Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

СИММЕ́ТРИ́Я КРИСТА́ЛЛОВ

  • рубрика

    Рубрика: Физика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 30. Москва, 2015, стр. 194-196

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Н. Н. Ерёмин

СИММЕ́ТРИ́Я КРИСТА́ЛЛОВ, свой­ст­во кри­стал­лов са­мо­со­вме­щать­ся при по­во­ро­тах, от­ра­же­ни­ях, па­рал­лель­ных пе­ре­но­сах или ком­би­на­ции этих опе­ра­ций; спо­соб­ность гео­мет­рич. тел по­вто­рять свои час­ти ли­бо за­ко­но­мер­ное рас­по­ло­же­ние объ­ек­тов в про­стран­ст­ве (оп­ре­де­ле­ние рос. кри­стал­ло­гра­фа Е. С. Фё­до­ро­ва). С. к. – пред­мет изу­че­ния гео­мет­рич. кри­стал­ло­гра­фии, ко­то­рая под­раз­де­ля­ет­ся на мак­ро- и мик­ро­кри­стал­ло­гра­фию. Пер­вая изу­ча­ет ко­неч­ные гео­мет­рич. объ­ек­ты (кри­стал­лы), вто­рая – бес­ко­неч­ные пе­рио­дич. кри­стал­лич. струк­ту­ры (внутр. строе­ние кри­стал­лич. ве­ще­ст­ва).

Точечные группы симметрии

Действие на асимметричный объект: поворотной оси 4-го порядка (а); плоскости симметрии (б); центра симметрии (в); инверсионной оси 4-го порядка (г). Правые (П) и левые (Л) фигуры показаны различными ц...

Мак­ро­кри­стал­ло­гра­фия изу­ча­ет кри­стал­лич. мно­го­гран­ни­ки как сим­мет­рич­ные гео­мет­рич. объ­ек­ты, т. е. фи­гу­ры, ко­то­рые мо­гут са­мо­со­вме­щать­ся оп­ре­де­лён­ны­ми пре­об­ра­зо­ва­ния­ми – по­во­ро­та­ми, от­ра­же­ния­ми и др. Эти пре­об­ра­зо­ва­ния на­зы­ва­ют­ся опе­ра­ция­ми сим­мет­рии. Гео­мет­рич. об­ра­зы, с по­мо­щью ко­то­рых за­да­ют­ся или осу­ще­ст­в­ля­ют­ся опе­ра­ции сим­мет­рии, на­зы­ва­ют­ся эле­мен­та­ми сим­мет­рии. Сим­мет­рию лю­бо­го кри­стал­ла мож­но опи­сать то­чеч­ной груп­пой сим­мет­рии, ко­то­рая яв­ля­ет­ся со­во­куп­но­стью всех су­ще­ст­вую­щих в дан­ном кри­стал­ле эле­мен­тов сим­мет­рии. По­след­ние пе­ре­се­ка­ют­ся в од­ной точ­ке, ко­то­рая не раз­мно­жа­ет­ся ни од­ним эле­мен­том сим­мет­рии (ос­та­ёт­ся не­по­движ­ной). От­сю­да и назв. та­ких групп – то­чеч­ные. В то­чеч­ных