Интегральные синус и косинус

Интегра́льные си́нус и ко́синус, специальные функции, определяемые соответственно равенствами

${\displaystyle {\text{Si}}\,(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt,\quad \mid x\mid <\infty ;}$
${\displaystyle {\text{Ci}}\,(x)=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt,\quad x>0}$.

Эти интегралы в конечном виде через элементарные функции не выражаются. Они являются простейшими примерами сходящихся, но не абсолютно сходящихся несобственных интегралов.

Эти функции введены итальянским математиком Л. Маскерони (1790), однако ещё Л. Эйлеру (1781) было известно, что

${\displaystyle {\text{Si}}\,(\infty )=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}}$.

Функции ${\displaystyle {\text{Si}}\,(x)}$ и ${\displaystyle {\text{Ci}}\,(x)}$ встречаются в различных вопросах анализа и техники, и для них имеются подробные таблицы. Иногда используют обозначения ${\displaystyle {\text{si}}\,(x)\equiv {\text{Si}}(x)-\pi /2}$ и ${\displaystyle {\text{ci}}\,(x)\equiv {\text{Ci}}(x)}$.