Заряд (в математике)

Заря́д (обобщённая мера), действительная ${\displaystyle \sigma }$-аддитивная функция множества, определённая на ${\displaystyle \sigma }$-алгебре борелевских подмножеств области ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ и конечная на компактах ${\displaystyle K\subset G}$. Разность двух мер является зарядом; обратно, таким способом получаются все заряды: для любого заряда ${\displaystyle \nu }$ существует разложение ${\displaystyle G}$ на два непересекающихся множества ${\displaystyle G^{+}}$ и ${\displaystyle G^{-}}$ таких, что ${\displaystyle \nu (e)\geqslant 0}$ при ${\displaystyle e\subset G^{+}}$ и ${\displaystyle \nu (e)\leqslant 0}$ при ${\displaystyle e\subset G^{-}}$. Меры ${\displaystyle \nu ^{+}=\nu \left(e\bigcap G^{+}\right)}$ и ${\displaystyle \nu ^{-}=\nu \left(e\bigcap G^{-}\right)}$ не зависят от выбора ${\displaystyle G^{+}}$ и ${\displaystyle G^{-}}$ и называются положительной и отрицательной вариациями заряда ${\displaystyle \nu }$, а мера ${\displaystyle |\nu |=\nu ^{+}+\nu ^{-}}$ – полной вариацией заряда ${\displaystyle \nu }$. Имеет место разложение Хана – Жордана: ${\displaystyle \nu =\nu ^{+}+\nu ^{-}}$, в силу которого свойства заряда могут быть выражены в терминах теории меры.