груп­пах мо­гут встре­чать­ся сле­дую­щие эле­мен­ты сим­мет­рии: по­во­рот­ные ($L_n$, $C_n$, или $n$), ин­вер­си­он­ные ($Ł_n$, или $\bar n$), или зер­каль­но-по­во­рот­ные ($L_n$, или $S_n$) оси, плос­кос­ти зер­каль­но­го от­ра­же­ния ($P$, $σ$, или $m$) и центр сим­мет­рии (ин­вер­сии) ($C$, $i$, или $\bar 1$). При дей­ст­вии осей сим­мет­рии $L_n$ гра­ни кри­стал­ла со­вме­ща­ют­ся с то­ж­де­ст­вен­ны­ми им пу­тём по­во­ро­та на угол $α$ (ми­ним. угол по­во­ро­та, при­во­дя­ще­го фи­гу­ру к са­мо­со­вме­ще­нию), оп­ре­де­ляе­мый по­ряд­ком оси $n=360/α$ (рис., а). Сле­до­ва­тель­но, по­ря­док оси ра­вен чис­лу са­мо­со­вме­ще­ний объ­ек­та при пол­ном по­во­ро­те на 360°. Плос­ко­сти $P$ свя­зы­вают объ­ек­ты, ко­то­рые от­но­сят­ся друг к дру­гу как пред­мет и его зер­каль­ное от­ра­же­ние (рис., б). От­ра­же­ние в цен­т­ре ин­вер­сии $C$ ана­ло­гич­но оп­тич. схе­ме фо­то­ап­па­ра­та: объ­ект от­ра­жа­ет­ся в фо­ку­се и пе­ре­во­ра­чи­ва­ет­ся (рис., в). Ин­вер­си­он­ные и зер­каль­но-по­во­рот­ные оси со­вме­ща­ют од­но­вре­мен­ный по­во­рот и от­ра­же­ние, пер­вые – в точ­ке ин­вер­сии, вто­рые – в плос­ко­сти (рис., г). Так, напр., куб име­ет: 3 оси 4-го по­ряд­ка, ко­то­рые про­хо­дят че­рез цен­тры про­ти­во­по­лож­ных гра­ней, 4 оси 3-го по­ряд­ка, про­хо­дя­щие по про­странст­вeн­ным диа­го­на­лям ку­ба, 6 осей 2-го по­ряд­ка, про­хо­дя­щих че­рез се­ре­ди­ны пар про­ти­во­по­лож­ных рё­бер; 9 плос­ко­стей сим­мет­рии, 3 из ко­то­рых вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и де­лят по­по­лам про­ти­во­по­лож­ные рёб­ра ку­ба как ко­ор­ди­нат­ные плос­ко­сти пря­мо­уголь­ной сис­те­мы ко­ор­ди­нат, а 6 плос­ко­стей про­хо­дят по диа­го­на­лям гра­ней ку­ба; центр ин­вер­сии. Все эле­мен­ты сим­мет­рии ку­ба пе­ре­се­ка­ют­ся в од­ной точ­ке – в цен­тре ку­ба (центр ин­вер­сии). То­чеч­ная груп­па сим­мет­рии ку­ба – $3L_44L_36L_29PC$ (в сим­во­ли­ке Бра­ве), – $m\bar 3 m$ (в ме­ж­ду­нар. сим­во­ли­ке), или $O_h$ (в сим­во­ли­ке Шён­фли­са).

