ФА́ЗОВОЕ ПРОСТРА́НСТВО
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ФА́ЗОВОЕ ПРОСТРА́НСТВО в теории динамических систем, абстрактное пространство, каждая точка которого соответствует состоянию динамической системы, включая начальные состояния. Координатами в Ф. п. также служат величины, описывающие состояние системы. Ф. п. динамич. систем классич. механики, характеризующее, напр., процесс движения $N$ материальных точек, есть множество, элементом которого является набор координат и скоростей всех точек данной системы. Для экологич. модели в качестве координат Ф. п. выбирают, напр., численности популяций разл. биологич. видов. Движение точки по к.-л. кривой в Ф. п. (по траектории фазовой точки) описывает движение всей системы. Скорость движения по этой траектории в каждой точке Ф. п. определяется вектором скорости фазовой точки. Все векторы скорости образуют векторное поле скоростей фазовых точек, которое определяет зависимость движения фазовой точки от её положения, т. е. описывается уравнением, допускающим существование (на конечном или бесконечном интервале) единственного решения при любых начальных условиях. Эти уравнения редко решаются аналитически в явном виде. Обычно с помощью ЭВМ получают приближённое решение на конечном временнóм отрезке, однако это не позволяет понять поведение фазовых траекторий в целом. Понятие Ф. п. – основа методов качественного исследования уравнений эволюции системы.
В качестве примера можно рассмотреть представление совокупности движений гармонич. осциллятора в Ф. п. (в данном случае – на фазовой плоскости). Независимо от физич. природы и конкретного устройства гармонич. осциллятор описывается уравнением $\ddot q+ω_0^2q=0$, где $q$ – величина, характеризующая отклонение от положения равновесия, $\dot q$ – скорость изменения $q$ во времени, $\ddot q$ – скорость изменения во времени (напр., $q=x$ – отклонение маятника от положения равновесия, $\dot q$ – его скорость, $\ddot q$ – ускорение), $ω_0$ – собств. частота колебаний осциллятора. Вся фазовая плоскость ($\dot q$,$q$) для гармонич осциллятора представляет собой вложенные друг в друга эллипсы (за исключением $\dot q=\ddot q=q=0$). Каждый эллипс при заданных начальных условиях один и только один. Т. к. эллипсы – замкнутые кривые, что соответствует периодич. движениям, фазовая точка, выйдя из к.-л. точки фазовой плоскости, через некоторое время возвращается в неё. Т. о., не зная возможных движений с количественной стороны, можно судить о качественной характеристике возможных движений. Результаты качественного исследования движения линейной системы без трения (гармонич. осциллятора) можно сформулировать так: система при любых начальных условиях совершает периодич. движения вокруг состояния равновесия ($x=0$, $y=0$) за исключением единственного случая, когда начальные условия соответствуют этому состоянию.
Понятие Ф. п. широко используется в совр. теории колебаний и волн, включая теорию динамического хаоса и образования структур.
В статистической физике Ф. п. – многомерное пространство, осями которого служат обобщённые координаты и импульсы системы с $N$ степенями свободы. Ф. п. имеет размерность $2N$. Состояние системы изображается в Ф. п. точкой, а изменение состояния системы во времени – движением точки вдоль линии, называемой фазовой траекторией. В статистич. физике число $N$ очень велико (как правило, порядка Авогадро числа), поэтому для описания состояния системы вводятся статистич. функции распределения, характеризующие вероятность нахождения точки, изображающей состояние системы, в сколь угодно малом элементе объёма Ф. п. Понятие Ф. п. является основным для классич. статистич. физики.