Интегральное уравнение Абеля

Интегра́льное уравне́ние А́беля, интегральное уравнение

\int _{0}^{x}{\frac {\varphi (s)}{\sqrt {x-s}}}\,ds=f(x),

(1)

к которому сводится решение задачи Абеля. Интегральным уравнением Абеля называется также более общее уравнение (обобщённое интегральное уравнение Абеля)

\int _{a}^{x}{\frac {\varphi (s)}{(x-s)^{\alpha }}}\,ds=f(x),\quad a\leqslant x\leqslant b,

(2)

где $a>0$ и $0<\alpha <1$ – заданные постоянные, $f(x)$ – известная функция, а $\varphi (x)$ – искомая функция. Выражение $(x-s)^{-\alpha }$ называется ядром интегрального уравнения Абеля, или ядром Абеля. Интегральные уравнения Абеля принадлежат к классу уравнений Вольтерры 1-го рода. Уравнение

\int _{a}^{b}{\frac {\varphi (s)}{|x-s|^{\alpha }}}\,ds=f(x),\quad a\leqslant x\leqslant b,

(3)

называется интегральным уравнением Абеля с постоянными пределами.

Если $f(x)$ – непрерывно дифференцируемая функция, то интегральное уравнение Абеля (2) имеет единственное непрерывное решение, представимое формулой

\varphi (x)={\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}{\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)\,dt}{(x-t)^{1-\alpha }(x)}},

(4)

или, что то же самое, формулой

\varphi (x)={\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\left[{\frac {f(a)}{(x-a)^{1-\alpha }}}+\int _{a}^{x}{\frac {f'(t)\,dt}{(x-t)^{1-\alpha }}}\right].

(5)

Формула (5) является решением интегрального уравнения Абеля (2) при более широких предположениях (Tonelli. 1928^[1]). Так, в статье Тонелли Л. (1928) показано, что если $f(x)$ абсолютно непрерывна на отрезке $[a,b]$ , то интегральное уравнение Абеля (2) имеет в классе интегрируемых по Лебегу функций единственное решение, определяемое формулой (5). Решение интегрального уравнения Абеля (3) дано в статье Карлемана Т. (Carleman. 1922^[2]).

↑ Tonelli L. Su un problema di Abel / L. Tonelli // Mathematische Annalen. – 1928. – Bd. 99. – S. 183–199.
↑ Carleman T. Über die Abelsche Integralgleichung mit konstanten Integrations-grenzen / T. Carleman // Mathematische Zeitschrift. – 1922. – Bd. 15. – S. 111–120.

Bôcher M. On the regions of convergence of power-series which represent two-dimensional harmonic functions // Transactions of the American Mathematical Society. – 1909. – Vol. 10, № 2. – P. 271–278.
Carleman T. Über die Abelsche Integralgleichung mit konstanten Integrations-grenzen // Mathematische Zeitschrift. – 1922. – Bd. 15. – S. 111–120.
Tonelli L. Su un problema di Abel // Mathematische Annalen. – 1928. – Bd. 99. – S. 183–199.
Tamarkin J. D. On Integrable Solutions of Abel's Integral Equation // Annals of Mathematics. – 1930. – Vol. 31, № 2. – P. 219–229.
Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. – Москва : Физматгиз, 1959.
Гахов Ф. Д. Краевые задачи. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : Физматгиз, 1963.

[1] Tonelli L. Su un problema di Abel / L. Tonelli // Mathematische Annalen. – 1928. – Bd. 99. – S. 183–199.

[2] Carleman T. Über die Abelsche Integralgleichung mit konstanten Integrations-grenzen / T. Carleman // Mathematische Zeitschrift. – 1922. – Bd. 15. – S. 111–120.

[1]

[2]

Интегральное уравнение Абеля

Примечания

Литература