СИММЕ́ТРИ́Я КРИСТА́ЛЛОВ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
СИММЕ́ТРИ́Я КРИСТА́ЛЛОВ, свойство кристаллов самосовмещаться при поворотах, отражениях, параллельных переносах или комбинации этих операций; способность геометрич. тел повторять свои части либо закономерное расположение объектов в пространстве (определение рос. кристаллографа Е. С. Фёдорова). С. к. – предмет изучения геометрич. кристаллографии, которая подразделяется на макро- и микрокристаллографию. Первая изучает конечные геометрич. объекты (кристаллы), вторая – бесконечные периодич. кристаллич. структуры (внутр. строение кристаллич. вещества).
Точечные группы симметрии
Макрокристаллография изучает кристаллич. многогранники как симметричные геометрич. объекты, т. е. фигуры, которые могут самосовмещаться определёнными преобразованиями – поворотами, отражениями и др. Эти преобразования называются операциями симметрии. Геометрич. образы, с помощью которых задаются или осуществляются операции симметрии, называются элементами симметрии. Симметрию любого кристалла можно описать точечной группой симметрии, которая является совокупностью всех существующих в данном кристалле элементов симметрии. Последние пересекаются в одной точке, которая не размножается ни одним элементом симметрии (остаётся неподвижной). Отсюда и назв. таких групп – точечные. В точечных группах могут встречаться следующие элементы симметрии: поворотные ($L_n$, $C_n$, или $n$), инверсионные ($Ł_n$, или $\bar n$), или зеркально-поворотные ($L_n$, или $S_n$) оси, плоскости зеркального отражения ($P$, $σ$, или $m$) и центр симметрии (инверсии) ($C$, $i$, или $\bar 1$). При действии осей симметрии $L_n$ грани кристалла совмещаются с тождественными им путём поворота на угол $α$ (миним. угол поворота, приводящего фигуру к самосовмещению), определяемый порядком оси $n=360/α$ (рис., а). Следовательно, порядок оси равен числу самосовмещений объекта при полном повороте на 360°. Плоскости $P$ связывают объекты, которые относятся друг к другу как предмет и его зеркальное отражение (рис., б). Отражение в центре инверсии $C$ аналогично оптич. схеме фотоаппарата: объект отражается в фокусе и переворачивается (рис., в). Инверсионные и зеркально-поворотные оси совмещают одновременный поворот и отражение, первые – в точке инверсии, вторые – в плоскости (рис., г). Так, напр., куб имеет: 3 оси 4-го порядка, которые проходят через центры противоположных граней, 4 оси 3-го порядка, проходящие по пространствeнным диагоналям куба, 6 осей 2-го порядка, проходящих через середины пар противоположных рёбер; 9 плоскостей симметрии, 3 из которых взаимно перпендикулярны и делят пополам противоположные рёбра куба как координатные плоскости прямоугольной системы координат, а 6 плоскостей проходят по диагоналям граней куба; центр инверсии. Все элементы симметрии куба пересекаются в одной точке – в центре куба (центр инверсии). Точечная группа симметрии куба – $3L_44L_36L_29PC$ (в символике Браве), – $m\bar 3 m$ (в междунар. символике), или $O_h$ (в символике Шёнфлиса).
Число точечных групп симметрии бесконечно. Их принято делить на группы 1-го и 2-го рода (группы собственных и несобственных вращений). Первые содержат только простые поворотные оси и описывают кристаллы, состоящие только из совместимо равных частей. Группы 2-го рода содержат сложные оси, зеркальные плоскости, центр инверсии и описывают кристаллы, в которых есть зеркально равные части. Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах («правой» и «левой», каждая из которых не содержит элементов симметрии 2-го рода), но зеркально равных друг другу (см. Энантиоморфизм).
Точечные группы описывают симметрию не только кристаллов, но и молекул и любых конечных фигур. В отличие от геометрич. фигур и природных объектов, в кристаллах невозможны оси порядков выше 6-го и оси 5-го порядка. Это объясняется внутр. периодич. строением кристалла и связано с тем, что пятиугольниками и $n$-угольниками с $n > 6$ невозможно заполнить всё двумерное пространство без промежутков и перекрытий. Однако, в отличие от кристаллов, такие оси присутствуют в живых организмах (цветы, медузы и др.), а также в квазикристаллах, лишённых трёхмерного трансляционного периодич. строения.
В кристаллах элементы симметрии располагаются строго закономерным образом: их сочетания и взаимное расположение подчиняются математич. теории абстрактных групп. Доказано, что взаимодействие двух симметрических операций порождает третью – результирующую – операцию (элемент симметрии). Рассмотрев все взаимодействия элементов симметрии кристалла, можно получить полную совокупность симметрических операций, называемую группой симметрии кристалла (или кристаллографич. классом). Вывод групп симметрии впервые осуществил нем. кристаллограф М. Л. Франкенгейм в 1826; рос. учёный А. В. Гадолин в 1867 математически показал, что существует всего 32 точечные группы (класса) симметрии, полностью описывающие все возможные для кристаллов комбинации элементов симметрии. По форме и симметрии элементарной ячейки все классы делятся на низшую, среднюю и высшую категории и шесть сингоний (табл.).
