Асимптотически устойчивое решение

Асимптоти́чески усто́йчивое реше́ние, решение дифференциальной системы, устойчивое по Ляпунову и притягивающее все остальные решения с достаточно близкими начальными значениями. Таким образом, решение

${\displaystyle x\left(\tau ,\xi _{0}\right),\quad x\left(\alpha ,\xi _{0}\right)=\xi _{0}}$,

системы

${\displaystyle {\frac {dx}{d\tau }}=f(\tau ,x)}$ (*)

с правой частью ${\displaystyle f(\tau ,\xi )}$, заданной для всех ${\displaystyle \tau \geqslant \alpha }$, ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$ и обеспечивающей существование и единственность решений системы (*), будет асимптотически устойчивое решение, если оно вместе со всеми достаточно близкими решениями

${\displaystyle x(\tau ,\xi ),\quad \left|\xi -\xi _{0}\right|<h\quad h>0}$,

определено для всех ${\displaystyle \tau \geqslant \alpha }$ и если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta }$, ${\displaystyle 0<\delta <h}$ такое, что ${\displaystyle \left|\xi -\xi _{0}\right|<\delta }$ влечёт

${\displaystyle \left\|x(\tau ,\xi )-x\left(\tau ,\xi _{0}\right)\right\|<\varepsilon }$

для всех ${\displaystyle \tau \geqslant \alpha }$ и

${\displaystyle \left\|x(\tau ,\xi )-x\left(\tau ,\xi _{0}\right)\right\|\longrightarrow 0\quad {\text{ при }}\quad \tau \longrightarrow +\infty }$.

Понятие «асимптотически устойчивое решение» введено А. М. Ляпуновым (^[1]); оно широко используется в теории устойчивости наряду с различными специальными типами равномерной асимптотической устойчивости (^[2]).