Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ФА́ЗОВОЕ ПРОСТРА́НСТВО

  • рубрика

    Рубрика: Физика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 33. Москва, 2017, стр. 176-177

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Д. И. Трубецков, Ю. Г. Рудой

ФА́ЗОВОЕ ПРОСТРА́НСТВО в тео­рии ди­на­ми­че­ских сис­тем, аб­ст­ракт­ное про­стран­ст­во, ка­ж­дая точ­ка ко­то­ро­го со­от­вет­ст­ву­ет со­стоя­нию ди­на­ми­че­ской сис­те­мы, вклю­чая на­чаль­ные со­стоя­ния. Ко­ор­ди­на­та­ми в Ф. п. так­же слу­жат ве­ли­чи­ны, опи­сы­ваю­щие со­стоя­ние сис­те­мы. Ф. п. ди­на­мич. сис­тем клас­сич. ме­ха­ники, ха­рак­те­ри­зую­щее, напр., про­цесс дви­же­ния $N$ ма­те­ри­аль­ных то­чек, есть мно­же­ст­во, эле­мен­том ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся на­бор ко­ор­ди­нат и ско­ро­стей всех то­чек дан­ной сис­те­мы. Для эко­ло­гич. мо­де­ли в ка­че­ст­ве ко­ор­ди­нат Ф. п. вы­би­ра­ют, напр., чис­лен­но­сти по­пу­ля­ций разл. био­ло­гич. ви­дов. Дви­же­ние точ­ки по к.-л. кри­вой в Ф. п. (по тра­ек­то­рии фа­зо­вой точ­ки) опи­сы­ва­ет дви­же­ние всей сис­те­мы. Ско­рость дви­же­ния по этой тра­ек­то­рии в ка­ж­дой точ­ке Ф. п. оп­ре­де­ля­ет­ся век­то­ром ско­ро­сти фа­зо­вой точ­ки. Все век­то­ры ско­ро­сти об­ра­зу­ют век­тор­ное по­ле ско­ро­стей фа­зо­вых то­чек, ко­то­рое оп­ре­де­ля­ет за­ви­си­мость дви­же­ния фа­зо­вой точ­ки от её по­ло­же­ния, т. е. опи­сы­ва­ет­ся урав­не­ни­ем, до­пус­каю­щим су­ще­ст­во­ва­ние (на ко­неч­ном или бес­ко­неч­ном ин­тер­ва­ле) един­ст­вен­но­го ре­ше­ния при лю­бых на­чаль­ных ус­ло­ви­ях. Эти урав­не­ния ред­ко ре­ша­ют­ся ана­ли­ти­че­ски в яв­ном ви­де. Обыч­но с по­мо­щью ЭВМ по­лу­ча­ют при­бли­жён­ное ре­ше­ние на ко­неч­ном вре­мен­нóм от­рез­ке, од­на­ко это не по­зво­ля­ет по­нять по­ве­де­ние фа­зо­вых тра­ек­то­рий в це­лом. По­ня­тие Ф. п. – ос­но­ва ме­то­дов ка­че­ст­вен­но­го ис­сле­до­ва­ния урав­не­ний эво­лю­ции сис­те­мы.