Распределение 32 классов симметрии по категориям и сингониям
| Низшая категория a≠b≠c | Средняя категория a=b≠c | Высшая категория a=b=c | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Триклинная сингония α≠β≠γ | Моноклинная сингония α=β≠γ | Ромбическая сингония α=β=γ=90° | Тетрагональная сингония α=β=γ=90° | Гексагональная сингония α=β=90°, γ=120° | Кубическая сингония α=β=γ=90° | |
| тригональная подсингония | гексагональная подсингония | |||||
| L1 | L2 | 3L2 | L4 | L3 | L6 | 3L24L3 |
| С | Р | L22P | Ł4 | L3C | L66L2 | 3L24L33PC |
| – | L2PC | 3L23PC | L44L2 | L33L2 | L6PC | 3L44L36P |
| – | – | – | L4PC | L3P | L66P | L44L36L2 |
| – | – | – | L44P | L33P | L66L27PC | 3L44L36L29PC |
| – | – | – | L44L25PC | L33L24P | – | – |
| – | – | – | L42L22P | L33L23PC | – | – |
Пространственные группы симметрии
Симметрийные закономерности расположения атомов и их групп в упорядоченном периодич. кристалле изучает микрокристаллография. Трёхмерную периодичность кристаллов выражает пространственная решётка, которая задаёт трансляционную повторяемость эквивалентных точек кристаллич. пространства в трёх некомпланарных направлениях. Параллелепипед повторяемости пространства, построенный на трёх кратчайших трансляционных векторах (трансляциях $\boldsymbol Т$), совпадающих с направлениями макс. симметрии (с направлениями кристаллографич. координатных осей), называется элементарной ячейкой. Вывод всех возможных в кристаллах элементарных ячеек осуществил О. Браве в 1855. Он показал, что существует всего 14 типов таких ячеек (решёток), описывающих внутр. периодич. симметрию кристаллов разл. сингоний (см. рис. 2 к ст. Браве решётки). Кроме примитивных P-ячеек, содержащих одну эквивалентную точку пространства (узел) на параллелепипед повторяемости, существуют базоцентрированные ячейки $C(B)(A)$ (содержат 2 эквивалентных узла), объёмноцентрированные $I$ (2 эквивалентных узла), дважды объёмноцентрированные $R$ (3 эквивалентных узла) и гранецентрированные $F$-ячейки (4 эквивалентных узла на параллелепипед повторяемости).
Присутствие в бесконечных кристаллич. постройках трансляций Т не оставляет ни одну точку кристаллич. пространства (в т. ч. и элементы макросимметрии) в единственном числе, а многократно повторяет их (транслирует) в определённых направлениях, создавая таким образом серии одинаковых элементов симметрии. Кроме того, трансляции взаимодействуют с элементами макросимметрии, в результате чего образуются специфические для трёхмерного бесконечного кристаллич. пространства открытые элементы симметрии: винтовые оси и плоскости скользящего отражения. Винтовые оси появляются в результате взаимодействия двух операций симметрии – поворота вокруг оси $n$-го порядка и одновременного переноса в направлении, параллельном оси, т. е. в результате взаимодействия поворота с трансляцией. В трёхмерном кристаллич. пространстве, кроме обычных поворотных осей 2, 3, 4 и 6-го порядков, существуют винтовые оси 21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64 и 65, реализующие поворот на определённый угол и одноврем. перенос объекта на некоторую долю трансляционного вектора, указанную в подстрочном символе знака оси; напр., ось 21 поворачивает на 180°и переносит на (1/2)$\boldsymbol T$, ось 32 поворачивает на 120° и переносит на (2/3)$\boldsymbol T$, ось 65 поворачивает на 60° и переносит на (5/6)$\boldsymbol T$.
При взаимодействии трансляции $\boldsymbol T$ с плоскостями симметрии $m$ возникают плоскости скользящего отражения $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ и $n$. Эти плоскости различаются направлением и величиной трансляционных сдвигов; напр., координатные плоскости $a$, $b$, $c$ отражают и сдвигают на (1/2)$\boldsymbol T$ вдоль осей $x$, $y$, $z$ элементарной ячейки соответственно.
Т. о., симметрия внутр. строения кристаллов (кристаллич. структур) описывается элементами симметрии макро- и микрокристаллографии (трансляциями, винтовыми осями и плоскостями скользящего отражения). Взаимодействие всех указанных элементов симметрии приводит к 230 возможным вариантам их сочетания – 230 законам упорядоченного расположения эквивалентных точек кристаллич. вещества в трёхмерном периодич. пространстве (230 пространственным группам симметрии). Впервые они были выведены Е. С. Фёдоровым в 1890, поэтому их часто называют фёдоровскими группами. Любой кристалл относится к одной из этих групп симметрии; напр., группа симметрии кристаллов Cu – $Fm\bar 3 m$, Mg – $P6_3/mmc$, алмаза – $Fd\bar 3 m$ и NaCl – $Fm\bar 3 m$ (в междунар. символике).
Иногда при рассмотрении класса симметрии вводят ещё одну переменную, имеющую к.-л. физич. смысл (время, знак заряда, спин и т. п.). Если такая переменная имеет лишь два противоположных значения, то описание может быть проведено с использованием понятия антисимметрии (чёрно-белой симметрии); если же переменная имеет больше двух значений, то с помощью многоцветной симметрии. Такие группы симметрии в кристаллографии используют для описания кристаллич. двойников, а также электрич., магнитных и др. свойств кристаллов.
