МО́ДУЛИ УПРУ́ГОСТИ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
МО́ДУЛИ УПРУ́ГОСТИ (упругие постоянные), величины, характеризующие упругие свойства однородного материала при малых изотермич. деформациях. Обычно М. у. называют постоянные коэффициенты, входящие в обобщённый Гука закон, записанный в виде линейных зависимостей компонент тензора напряжений $σ_{ij}$ от компонент тензора деформаций $ε_{ij} $. В самом общем случае анизотропный материал описывается 21 независимым М. у., изотропный – 2 независимыми модулями упругости.
М. у. изотропного материала можно определить, напр., из эксперимента на растяжение цилиндрич. образца кругового сечения. Если в ходе эксперимента измеряются растягивающее усилие $P$ (сила, приложенная вдоль оси), осевое удлинение $Δl$ и изменение диаметра $Δd$, то можно вычислить осевое напряжение $σ_1=P/S$, продольную деформацию $ε_1 =Δl/l$ и поперечную деформацию $ε_2=Δd/d$. Здесь $S$ – площадь поперечного сечения, $l$ – длина, $d$ – диаметр образца. Эксперименты показывают, что при малых деформациях существует область, в пределах которой величины $E=σ_1/ε_1$ и $ν=Gε_2/ε_1$ являются постоянными. Константа $E$ называется модулем Юнга, или модулем продольной упругости, константа $ν$ – коэффициентом Пуассона, или коэффициентом поперечной деформации. Для разл. материалов $0⩽ν⩽0,5$, причём $ν=0,5$ соответствует несжимаемому материалу. Характерные значения $E$ и $ν$ для некоторых материалов следующие: сталь $E=$(1,9–2,2)·1011 Па, $ν=$0,24–0,33; латунь $E=$ (0,9–1,1)· 1011 Па, $ν=$ 0,32–0,42; титан $E=$1,08·1011 Па, $ν=$0,29.
Закон Гука для изотропного материала с использованием М. у. $E$ и $ν$ записывается в виде $$ε_{ij}=\frac{1+ν}{E}(σ_{ij}-δ_{ij}\frac{ν}{1+ν}σ).$$Здесь $δ_{ij}=1$ при $ i=j$ и $δ_{ij}=0$ при $i≠j; σ= (1/3)(σ_{11}+σ_{22}+σ_{33})$. Закон Гука может быть записан и через другие М. у.: $σ_{ij}=λθδ_{ij}+ 2με_{ij}$, где $θ=ε_{11}+ε_{22}+ε_{33}$ – относит. изменение объёма; $λ$ и $μ$ – М. у., называемые параметрами Ламе.
Наряду с упомянутыми выше М. у., на практике часто используются модуль объёмного сжатия $K$, характеризующий способность тела сопротивляться изменению объёма, не сопровождающемуся изменением формы, и модуль сдвига $G$, характеризующий способность тела сопротивляться изменению формы без изменения объёма. Модуль $K$ можно определить, напр., из эксперимента по нагружению образца гидростатич. давлением $p$, если удаётся измерить изменение объёма образца; тогда $K=-p/θ$. Модуль $G$ может быть определён при испытании тонкостенного трубчатого образца на кручение с замером крутящего момента $M$ и угла закручивания $φ$ одного торца относительно другого. Тогда $G=τ/γ$, где $τ$ – сдвиговое напряжение, $γ$ – сдвиговая деформация, причём $τ=M/(2πR^2h), γ=φR/l, R$ – радиус образца, $l$ – его длина, $h$ – толщина. М. у. связаны между собой следующими соотношениями: $$K=\frac{E}{3(1-2ν)}, \quad μ= \frac{E}{2(1+ν)},$$ $$λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, \quad G=μ.$$ Независимыми константами являются любые два М. у., напр. $E$ и $ν, λ$ и $μ, G$ и $K, E$ и $G$.
М. у. не являются строго постоянными величинами для одного и того же материала: они зависят от предварительной термич. и химич. обработки, уменьшаются с ростом темп-ры (напр., у стали марки 40 значения $E$, выраженные в 1011 Па, при темп-рах 20 °С, 100 °С, 300 °С, 500 °С равны соответственно 2,14; 2,10; 1,98; 1,80).