В ка­че­ст­ве при­ме­ра мож­но рас­смот­реть пред­став­ле­ние со­во­куп­но­сти дви­же­ний гар­мо­нич. ос­цил­ля­то­ра в Ф. п. (в дан­ном слу­чае – на фа­зо­вой плос­ко­сти). Не­за­ви­си­мо от фи­зич. при­ро­ды и кон­крет­ного уст­рой­ст­ва гар­мо­нич. ос­цил­ля­тор опи­сы­ва­ет­ся урав­не­ни­ем $\ddot q+ω_0^2q=0$, где $q$ – ве­ли­чи­на, ха­рак­те­ри­зую­щая от­кло­не­ние от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия, $\dot q$ – ско­рость из­ме­не­ния $q$ во вре­ме­ни, $\ddot q$ – ско­рость из­ме­не­ния во вре­ме­ни (напр., $q=x$ – от­кло­не­ние ма­ят­ни­ка от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия, $\dot q$ – его ско­рость, $\ddot q$ – ус­ко­ре­ние), $ω_0$ – собств. час­то­та ко­ле­ба­ний ос­цил­ля­то­ра. Вся фа­зо­вая плос­кость ($\dot q$,$q$) для гар­мо­нич ос­цил­ля­то­ра пред­став­ля­ет со­бой вло­жен­ные друг в дру­га эл­лип­сы (за ис­клю­че­ни­ем $\dot q=\ddot q=q=0$). Ка­ж­дый эл­липс при за­дан­ных на­чаль­ных ус­ло­ви­ях один и толь­ко один. Т. к. эл­лип­сы – замк­ну­тые кри­вые, что со­от­вет­ст­ву­ет пе­рио­дич. дви­же­ни­ям, фа­зо­вая точ­ка, вый­дя из к.-л. точ­ки фа­зо­вой плос­ко­сти, че­рез не­ко­то­рое вре­мя воз­вра­ща­ет­ся в неё. Т. о., не зная воз­мож­ных дви­же­ний с ко­ли­чест­вен­ной сто­ро­ны, мож­но су­дить о ка­че­ст­вен­ной ха­рак­те­ри­сти­ке воз­мож­ных дви­же­ний. Ре­зуль­та­ты ка­че­ст­вен­но­го ис­сле­до­ва­ния дви­же­ния ли­ней­ной сис­те­мы без тре­ния (гар­мо­нич. ос­цил­ля­то­ра) мож­но сфор­му­ли­ро­вать так: сис­те­ма при лю­бых на­чаль­ных ус­ло­ви­ях со­вер­ша­ет пе­рио­дич. дви­же­ния во­круг со­стоя­ния рав­но­ве­сия ($x=0$, $y=0$) за ис­клю­че­ни­ем един­ст­вен­но­го слу­чая, ко­гда на­чаль­ные ус­ло­вия со­от­вет­ст­ву­ют это­му состоя­нию.

По­ня­тие Ф. п. ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся в совр. тео­рии ко­ле­ба­ний и волн, вклю­чая тео­рию ди­на­ми­че­ско­го хао­са и об­ра­зо­ва­ния струк­тур.

В ста­ти­сти­че­ской фи­зи­ке Ф. п. – мно­го­мер­ное про­стран­ст­во, ося­ми ко­то­ро­го слу­жат обоб­щён­ные ко­ор­ди­на­ты и им­пуль­сы сис­те­мы с $N$ сте­пе­ня­ми сво­бо­ды. Ф. п. име­ет раз­мер­ность $2N$. Со­стоя­ние сис­те­мы изо­бра­жа­ет­ся в Ф. п. точ­кой, а из­ме­не­ние со­стоя­ния сис­те­мы во вре­ме­ни – дви­же­ни­ем точ­ки вдоль ли­нии, на­зы­вае­мой фа­зо­вой тра­ек­то­ри­ей. В ста­ти­стич. фи­зи­ке чис­ло $N$ очень ве­ли­ко (как пра­ви­ло, по­ряд­ка Аво­гад­ро чис­ла), по­это­му для опи­са­ния со­стоя­ния сис­те­мы вво­дят­ся ста­ти­стич. функ­ции рас­пре­де­ле­ния, ха­рак­те­ри­зую­щие ве­ро­ят­ность на­хо­ж­де­ния точ­ки, изо­бра­жаю­щей со­стоя­ние сис­те­мы, в сколь угод­но ма­лом эле­мен­те объ­ё­ма Ф. п. По­ня­тие Ф. п. яв­ля­ет­ся ос­нов­ным для клас­сич. ста­ти­стич. фи­зи­ки.

Лит.: Ан­д­ро­нов А. А., Витт А. А., Хай­кин С. Э. Тео­рия ко­ле­ба­ний. 2-е изд. М., 1981; Тру­бец­ков Д. И. Вве­де­ние в си­нер­ге­ти­ку. Ко­ле­ба­ния и вол­ны. 4-е изд. М., 2011; Не­кор­кин В. И. Лек­ции по ос­но­вам тео­рии ко­ле­ба­ний. Н. Нов­го­род, 2012.

Вернуться к началу