Вектор Шепли

Ве́ктор Ше́пли, вектор-функция ${\displaystyle \varphi (v)=\left(\varphi _{1}(v),\ldots ,\varphi _{n}(v)\right)}$, заданная на множестве характеристических функций игр ${\displaystyle n}$ лиц и удовлетворяющая следующим аксиомам: 1) (эффективность) если коалиция ${\displaystyle T}$ такова, что для любой коалиции ${\displaystyle S}$ выполняется равенство ${\displaystyle v(S)=v(S\cap T)}$, то ${\displaystyle \sum _{i\in T}\varphi _{i}(v)=v(T)}$; 2) (симметричность) если ${\displaystyle \pi }$-перестановка множества ${\displaystyle J=\{1,\ldots ,n\}}$ и для любой коалиции ${\displaystyle S}$ имеет место ${\displaystyle v^{\prime }(\pi S)=v(S)}$, то ${\displaystyle \varphi _{\pi i}\left(v^{\prime }\right)=\varphi _{i}(v)}$; 3) (линейность) ${\displaystyle \varphi _{i}(v+u)=\varphi _{i}(v)+\varphi _{i}(u)}$. Эти аксиомы были введены Л. Шепли (Shapley. 1953^[1]) для аксиоматического определения ожидаемого выигрыша игрока в кооперативной игре. Было показано, что аксиомам 1)–3) удовлетворяет единственная вектор-функция

${\displaystyle \varphi _{i}(v)=\sum _{S\ni i}{\frac {(|S|-1)!(n-|S|)!}{n!}}[v(S)-v(S-\{i\})]}$.