Камера (в математике)

Ка́мера в конечномерном действительном аффинном пространстве ${\displaystyle E}$ относительно локально конечного множества ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ гиперплоскостей в ${\displaystyle E}$, связная компонента множества ${\displaystyle E\setminus \bigcup _{H\in {\mathfrak {F}}}H}$. Камера является открытым выпуклым множеством в ${\displaystyle E}$.

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ – такое множество гиперплоскостей в ${\displaystyle E}$, что группа ${\displaystyle W}$ движений пространства ${\displaystyle E}$, порождённая ортогональными отражениями относительно гиперплоскостей из ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, есть дискретная группа преобразований пространства ${\displaystyle E}$, причём система ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ инвариантна относительно ${\displaystyle W}$. В этом случае говорят о камере относительно ${\displaystyle W}$. Группа ${\displaystyle W}$ действует на множестве всех камер свободно и транзитивно и порождена множеством ${\displaystyle S}$ ортогональных отражений относительно гиперплоскостей системы ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, содержащих ${\displaystyle ({\rm {dim}}\,E-1)}$-мерные грани, любой фиксированной камеры ${\displaystyle C}$, причём пара ${\displaystyle (W,S)}$ является системой Кокстера, а замыкание камеры ${\displaystyle C}$ – фундаментальной областью группы ${\displaystyle W}$. Строение ${\displaystyle C}$ (описание двугранных углов между стенками) полностью определяет структуру группы ${\displaystyle W}$ как абстрактной группы. Изучение этого строения является важным моментом в получении полной классификации дискретных групп, порождённых отражениями в ${\displaystyle E}$ (см. в статье Группа Кокстера). Вместе с этой классификацией получается и полное описание строения камер для таких групп ${\displaystyle W}$.

В том случае, когда ${\displaystyle W}$ является группой Вейля системы корней полупростой алгебры Ли, камера относительно ${\displaystyle W}$ называется камерой Вейля группы ${\displaystyle W}$.

Понятие камеры может быть введено и для гиперплоскостей и дискретных групп, порождённых отражениями в пространстве Лобачевского или на сфере (Винберг. 1971).