Чис­ло то­чеч­ных групп сим­мет­рии бес­ко­неч­но. Их при­ня­то де­лить на груп­пы 1-го и 2-го ро­да (груп­пы соб­ст­вен­ных и не­соб­ст­вен­ных вра­ще­ний). Пер­вые со­дер­жат толь­ко про­стые по­во­рот­ные оси и опи­сы­ва­ют кри­стал­лы, со­стоя­щие толь­ко из со­вмес­ти­мо рав­ных час­тей. Груп­пы 2-го ро­да со­дер­жат слож­ные оси, зер­каль­ные плос­ко­сти, центр ин­вер­сии и опи­сы­ва­ют кри­стал­лы, в ко­то­рых есть зер­каль­но рав­ные час­ти. Кри­стал­лы, опи­сы­вае­мые груп­па­ми 1-го ро­да, мо­гут кри­стал­ли­зо­вать­ся в двух энан­тио­морф­ных фор­мах («пра­вой» и «ле­вой», ка­ж­дая из ко­то­рых не со­дер­жит эле­мен­тов сим­мет­рии 2-го ро­да), но зер­каль­но рав­ных друг дру­гу (см. Энан­тио­мор­физм).

То­чеч­ные груп­пы опи­сы­ва­ют сим­мет­рию не толь­ко кри­стал­лов, но и мо­ле­кул и лю­бых ко­неч­ных фи­гур. В от­ли­чие от гео­мет­рич. фи­гур и при­род­ных объ­ек­тов, в кри­стал­лах невоз­мож­ны оси по­ряд­ков вы­ше 6-го и оси 5-го по­ряд­ка. Это объ­яс­ня­ет­ся внутр. пе­рио­дич. строе­ни­ем кри­стал­ла и свя­за­но с тем, что пя­ти­уголь­ни­ка­ми и $n$-уголь­ни­ка­ми с $n > 6$ не­воз­мож­но за­пол­нить всё дву­мер­ное про­стран­ст­во без про­ме­жут­ков и пе­ре­кры­тий. Од­на­ко, в от­ли­чие от кри­стал­лов, та­кие оси при­сут­ст­ву­ют в жи­вых ор­га­низ­мах (цве­ты, ме­ду­зы и др.), а так­же в ква­зик­ри­стал­лах, ли­шён­ных трёх­мер­но­го транс­ля­ци­он­но­го пе­рио­дич. строе­ния.

В кри­стал­лах эле­мен­ты сим­мет­рии рас­по­ла­га­ют­ся стро­го за­ко­но­мер­ным об­ра­зом: их со­че­та­ния и вза­им­ное рас­по­ло­же­ние под­чи­ня­ют­ся ма­те­ма­тич. тео­рии аб­стракт­ных групп. До­ка­за­но, что взаи­мо­дей­ст­вие двух сим­мет­ри­че­ских опе­ра­ций по­ро­ж­да­ет тре­тью – ре­зуль­ти­рую­щую – опе­ра­цию (эле­мент сим­мет­рии). Рас­смот­рев все взаи­мо­дей­ст­вия эле­мен­тов сим­мет­рии кри­стал­ла, мож­но по­лу­чить пол­ную со­во­куп­ность сим­мет­ри­че­ских опе­ра­ций, на­зы­вае­мую груп­пой сим­мет­рии кри­стал­ла (или кри­стал­ло­гра­фич. клас­сом). Вы­вод групп сим­мет­рии впер­вые осу­ще­ст­вил нем. кри­стал­ло­граф М. Л. Фран­кен­гейм в 1826; рос. учё­ный А. В. Га­до­лин в 1867 ма­те­ма­ти­че­ски по­ка­зал, что су­ще­ст­ву­ет все­го 32 то­чеч­ные груп­пы (клас­са) сим­мет­рии, пол­но­стью опи­сы­ваю­щие все воз­мож­ные для кри­стал­лов ком­би­на­ции эле­мен­тов сим­мет­рии. По фор­ме и сим­мет­рии эле­мен­тар­ной ячей­ки все клас­сы де­лят­ся на низ­шую, сред­нюю и выс­шую ка­те­го­рии и шесть син­го­ний (табл.).

Распределение 32 классов симметрии по категориям и сингониям

Низшая категория a≠b≠cСредняя категория a=b≠cВысшая категория a=b=c
Триклинная сингония α≠β≠γМоноклинная сингония α=β≠γРомбическая сингония α=β=γ=90°Тетрагональная сингония α=β=γ=90°Гексагональная сингония α=β=90°, γ=120°Кубическая сингония α=β=γ=90°
тригональная подсингониягексагональная подсингония 
L1L23L2L4L3L63L24L3
СРL22PŁ4L3CL66L23L24L33PC
L2PC3L23PCL44L2L33L2L6PC3L44L36P
L4PCL3PL66PL44L36L2
L44PL33PL66L27PC3L44L36L29PC
L44L25PCL33L24P
L42L22PL33L23PC

