ПЛОТНЕ́ЙШАЯ УПАКО́ВКА

ПЛОТНЕ́ЙШАЯ УПАКО́ВКА, один из ва­ри­ан­тов пе­рио­дич­но­го по трём на­прав­ле­ни­ям рас­по­ло­же­ния ша­ров оди­на­ко­во­го раз­ме­ра, при ко­то­ром ко­эф. за­пол­не­ния про­стран­ст­ва (плот­ность упа­ков­ки) ра­вен π/(3)≈74,048%. Ги­по­те­за И. Ке­п­ле­ра (1611) о том, что ку­би­че­ская П. у. и др. рав­ные ей по плот­но­сти упа­ков­ки об­ла­да­ют мак­си­маль­но воз­мож­ной в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве плот­но­стью, бы­ла до­ка­за­на К. Га­ус­сом (1831) для ре­гу­ляр­ных (пе­рио­ди­че­ских) упа­ко­вок. В не­ре­гу­ляр­ных упа­ков­ках воз­мож­но су­ще­ст­во­ва­ние не­боль­ших об­лас­тей с боль­шей плот­но­стью, од­на­ко при уве­ли­че­нии объ­ёма ср. плот­ность ока­зы­ва­ет­ся ни­же 74%. Ком­пь­ю­тер­ное до­ка­за­тель­ст­во ги­по­те­зы Ке­п­ле­ра в об­щем ви­де, пред­став­лен­ное амер. учё­ным Т. К. Хей­л­сом (1998), счи­та­ет­ся дос­та­точ­но убе­ди­тель­ным. На П. у. ато­мов ос­но­ва­но мо­дель­ное опи­са­ние кри­стал­лич. струк­тур.

Рис. 1. Плотнейший слой (а); наложение плотнейших слоёв (б, в).

Рис. 2. Координационные полиэдры: а – кубооктаэдр; б – гексагональный кубооктаэдр.

В ре­гу­ляр­ных плот­ней­ших ша­ро­вых упа­ков­ках (ПШУ) мож­но вы­де­лить слои (рис. 1, а), в ко­то­рых ка­ж­дый шар A ка­са­ет­ся 6 др. ша­ров. При плот­ней­шем на­ло­же­нии ша­ры сле­дую­ще­го слоя мо­гут за­ни­мать ли­бо по­ло­же­ния B (рис. 1, б), ли­бо по­ло­же­ния C (рис. 1, в), и та­ким об­ра­зом в лю­бой ПШУ ка­ж­дый шар ка­са­ет­ся 12 ша­ров. При та­ком на­ло­же­нии воз­мож­ны два ви­да ко­ор­ди­на­ци­он­ных по­ли­эд­ров: ку­бо­ок­та­эдр [то­чеч­ная груп­па сим­мет­рии (O_h)], ес­ли слой ок­ру­жён раз­но­имён­ны­ми слоя­ми, напр. BAC (рис. 2, а), и гек­са­го­наль­ный ку­бо­ок­та­эдр [ан­ти­ку­бо­ок­та­эдр, то­чеч­ная группа сим­мет­рии (D₃h)], ес­ли слой ок­ру­жён од­но­имён­ны­ми слоя­ми, напр. BAB (рис. 2, б).

В за­ви­си­мо­сти от ко­ли­че­ст­ва сло­ёв, со­став­ляю­щих пе­ри­од в пер­пен­ди­ку­ляр­ном сло­ям на­прав­ле­нии, ПШУ на­зы­ва­ют двух-, трёх-, че­ты­рёх­слой­ны­ми и т. д. По­сле­до­ва­тель­ность сло­ёв в пре­де­лах пе­рио­да за­пи­сы­ва­ют ли­бо ис­поль­зуя бу­к­вы A, B и С (напр., АВС…), ли­бо с ука­за­ни­ем сим­мет­рии бли­жай­ше­го ок­ру­же­ния ато­мов, ис­поль­зуя бу­к­вы к (ку­бич. слой) или г (гек­са­го­наль­ный слой) (напр., кг…). Во всех иде­аль­ных ПШУ пер­пен­ди­ку­ляр­но сло­ям про­хо­дят по­во­рот­ные оси третье­го по­ряд­ка, по­это­му сим­мет­рию боль­шин­ст­ва ПШУ опи­сы­ва­ют про­стран­ст­вен­ны­ми груп­па­ми гек­са­го­наль­ной син­го­нии (P6₃/mmc, и др.). В трёх­слой­ной ПШУ плот­нейшие слои мож­но вы­де­лить пер­пен­ди­куляр­но че­ты­рём на­прав­ле­ни­ям, упа­ков­ка име­ет ку­бич. сим­мет­рию ().

