Интеграл Фурье – Бесселя

Интегра́л Фурье́ – Бе́сселя (интеграл Ганкеля), аналог интеграла Фурье для функций Бесселя, имеющий вид

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\lambda J_{\nu }(\lambda x)d\lambda \int _{0}^{\infty }yJ_{\nu }(\lambda y)f(y)dy}$ (*).

Формула (*) может быть получена из ряда Фурье – Бесселя для интервала ${\displaystyle (0,l)}$ переходом к пределу при ${\displaystyle l\rightarrow +\infty }$. Г. Ганкель (Hankel, 1875) установил теорему: если функция ${\displaystyle f(x)}$ кусочно непрерывная и имеет ограниченную вариацию на любом интервале ${\displaystyle 0<x<l}$, интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\mid f(x)\mid dx}$

сходится, то формула (*) справедлива при ${\displaystyle \nu >-1/2}$ во всех точках непрерывности ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle 0<x<+\infty }$. В точках разрыва ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle 0<x_{0}<+\infty }$, правая часть формулы (*) равна ${\displaystyle \left[f\left(x_{0}-0\right)+f\left(x_{0}+0\right)\right]/2}$, при ${\displaystyle x_{0}=0}$ она даёт ${\displaystyle f(0+)/2}$.

Аналоги интеграла Фурье – Бесселя (*) для цилиндрических функций ${\displaystyle Z_{\nu }(x)}$ других типов также справедливы, но пределы интегралов должны быть соответственно изменены.