Пространственные группы симметрии

Сим­мет­рий­ные за­ко­но­мер­но­сти рас­по­ло­же­ния ато­мов и их групп в упо­ря­до­чен­ном пе­рио­дич. кри­стал­ле изу­ча­ет мик­ро­кри­стал­ло­гра­фия. Трёх­мер­ную пе­рио­дич­ность кри­стал­лов вы­ра­жа­ет про­стран­ст­вен­ная ре­шёт­ка, ко­то­рая за­да­ёт транс­ля­ци­он­ную по­вто­ряе­мость эк­ви­ва­лент­ных то­чек кри­стал­лич. про­стран­ст­ва в трёх не­ком­пла­нар­ных на­прав­ле­ни­ях. Па­рал­ле­ле­пи­пед по­вто­ряе­мо­сти про­стран­ст­ва, по­стро­ен­ный на трёх крат­чай­ших транс­ля­ци­он­ных век­то­рах (транс­ля­ци­ях $\boldsymbol Т$), сов­па­даю­щих с на­прав­ле­ния­ми макс. сим­мет­рии (с на­прав­ле­ния­ми кри­стал­ло­гра­фич. ко­ор­ди­нат­ных осей), на­зы­ва­ет­ся эле­мен­тар­ной ячей­кой. Вы­вод всех воз­мож­ных в кри­стал­лах эле­мен­тар­ных яче­ек осу­ще­ст­вил О. Бра­ве в 1855. Он по­ка­зал, что су­ще­ст­ву­ет все­го 14 ти­пов та­ких яче­ек (ре­шё­ток), опи­сы­ваю­щих внутр. пе­рио­дич. сим­мет­рию кри­стал­лов разл. син­го­ний (см. рис. 2 к ст. Бра­ве ре­шёт­ки). Кро­ме при­ми­тив­ных P-яче­ек, со­дер­жа­щих од­ну эк­ви­ва­лент­ную точ­ку про­стран­ст­ва (узел) на па­рал­ле­ле­пи­пед по­вто­ряе­мо­сти, су­ще­ст­ву­ют ба­зо­цен­три­ро­ван­ные ячей­ки $C(B)(A)$ (со­дер­жат 2 эк­ви­ва­лент­ных уз­ла), объ­ём­но­цен­три­ро­ван­ные $I$ (2 эк­ви­ва­лент­ных уз­ла), два­ж­ды объ­ём­но­цен­три­ро­ван­ные $R$ (3 эк­ви­ва­лент­ных уз­ла) и гра­не­цен­три­ро­ван­ные $F$-ячей­ки (4 эк­ви­ва­лент­ных уз­ла на па­рал­ле­ле­пи­пед по­вто­ряе­мо­сти).

При­сут­ст­вие в бес­ко­неч­ных кри­стал­лич. по­строй­ках транс­ля­ций Т не ос­тав­ля­ет ни од­ну точ­ку кри­стал­лич. про­стран­ст­ва (в т. ч. и эле­мен­ты мак­ро­сим­мет­рии) в един­ст­вен­ном чис­ле, а мно­го­крат­но по­вто­ря­ет их (транс­ли­ру­ет) в оп­ре­де­лён­ных на­прав­ле­ни­ях, соз­да­вая та­ким об­ра­зом се­рии оди­на­ко­вых эле­мен­тов сим­мет­рии. Кро­ме то­го, транс­ля­ции взаи­мо­дей­ст­ву­ют с эле­мен­та­ми мак­ро­сим­мет­рии, в ре­зуль­та­те че­го об­ра­зу­ют­ся спе­ци­фи­че­ские для трёх­мер­но­го бес­ко­неч­но­го кри­стал­лич. про­стран­ст­ва от­кры­тые эле­мен­ты сим­мет­рии: вин­то­вые оси и плос­ко­сти сколь­зя­ще­го от­ра­же­ния. Вин­то­вые оси по­яв­ля­ют­ся в ре­зуль­та­те взаи­мо­дей­ст­вия двух опе­ра­ций сим­мет­рии – по­во­ро­та во­круг оси $n$-го по­ряд­ка и од­но­вре­мен­но­го пе­ре­носа в на­прав­ле­нии, па­рал­лель­ном оси, т. е. в ре­зуль­та­те взаи­мо­дей­ст­вия по­во­ро­та с транс­ля­ци­ей. В трёх­мер­ном кри­стал­лич. про­стран­ст­ве, кро­ме обыч­ных по­во­рот­ных осей 2, 3, 4 и 6-го по­ряд­ков, су­ще­ст­ву­ют вин­то­вые оси 21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64 и 65, реа­ли­зую­щие по­во­рот на оп­ре­де­лён­ный угол и од­но­врем. пе­ре­нос объ­ек­та на не­ко­торую до­лю транс­ля­ци­он­но­го век­то­ра, ука­зан­ную в под­строч­ном сим­во­ле зна­ка оси; напр., ось 21 по­во­ра­чи­ва­ет на 180°и пе­ре­но­сит на (1/2)$\boldsymbol T$, ось 32 по­во­ра­чи­ва­ет на 120° и пе­ре­но­сит на (2/3)$\boldsymbol T$, ось 65 по­во­ра­чи­ва­ет на 60° и пе­ре­но­сит на (5/6)$\boldsymbol T$.