ПШУ при­ме­ня­ют при опи­са­нии кри­стал­лич. струк­тур. Зна­чит. часть про­стых ве­ществ, об­ра­зо­ван­ных ато­ма­ми ме­тал­лов или эле­мен­тов под­груп­пы VIIIа, от­но­сит­ся к струк­тур­но­му ти­пу маг­ния (двух­слой­ная ПШУ), ме­ди (трёх­слой­ная ПШУ) или лан­та­на (че­ты­рёх­слой­ная ПШУ). В кри­стал­лич. струк­ту­рах воз­мож­ны ис­ка­же­ния (не все рас­стоя­ния ме­ж­ду ато­ма­ми, об­ра­зую­щи­ми ко­ор­ди­на­ци­он­ный по­ли­эдр, оди­на­ко­вы), ко­то­рые, в ча­ст­но­сти, мо­гут при­во­дить к по­ни­же­нию сим­мет­рии. Напр., струк­ту­ры рту­ти и ин­дия, опи­сы­вае­мые как трёх­слой­ные ПШУ, име­ют сим­мет­рию и I4/mmm со­от­вет­ст­вен­но.

Рис. 3. Пустоты в плотнейшей упаковке: а – октаэдрическая; б – тетраэдрическая.

Не­за­пол­нен­ное про­стран­ст­во в упа­ков­ках на­зы­ва­ют пус­то­та­ми. В ПШУ есть два ви­да пус­тот: ок­та­эд­ри­че­ские (рис. 3, а) и тет­ра­эд­ри­че­ские (рис. 3, б). В эле­мен­тар­ных ячей­ках ПШУ лю­бой слой­но­сти чис­ло ок­та­эд­рич. пус­тот рав­но чис­лу ато­мов упа­ков­ки, а чис­ло тет­ра­эд­ри­че­ских – вдвое боль­ше. В иде­аль­ных упа­ков­ках ра­ди­ус ша­ров точ­но со­от­вет­ст­ву­ет раз­ме­ру ок­та­эд­рич. пус­то­ты и со­ставля­ет , где R – ра­ди­ус ша­ра упа­ковки; для тет­ра­эд­рич. пус­тот: . В кри­стал­лич. струк­ту­рах пу­с­то­ты за­ни­ма­ют ато­мы с не­мно­го бóльшими ра­диу­са­ми; при этом ато­мы, об­ра­зую­щие упа­ков­ку, не­мно­го раз­дви­га­ют­ся. П. у. обыч­но об­ра­зу­ют анио­ны, а ка­тио­ны на­хо­дят­ся в пус­то­тах. Пус­то­ты мо­гут быть за­пол­не­ны пол­но­стью (напр., в NaCl анио­ны Cl об­ра­зу­ют трёх­слой­ную ПШУ, ка­тио­ны Na за­ни­ма­ют все ок­та­эд­рич. пус­то­ты) или час­тич­но (напр., в шпи­не­ли MgAl₂O₄ ка­тио­ны Mg за­пол­ня­ют ¹/₈ тет­ра­эд­ри­че­ских, а ка­тио­ны Al – ¹/₂ ок­та­эд­рич. пус­тот в ис­ка­жён­ной трёх­слой­ной упа­ков­ке анио­нов ки­сло­ро­да).