Классическая пропускная способность квантового канала

Из квантовой теоремы кодирования следует, что число ${\displaystyle N}$ квантовых состояний ${\displaystyle \rho _{k}\in {\mathfrak {S}}({\mathcal {H}}_{A}^{\otimes n}),}$ которыми можно кодировать классические сообщения при передаче через ${\displaystyle n}$ копий квантового канала ${\displaystyle \Phi }$ таким образом, чтобы их можно было декодировать с асимптотически убывающей ошибкой, оценивается как

${\displaystyle N\sim e^{nC},\quad n\to +\infty ,}$

где положительная константа ${\displaystyle C=C(\Phi )}$ называется классической пропускной способностью квантового канала ${\displaystyle \Phi }$ (Холево. 2010^[1]).

Классическая пропускная способность вычисляется по формуле

${\displaystyle C(\Phi )=\lim \limits _{n\to +\infty }{\frac {C_{1}(\Phi ^{\otimes n})}{n}},}$

где ${\displaystyle C_{1}(\Psi )}$ называется однобуквенной пропускной способностью квантового канала и определяется выражением

${\displaystyle C_{1}(\Psi )=\sup \limits _{\{\pi _{k},\rho _{k}\}}{\big [}S{\big (}\sum \limits _{k}\Phi (\rho _{k}){\big )}-\sum \limits _{k}\pi _{k}S(\Phi (\rho _{k})){\big ]},}$

где супремум берётся по всевозможным ансамблям ${\displaystyle \{\pi _{k},\rho _{k}\},}$ состоящим из квантовых состояний ${\displaystyle \rho _{k}\in {\mathfrak {S}}({\mathcal {H}}_{A})}$, и распределениям вероятностей ${\displaystyle \{\pi _{k}\}}$ на них. Здесь ${\displaystyle S(\rho )=\mathrm {Tr} \rho \log \rho }$ – энтропия фон Неймана квантового состояния ${\displaystyle \rho }$.

При взятии супремума в формуле для пропускной способности следует различать случаи ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}<+\infty }$ и ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}=+\infty }$. Для конечномерных пространств он берётся по всем ансамблям состояний. В бесконечномерном случае на состояния ${\displaystyle \rho }$ накладывается энергетическое ограничение вида ${\displaystyle \mathrm {Tr} \rho \,H\leq E,}$ где ${\displaystyle H}$ – гамильтониан системы и ${\displaystyle E}$ – положительное число (энергия).

Определение классической пропускной способности в конечномерном случае появляется в квантовой теореме кодирования (Holevo. 1998^[2]; Schumacher. 1997^[3]). В то же время необходимость вычисления значения ${\displaystyle C_{1}(\Phi ^{\otimes n})}$, отличного, вообще говоря, от ${\displaystyle nC_{1}(\Phi )}$, является следствием свойств функции

${\displaystyle \chi (\{\pi _{k},\rho _{k}\})=S(\rho )-\sum \limits _{k}\pi _{k}S(\rho _{k}),}$

определённой на ансамбле ${\displaystyle \sum \limits _{k}\pi _{k}\rho _{k}=\rho }$ и называемой границей Холево (Холево. 1973^[4]).

Вычисление классической пропускной способности является важнейшей задачей квантовой теории информации. На практике оно необходимо, например, для теоретических расчётов, связанных с кодированием и декодированием при передаче информации по бозонным квантовым каналам, для которых классическая пропускная способность была найдена (Giovannetti. 2015^[5]).