ПОТЕНЦИА́ЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИ́ТНОГО ПО́ЛЯ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ПОТЕНЦИА́ЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИ́ТНОГО ПО́ЛЯ, физич. величины, характеризующие электромагнитное поле. К П. э. п. относятся векторный потенциал $\boldsymbol A(x, y, z, t)$ и скалярный потенциал $φ(x, y, z, t)$, где $x$, $y$, $z$ – координаты, $t$ – время. Потенциалы $\boldsymbol A$ и $φ$ используются для описания электромагнитного поля вместо вектора магнитной индукции $\boldsymbol B$ и вектора напряжённости электрического поля $\boldsymbol E$. При этом $\boldsymbol B$ и $\boldsymbol E$ однозначно определяются через потенциалы $\boldsymbol A$ и $φ$:$$\boldsymbol B=\rm{rot}\,\boldsymbol A,\, \boldsymbol E=-\rm{grad}\,\phi -\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}.$$ Важным свойством П. э. п. является неоднозначность в их определении; т. е. если от потенциалов $\boldsymbol A$ и $φ$ перейти к новым потенциалам $\boldsymbol A′$ и $φ′$:$$\boldsymbol A′=\boldsymbol A+\rm{grad}\, f,\, φ′=φ-\frac{\partial f}{\partial t},$$ где $f$ – произвольная функция координат и времени, то значения полей $\boldsymbol B$ и $\boldsymbol E$ не изменятся. Это свойство потенциалов называется калибровочной (градиентной) инвариантностью. Неоднозначность выбора потенциалов $\boldsymbol A$ и $φ$ даёт возможность наложить на них дополнит. условия (калибровку), которые позволяют упростить уравнения для П. э. п. Часто используют калибровку Лоренца:$$\rm{div}\,\boldsymbol A+\frac{1}{V^2}\frac{\partial \phi}{\partial t},$$где $V$ – скорость распространения электромагнитных волн в данной среде. При использовании калибровки Лоренца уравнения для П. э. п. принимают вид $$\nabla^2 \boldsymbol A-\frac{1}{V^2}\frac{\partial^2\boldsymbol A}{\partial t^2}=\mu\mu_0\boldsymbol j,\\\nabla^2\phi-\frac{1}{V^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=-\frac{ρ}{εε_0},$$где$$\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$ – оператор Лапласа, $ε_0$ – электрич. постоянная, $ε$ – диэлектрич. проницаемость среды, $μ_0$ – магнитная постоянная, $μ$ – магнитная проницаемость среды, $\boldsymbol j$ – плотность тока проводимости, $ρ$ – объёмная плотность электрич. заряда. Уравнения для потенциалов $\boldsymbol A$ и $φ$ имеют одинаковую математич. структуру, что оказывается удобным при нахождении их решения. Если заданы распределения электрич. заряда и токов проводимости, то частные решения уравнений П. э. п. могут быть записаны в виде т. н. запаздывающих потенциалов: $$\boldsymbol A(x,y,z,t=\\=\frac{μμ_0}{4\pi}\iiint\frac{\boldsymbol j(x',y',z',t-R/V)}{R}dx'dy'dz',\\ \phi(x,y,z,t)=\frac{1}{4\pi εε_0}\iiint\frac{\rho(x',y',z',t-R/V}{R}dx'dy'dz',$$ где $R=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}$, а интегрирование проводится по всей области пространства, где расположены электрич. заряды и токи проводимости.
Уравнения для П. э. п. имеют более простой вид, чем Максвелла уравнения, поэтому П. э. п. широко используют для решения разл. задач электродинамики.