Интеграл Бёркиля

Интегра́л Бёркиля, понятие, введённое Дж. Бёркилем (Burkill. Functions of intervals. 1924^[1]; The expression of area as an integral. 1924^[2]) для определения площади поверхности. В современном виде интеграл Бёркиля вводится для интегрирования неаддитивной функции ${\displaystyle F(J)}$ ${\displaystyle n}$-мерного сегмента (бруса). Пусть ${\displaystyle R}$ есть множество, представимое в виде суммы (объединения) конечного числа сегментов (такое множество называется фигурой). Каждое представление ${\displaystyle \displaystyle R=\bigcup J_{k}}$ называется разбиением фигуры ${\displaystyle R}$. Верхним интегралом Бёркиля и нижним интегралом Бёркиля от функции сегмента ${\displaystyle F(J)}$ по фигуре ${\displaystyle R}$ называют соответственно верхний и нижний пределы сумм ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k}F(J_{k})}$ для всевозможных разбиений при стремлении к нулю максимума диаметров сегментов, входящих в разбиение. Если эти интегралы равны, то их общее значение называется интегралом Бёркиля от функции ${\displaystyle F}$ по ${\displaystyle R}$ и обозначается ${\displaystyle \displaystyle \int _{R}F}$. Если ${\displaystyle F}$ интегрируема на ${\displaystyle R}$, то ${\displaystyle F}$ интегрируема на каждой фигуре ${\displaystyle R_{1}\subset R}$. Тем самым вводится неопределённый интеграл Бёркиля, который является аддитивной функцией множества. Если ${\displaystyle F}$ непрерывна, то и неопределённый интеграл Бёркиля непрерывен.

Понятие интеграла Бёркиля может быть обобщено на случай функции множества, определённой на некотором классе подмножеств абстрактного пространства с мерой. Этот класс должен удовлетворять ряду требований; в частности, каждое множество из данного класса должно допускать разбиение на составляющие множества из того же класса, имеющие произвольно малые меры. Тогда для любого множества из класса определяется интеграл Бёркиля по аналогии с ${\displaystyle n}$-мерным случаем, причём соответствующие пределы берутся при стремлении к нулю максимума мер составляющих множеств. Интеграл Бёркиля естественным образом обобщается на функции множества со значениями в коммутативной топологической группе. Интеграл Бёркиля является менее общим, чем введённый позднее интеграл Колмогорова, называемый также интегралом Бёркиля – Колмогорова. Всякая интегрируемая по Бёркилю функция интегрируема по Колмогорову при соответствующем упорядочении разбиений. Обратное верно лишь при некоторых дополнительных условиях. Интеграл Бёркиля используется для построения интеграла Данжуа в различных пространствах.

Интегралом Бёркиля называют также ряд введённых Дж. Бёркилем обобщений интеграла Перрона (AP-интеграл, CP-интеграл, SCP-интеграл), в определении которых вместо обычных производных чисел используются некоторые обобщённые производные числа. Эти интегралы Бёркиля находят применение в теории тригонометрических рядов.