N_{\mathfrak {p}}}}}$ является таковым для всех максимальных идеалов кольца ${\displaystyle A}$.

Напротив, свойство ${\displaystyle A}$-модуля ${\displaystyle M}$ быть свободным не является локальным.