Квантовые меры немарковости

Значительная часть концепций марковости в теории открытых квантовых систем основана на свойствах динамики матрицы плотности системы. А именно, если ${\displaystyle \rho (t)}$ – матрица плотности системы, то можно определить эволюционное отображение ${\displaystyle \Phi _{s}^{t}}$ формулой ${\displaystyle \rho (t)=\Phi _{s}^{t}\rho (s),}$ где ${\displaystyle t\geqslant s\geqslant t_{0},}$ а ${\displaystyle t_{0}}$ – начальный момент времени. Вообще говоря, отображение ${\displaystyle \Phi _{s}^{t}}$ может быть определено данной формулой неоднозначно. Кроме того, оно может не быть вполне положительным или вообще не сохранять положительность. В теории открытых квантовых систем часто рассматриваются факторизованные начальные условия системы и окружения. В этом случае ${\displaystyle \Phi _{t_{0}}^{t}}$ определяется однозначно и является вполне положительным. В силу определения ${\displaystyle \Phi _{t_{0}}^{t}=\Phi _{s}^{t}\Phi _{t_{0}}^{s},}$ поэтому о существовании ${\displaystyle \Phi _{s}^{t}}$ в том или ином классе отображений говорят как о делимости динамики, описываемой ${\displaystyle \Phi _{t_{0}}^{t}}$. В случае, когда интерес представляет именно динамика матрицы плотности системы, марковость часто отождествляют с той или иной делимостью.

Если ${\displaystyle \Phi _{s}^{t}}$ – положительное отображение (переводящее неотрицательные матрицы в неотрицательные) для любых ${\displaystyle t\geqslant s\geqslant t_{0},}$ то говорят, что динамика ${\displaystyle \Phi _{t_{0}}^{t}}$ положительно делима. Наиболее распространённой мерой немарковости, которая характеризует положительную делимость, является мера Бройера – Лейна – Пиило (Breuer. 2009). Она определяется как

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\rm {BLP}}(\Phi _{t_{0}}^{t})=\max _{\rho _{1},\rho _{2}}\int _{\sigma (\rho _{1},\rho _{2},t)>0}dt\;\sigma (\rho _{1},\rho _{2},t),}$

где

${\displaystyle \sigma (\rho _{1},\rho _{2},t)={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\mathrm {Tr} |\Phi _{t_{0}}^{t}(\rho _{1}-\rho _{2})|,}$

${\displaystyle \rho _{1}}$ и ${\displaystyle \rho _{2}}$ – произвольные матрицы плотности. Если динамика ${\displaystyle \Phi _{t_{0}}^{t}}$ положительно делима, то ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\rm {BLP}}(\Phi _{t_{0}}^{t})=0}$.

Если ${\displaystyle \Phi _{s}^{t}}$ – вполне положительное отображение для любых ${\displaystyle t\geqslant s\geqslant t_{0},}$ то говорят, что динамика ${\displaystyle \Phi _{t_{0}}^{t}}$ вполне положительно делима. Наиболее распространённой мерой немарковости, которая характеризует вполне положительную делимость, является мера Риваса – Уельги – Пленио (Rivas. 2010^[1])

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\rm {RHP}}(\Phi _{t_{0}}^{t})=\int _{0}^{\infty }dt\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow +0}{\frac {\mathrm {Tr} |(\Phi _{t}^{t+\varepsilon }\otimes I)(|\Omega \rangle \langle \Omega |)|-1}{\varepsilon }},}$

где ${\displaystyle |\Omega \rangle }$ – максимально сцепленное состояние. Данная мера основана на соответствии Чоя – Ямилковского. Если динамика ${\displaystyle \Phi _{t_{0}}^{t}}$ вполне положительно делима, то ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\rm {RHP}}(\Phi _{t_{0}}^{t})=0}$. Согласно работе (Comparative study ... 2014^[2]), данная мера является одной из самых простых в вычислении, т. к. она не требует оптимизации по начальным состояниям, в отличие от других мер, например меры Бройера – Лейна – Пиило. Если ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\rm {RHP}}(\Phi _{t_{0}}^{t})=0,}$ то ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\rm {BLP}}(\Phi _{t_{0}}^{t})=0,}$ но обратное неверно, как следует из работы (De Vega. 2017^[3]).

Д. Крушинский и С. Манискалько в работе (Chruściński. 2014) предложили иерархию мер, которые характеризуют ${\displaystyle k}$-положительную делимость. Случай ${\displaystyle k=1}$ соответствует положительной делимости, а случай, когда ${\displaystyle k}$ совпадает с размерностью гильбертова пространства системы, соответствует вполне положительной делимости.

Известно и множество других мер делимости, описанных в работах (Comparative study ... 2014; De Vega. 2017), а также основанных на потоке информации Фишера (Xiao-Ming Lu. 2010), расстоянии Буреса (Jing Liu. 2013^[4]), взаимной информации между системой и вспомогательной системой, которая не эволюционирует (Shunlong Luo. 2012^[5]), объёме пространства доступных состояний (Lorenzo. 2013^[6]) и других величинах.

Марковость в рамках теории случайных процессов, в том числе квантовых (Lindblad. 1979^[7]; Accardi. 1982^[8]), не ограничивается только динамикой в заданный момент времени, но и предполагает, что многовременны́е корреляционные функции выражаются в терминах начального распределения и эволюционного отображения ${\displaystyle \Phi _{s}^{t}}$. В теории открытых квантовых систем марковость многовременных корреляционных функций обычно предполагает выполнение (обобщённых) квантовых регрессионных формул (см. в статье Квантовая теорема регрессии).

Для характеризации марковости многовременных корреляций также был предложен целый ряд мер. Например, в работе (Non-Markovian quantum process tomography. 2022^[9]) были предложены меры, основанные на расстоянии между тензором процесса (тензором, который описывает многовременные корреляции открытой квантовой системы) и тензором, соответствующим регрессионным формулам. В работе (Guo. 2022) были предложены меры, основанные на сцепленности в операторном пространстве и энтропии сцепленности состояния эффективного окружения. Однако т. к. физическая значимость многовременных корреляций в определение марковости открытых квантовых систем была осознана только недавно (Li. 2018), то поиск мер, основанных на многовременной динамике и удобных для физических применений, продолжается.