Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ПЕРЕСТАНО́ВОЧНЫЕ СООТНОШЕ́НИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Физика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 25. Москва, 2014, стр. 666-667

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: В. П. Павлов

ПЕРЕСТАНО́ВОЧНЫЕ СООТНОШЕ́НИЯ (ком­му­та­ци­он­ные со­от­но­ше­ния), ал­геб­раи­че­ские со­от­но­ше­ния, ус­та­нав­ли­ваю­щие пра­ви­ла пе­ре­ста­нов­ки ме­ж­ду со­бой двух или бо­лее ве­ли­чин. Про­стей­шие П. с. би­ли­ней­ны от­но­си­тель­но двух ве­ли­чин $A$ и $B$ и име­ют од­ну из двух форм: $$[A, B]_{–}=AB-BA=C, \tag1$$ $$[A, B]_{+}=AB+BA=D. \tag2$$ Со­от­но­ше­ние (1) на­зы­ва­ет­ся ком­му­та­ци­он­ным со­от­но­ше­ни­ем, со­от­но­ше­ние (2) – ан­ти­ком­му­та­ци­он­ным. Ле­вые час­ти на­зы­ва­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но ком­му­та­то­ром и ан­ти­ком­му­та­то­ром ве­ли­чин $A$ и $B$. Ес­ли пра­вые час­ти со­от­но­ше­ний (1) или (2) об­ра­ща­ют­ся в 0, то ве­ли­чи­ны $A$ и $B$ на­зы­ва­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но ком­му­ти­рую­щи­ми или ан­ти­ком­му­ти­рую­щи­ми.

Важ­ней­шую роль П. с. иг­ра­ют в кван­то­вой ме­ха­ни­ке. Со­стоя­ние сис­те­мы в кван­то­вой ме­ха­ни­ке опи­сы­ва­ет­ся вол­но­вой функ­ци­ей (или век­то­ром со­стоя­ния), а фи­зич. ве­ли­чи­нам ста­вят­ся в со­от­вет­ст­вие опе­ра­то­ры этих ве­ли­чин. В клас­сич. тео­рии про­из­ве­де­ние фи­зич. ве­ли­чин не за­ви­сит от по­ряд­ка со­мно­жи­те­лей – они ком­му­ти­ру­ют. В кван­то­вой тео­рии это не так: для объ­яс­не­ния экс­пе­ри­мен­таль­но на­блю­дае­мой не­воз­мож­но­сти сколь угод­но точ­но­го од­но­вре­мен­но­го из­ме­ре­ния не­ко­торых пар фи­зич. ве­ли­чин при­хо­дит­ся по­ла­гать, что им от­ве­ча­ют не­ком­му­ти­рую­щие опе­ра­то­ры. Сте­пень не­ком­му­та­тив­но­сти опе­ра­то­ров кван­то­вой ме­ха­ни­ки фик­си­ру­ет­ся по­сту­ла­том кван­то­ва­ния. Для сис­тем, имею­щих ме­ха­нич. ана­лог (напр., сис­тем то­чеч­ных час­тиц), для де­кар­то­вых ком­по­нент опе­ра­то­ров им­пуль­са $\hat p_i$и ко­ор­ди­на­ты $\hat x_i$ ка­ж­дой час­ти­цы по­сту­ли­ру­ет­ся П. с. Гей­зен­бер­га (ал­геб­ра Гей­зен­бер­га): $$[\hat p_i,\hat x_k]=\hat p_i \hat x_k-\hat x_k \hat p_i = \frac{\hbar}{i}δ_{ik},\\ i,k=1,2,3, \\ δ_{ik} = \begin{cases} 1\,при\,i=k \\[2ex] 0\,при\,i \neq k \end{cases}. \tag3$$ Здесь $\hbar$ – постоянная Планка. П. с. кван­то­вой ме­ха­ни­ки под­ска­за­ны га­миль­то­но­вой фор­мой клас­сич. ме­ха­ни­ки час­тиц. В ней урав­не­ния­ми дви­же­ния яв­ля­ют­ся Га­миль­то­на урав­не­ния, фи­зич. ве­ли­чи­ны счи­та­ют­ся функ­ция­ми ко­ор­ди­нат и им­пуль­сов час­тиц, а для лю­бой па­ры та­ких функ­ций $f(x, p)$ и $g(x, p)$ С. Пу­ас­со­ном в 1809 введено вы­ра­жение $$\{f,g\}=\sum_k\left( \frac{\partial f}{\partial p_k}\frac{\partial g}{\partial x_k}-\frac{\partial g}{\partial p_k}\frac{\partial f}{\partial x_k}\right), \tag4$$ на­зы­вае­мое скоб­кой Пу­ас­со­на.

П. с. (3) на­хо­дит­ся в пря­мой ана­ло­гии со скоб­кой Пу­ас­со­на со­от­вет­ст­вую­щих клас­сич. ком­по­нент им­пуль­са и ко­ор­ди­на­ты: $\{ p_i, x_k \}=δ_{ik}$. Две клас­сич. ве­ли­чины $p$, $q$, для ко­то­рых скоб­ка Пу­ас­со­на $\{p, q \}=1$, на­зы­ва­ют­ся ка­но­ни­че­ски со­пря­жён­ны­ми, а кван­то­вые П. с. для от­ве­чаю­щих им опе­ра­то­ров – ка­но­ни­че­ски­ми.