При взаи­мо­дей­ст­вии транс­ля­ции $\boldsymbol T$ с плос­ко­стя­ми сим­мет­рии $m$ воз­ни­ка­ют плос­ко­сти сколь­зя­ще­го от­ра­же­ния $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ и $n$. Эти плос­ко­сти раз­ли­ча­ют­ся на­прав­ле­ни­ем и ве­ли­чи­ной транс­ля­ци­он­ных сдви­гов; напр., ко­ор­ди­нат­ные плос­ко­сти $a$, $b$, $c$ от­ра­жа­ют и сдви­га­ют на (1/2)$\boldsymbol T$ вдоль осей $x$, $y$, $z$ эле­мен­тар­ной ячей­ки со­от­вет­ст­вен­но.

Т. о., сим­мет­рия внутр. строе­ния кри­стал­лов (кри­стал­лич. струк­тур) опи­сы­ва­ет­ся эле­мен­та­ми сим­мет­рии мак­ро- и мик­ро­кри­стал­ло­гра­фии (транс­ля­ция­ми, вин­то­вы­ми ося­ми и плос­ко­стя­ми сколь­зя­ще­го от­ра­же­ния). Взаи­мо­дей­ст­вие всех ука­зан­ных эле­мен­тов сим­мет­рии при­во­дит к 230 воз­мож­ным ва­ри­ан­там их со­че­та­ния – 230 за­ко­нам упо­ря­до­чен­но­го рас­по­ло­же­ния эк­ви­ва­лент­ных то­чек кри­стал­лич. ве­ще­ст­ва в трёх­мер­ном пе­рио­дич. про­стран­ст­ве (230 про­стран­ст­вен­ным груп­пам сим­мет­рии). Впер­вые они бы­ли вы­ве­де­ны Е. С. Фё­до­ро­вым в 1890, по­это­му их час­то на­зы­ва­ют фё­до­ров­ски­ми груп­па­ми. Лю­бой кри­сталл от­но­сит­ся к од­ной из этих групп сим­мет­рии; напр., груп­па сим­мет­рии кри­стал­лов Cu – $Fm\bar 3 m$, Mg – $P6_3/mmc$, ал­ма­за – $Fd\bar 3 m$ и NaCl – $Fm\bar 3 m$ (в ме­ж­ду­нар. сим­во­ли­ке).

Ино­гда при рас­смот­ре­нии клас­са сим­мет­рии вво­дят ещё од­ну пе­ре­мен­ную, имею­щую к.-л. фи­зич. смысл (вре­мя, знак за­ря­да, спин и т. п.). Ес­ли та­кая пе­ре­мен­ная име­ет лишь два про­ти­во­по­лож­ных зна­че­ния, то опи­са­ние мо­жет быть про­ве­де­но с ис­поль­зо­ва­ни­ем по­ня­тия ан­ти­сим­мет­рии (чёр­но-бе­лой сим­мет­рии); ес­ли же пе­ре­мен­ная име­ет боль­ше двух зна­че­ний, то с по­мо­щью мно­го­цвет­ной сим­мет­рии. Та­кие груп­пы сим­мет­рии в кри­стал­ло­гра­фии ис­поль­зу­ют для опи­са­ния кри­стал­лич. двой­ни­ков, а так­же элек­трич., маг­нит­ных и др. свойств кри­стал­лов.

Лит.: Вайн­штейн Б. К. Со­вре­мен­ная кри­стал­ло­гра­фия. М., 1979. Т. 1; Зор­кий П. М. Сим­мет­рия мо­ле­кул и кри­стал­ли­че­ских струк­тур. М., 1986; Его­ров-Тис­мен­ко Ю. К. Кри­стал­ло­гра­фия и кри­стал­ло­хи­мия. М., 2005; Уру­сов В. С., Ере­мин Н. Н. Кри­стал­ло­хи­мия. М., 2010.

Вернуться к началу