Дельта амплитуды

Де́льта амплиту́ды, одна из трёх основных эллиптических функций Якоби. Обозначается

${\displaystyle {\rm {dn}}\,u={\rm {dn}}\,(u,k)=\Delta \,{\rm {am}}\,u}$.

Дельта амплитуды следующим образом выражается через сигма-функции Вейерштрасса, тета-функции Якоби или при помощи ряда:

${\displaystyle amp;{\rm {dn}}\,u={\rm {dn}}\,(u,k)={\frac {\sigma _{2}(u)}{\sigma _{3}(u)}}={\frac {\vartheta _{0}(0)\vartheta _{3}(v)}{\vartheta _{3}(0)\vartheta _{0}(v)}}=}$
${\displaystyle {\begin{aligned}=1-k^{2}&{\frac {u^{2}}{2!}}+k^{2}(4+k^{2}){\frac {u^{4}}{4!}}-k^{2}(16+44k^{2}+k^{4}){\frac {u^{6}}{6!}}-\dots ,\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle k}$ – модуль дельты амплитуды, ${\displaystyle 0\leq k\leq 1}$; ${\displaystyle v=u/2\omega }$, ${\displaystyle 2\omega =\pi \vartheta _{3}^{2}(0)}$. При ${\displaystyle k=0,1}$ соответственно

${\displaystyle {\rm {dn}}}\,u=1,\quad {\rm {dn}}\,u={\frac {1}{{\rm {ch}}\,u}}$.

См. также в статьях Эллиптические функции Вейерштрасса, Эллиптические функции.