Не­ком­му­та­тив­ность па­ры опе­ра­то­ров тес­но свя­за­на с кван­то­во­ме­ха­нич. прин­ци­пом не­оп­ре­де­лён­но­сти. Ес­ли две ве­ли­чи­ны мож­но бы­ло бы из­ме­рить од­но­вре­мен­но с лю­бой точ­но­стью, то ока­за­лось бы из­ме­ри­мым и их про­из­ве­де­ние. За­ви­си­мость про­из­ве­де­ния опе­ра­то­ров от по­ряд­ка со­мно­жи­те­лей го­во­рит о не­из­ме­ри­мо­сти про­из­ве­де­ния. Имен­но из П. с. (3) сле­ду­ет не­оп­ре­де­лён­но­стей со­от­но­ше­ние для од­но­им. ком­по­нент им­пуль­са и ко­ор­ди­на­ты час­ти­цы.

Из П. с. (3) сле­ду­ют все ос­таль­ные П. с. для опе­ра­то­ров, от­ве­чаю­щих фи­зич. ве­ли­чи­нам для час­ти­цы. Напр., для ком­по­нент опе­ра­то­ра мо­мен­та $\hat M_i$ час­ти­цы П. с. име­ют вид $$ \hat M_1 \hat M_2-\hat M_2 \hat M_1=i\hbar \hat M_3,\\ \hat M_2 \hat M_3 - \hat M_3 \hat M_2=i\hbar \hat M_1,\\ \hat M_3 \hat M_1 - \hat M_1 \hat M_3 =i\hbar \hat M_2.\tag5 $$

Ал­геб­ре Гей­зен­бер­га (3) эк­ви­ва­лент­ны П. с. для опе­ра­то­ров ро­ж­де­ния $\hat a^{+}$, и унич­то­же­ния $\hat a^{-}$ час­тиц, оп­ре­де­ляе­мых для ка­ж­дой сте­пе­ни сво­бо­ды как ли­ней­ные ком­би­на­ции опе­ра­то­ров де­кар­то­вой ко­ор­ди­на­ты и им­пуль­са: $$\hat a^{\pm}=(\hat p \pm i\hat x)/\sqrt{2i\hbar}.\tag6$$ П. с. для опе­ра­то­ров ро­ж­де­ния и унич­то­же­ния час­тиц сле­ду­ют из со­от­но­ше­ния (3) и име­ют вид $$[\hat a^{-},\hat a^{+}]_{-}=\hat a^{-}\hat a^{+}-\hat a^{+}\hat a^{-}=1.\tag7$$

Для сис­тем, не имею­щих клас­сич. ана­ло­га (час­ти­цы с не­ну­ле­вым спи­ном, по­ля́ в кван­то­вой тео­рии по­ля и т. п.), П. с. за­да­ют­ся имен­но для опе­ра­то­ров ро­ж­де­ния и унич­то­же­ния ча­стиц и вы­пол­ня­ют роль по­сту­ла­та кван­то­ва­ния; они на­зы­ва­ют­ся ка­но­ни­че­ски­ми. При этом для це­ло­го спи­на ка­но­ни­че­ские П. с. име­ют вид (6), а для по­лу­це­ло­го спи­на ком­му­та­тор в ле­вой час­ти за­ме­ня­ет­ся на ан­ти­ком­му­та­тор: $$[\hat a^{-},\hat a^{+}]_{+}=\hat a^{-}\hat a^{+}+\hat a^{+}\hat a^{-}=1.\tag8$$ Та­кой вид П. с. обес­пе­чи­ва­ет вы­пол­не­ние Пау­ли прин­ци­па.

В кван­то­вой ме­ха­ни­ке сис­тем то­ж­де­ст­вен­ных час­тиц и в кван­то­вой тео­рии по­ля опе­ра­то­ры всех фи­зич. ве­ли­чин вы­ра­жа­ют­ся че­рез опе­ра­то­ры ро­ж­де­ния и унич­то­же­ния час­тиц (кон­крет­ную фор­му по­мо­га­ет ус­та­но­вить со­от­вет­ст­вия прин­цип), а П. с. ме­ж­ду ни­ми сле­ду­ют из ка­но­ни­че­ских пе­ре­ста­но­воч­ных со­от­но­ше­ний.

Не­ком­му­ти­рую­щие опе­ра­то­ры есть и в клас­сич. фи­зи­ке. Напр., по­во­рот сис­те­мы ко­ор­ди­нат мож­но пред­ста­вить как ре­зуль­тат дей­ст­вия на 3 ко­ор­ди­на­ты опе­ра­то­ра по­во­ро­та. Но по­во­рот на 90° во­круг оси $x$ с по­сле­дую­щим по­во­ро­том на 90° во­круг оси $y$ и эти же по­во­ро­ты, про­ве­дён­ные в обратном по­ряд­ке, при­во­дят к раз­ным ре­зуль­та­там.

Лит.: Бо­го­лю­бов Н. Н., Шир­ков Д. В. Вве­де­ние в тео­рию кван­то­ван­ных по­лей. 4-е изд. М., 1984; Мед­ве­дев Б. В. На­ча­ла тео­ре­ти­че­ской фи­зи­ки. 2-е изд. М., 2007; Фок В. А. На­ча­ла кван­то­вой ме­ха­ни­ки. 5-е изд. М., 2008.

Вернуться к началу