К-гомологии

К-гомоло́гии, обобщённая теория гомологий, двойственная по Спеньеру – Уайтхеду к топологической ${\displaystyle K}$-теории Атьи – Хирцебруха. Для локально-компактного хаусдорфова пространства ${\displaystyle X}$ его ${\displaystyle K}$-гомологии представляют собой прямую сумму абелевых групп ${\displaystyle K_{*}(X)=K_{0}(X)\oplus K_{1}(X)}$. Для элементов ${\displaystyle K}$-гомологий известна геометрическая конструкция Баума – Дугласа в терминах бордизмов обобщённых циклов, которые представляют собой непрерывные отображения ${\displaystyle f:M\to X}$ многообразия ${\displaystyle M}$ с комплексной спинорной структурой и комплексным векторным расслоением на нём в пространство ${\displaystyle X}$. Также известна аналитическая конструкция ${\displaystyle K}$-гомологий как группы стабильных гомотопических классов фредгольмовых модулей над ${\displaystyle C^{*}}$-алгеброй ${\displaystyle C_{0}(X)}$ непрерывных функций, обращающихся в нуль на бесконечности. Если в последней конструкции взять вместо алгебр ${\displaystyle C_{0}(X)}$ произвольные ${\displaystyle C^{*}}$-алгебры, то получится контравариантная ${\displaystyle K}$-теория в категории ${\displaystyle C^{*}}$-алгебр. Последняя является частным случаем ${\displaystyle KK}$-теории Каспарова.