ПОТЕНЦИА́ЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИ́ТНОГО ПО́ЛЯ

ПОТЕНЦИА́ЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИ́ТНОГО ПО́ЛЯ, фи­зич. ве­ли­чи­ны, ха­рак­те­ри­зую­щие элек­тро­маг­нит­ное по­ле. К П. э. п. от­но­сят­ся век­тор­ный по­тен­ци­ал $\boldsymbol A(x, y, z, t)$ и ска­ляр­ный по­тен­ци­ал $φ(x, y, z, t)$, где $x$, $y$, $z$ – ко­ор­ди­на­ты, $t$ – вре­мя. По­тен­циа­лы $\boldsymbol A$ и $φ$ ис­поль­зу­ют­ся для опи­са­ния элек­тро­маг­нит­но­го по­ля вме­сто век­то­ра маг­нит­ной ин­дук­ции $\boldsymbol B$ и век­то­ра на­пря­жён­но­сти элек­три­че­ско­го по­ля $\boldsymbol E$. При этом $\boldsymbol B$ и $\boldsymbol E$ од­но­знач­но оп­ре­де­ля­ют­ся че­рез по­тен­циа­лы $\boldsymbol A$ и $φ$:$$\boldsymbol B=\rm{rot}\,\boldsymbol A,\, \boldsymbol E=-\rm{grad}\,\phi -\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}.$$ Важ­ным свой­ст­вом П. э. п. яв­ля­ет­ся не­од­но­знач­ность в их оп­ре­де­ле­нии; т. е. ес­ли от по­тен­циа­лов $\boldsymbol A$ и $φ$ пе­рей­ти к но­вым по­тен­циа­лам $\boldsymbol A′$ и $φ′$:$$\boldsymbol A′=\boldsymbol A+\rm{grad}\, f,\, φ′=φ-\frac{\partial f}{\partial t},$$ где $f$ – про­из­воль­ная функ­ция ко­ор­ди­нат и вре­ме­ни, то зна­че­ния по­лей $\boldsymbol B$ и $\boldsymbol E$ не из­ме­нят­ся. Это свой­ст­во по­тен­циа­лов на­зы­ва­ет­ся ка­либ­ро­воч­ной (гра­ди­ент­ной) ин­ва­ри­ант­но­стью. Не­од­но­знач­ность вы­бо­ра по­тен­циа­лов $\boldsymbol A$ и $φ$ да­ёт воз­мож­ность на­ло­жить на них до­пол­нит. ус­ло­вия (ка­либ­ров­ку), ко­то­рые по­зво­ля­ют уп­ро­стить урав­не­ния для П. э. п. Час­то ис­поль­зу­ют ка­либ­ров­ку Ло­рен­ца:$$\rm{div}\,\boldsymbol A+\frac{1}{V^2}\frac{\partial \phi}{\partial t},$$где $V$ – ско­рость рас­про­стра­не­ния элек­тро­маг­нит­ных волн в дан­ной сре­де. При ис­поль­зо­ва­нии ка­либ­ров­ки Ло­рен­ца урав­не­ния для П. э. п. при­ни­ма­ют вид $$\nabla^2 \boldsymbol A-\frac{1}{V^2}\frac{\partial^2\boldsymbol A}{\partial t^2}=\mu\mu_0\boldsymbol  j,\\\nabla^2\phi-\frac{1}{V^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=-\frac{ρ}{εε_0},$$где$$\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$ – опе­ра­тор Ла­п­ла­са, $ε_0$ – элек­трич. по­сто­ян­ная, $ε$ – ди­элек­трич. про­ни­цае­мость сре­ды, $μ_0$ – маг­нит­ная по­сто­ян­ная, $μ$ – маг­нит­ная про­ни­цае­мость сре­ды, $\boldsymbol j$ – плот­ность то­ка про­во­ди­мо­сти, $ρ$ – объ­ём­ная плот­ность элек­трич. за­ря­да. Урав­не­ния для по­тен­циа­лов $\boldsymbol A$ и $φ$ име­ют оди­на­ко­вую ма­те­ма­тич. струк­ту­ру, что ока­зы­ва­ет­ся удоб­ным при на­хо­ж­де­нии их ре­ше­ния. Ес­ли за­да­ны рас­пре­де­ле­ния элек­трич. за­ря­да и то­ков про­во­ди­мо­сти, то ча­ст­ные ре­ше­ния урав­не­ний П. э. п. мо­гут быть за­пи­са­ны в ви­де т. н. за­паз­ды­ваю­щих по­тен­циа­лов: $$\boldsymbol A(x,y,z,t=\\=\frac{μμ_0}{4\pi}\iiint\frac{\boldsymbol j(x',y',z',t-R/V)}{R}dx'dy'dz',\\ \phi(x,y,z,t)=\frac{1}{4\pi εε_0}\iiint\frac{\rho(x',y',z',t-R/V}{R}dx'dy'dz',$$ где $R=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}$, а ин­тег­ри­ро­ва­ние про­во­дит­ся по всей об­лас­ти про­стран­ст­ва, где рас­по­ло­же­ны элек­трич. за­ря­ды и то­ки про­во­ди­мо­сти.

Урав­не­ния для П. э. п. име­ют бо­лее про­стой вид, чем Мак­свел­ла урав­не­ния, по­это­му П. э. п. ши­ро­ко ис­поль­зу­ют для ре­ше­ния разл. за­дач элек­тро­ди­на­ми­ки.