МО́ДУЛИ УПРУ́ГОСТИ

МО́ДУЛИ УПРУ́ГОСТИ (уп­ру­гие по­сто­ян­ные), ве­ли­чи­ны, ха­рак­те­ри­зую­щие уп­ру­гие свой­ст­ва од­но­род­но­го ма­те­риа­ла при ма­лых изо­тер­мич. де­фор­ма­ци­ях. Обыч­но М. у. на­зы­ва­ют по­сто­ян­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты, вхо­дя­щие в обоб­щён­ный Гу­ка за­кон, за­пи­сан­ный в ви­де ли­ней­ных за­ви­си­мо­стей ком­по­нент тен­зо­ра на­пря­же­ний $σ_{ij}$ от ком­по­нент тен­зо­ра де­фор­ма­ций $ε_{ij} $. В са­мом об­щем слу­чае ани­зо­троп­ный ма­те­ри­ал опи­сы­ва­ет­ся 21 не­за­ви­симым М. у., изо­троп­ный – 2 не­за­ви­си­мы­ми модулями упругости.

М. у. изо­троп­но­го ма­те­риа­ла мож­но оп­ре­де­лить, напр., из экс­пе­ри­мен­та на рас­тя­же­ние ци­лин­д­рич. об­раз­ца кру­го­во­го се­че­ния. Ес­ли в хо­де экс­пе­ри­мен­та из­ме­ря­ют­ся рас­тя­ги­ваю­щее уси­лие $P$ (си­ла, при­ло­жен­ная вдоль оси), осе­вое уд­ли­не­ние $Δl$ и из­ме­не­ние диа­мет­ра $Δd$, то мож­но вы­чис­лить осе­вое на­пря­же­ние $σ_1=P/S$, про­доль­ную де­фор­ма­цию $ε_1 =Δl/l$ и по­пе­реч­ную де­фор­ма­цию $ε_2=Δd/d$. Здесь $S$ – пло­щадь по­пе­реч­но­го се­че­ния, $l$ – дли­на, $d$ – диа­метр об­раз­ца. Экс­пе­ри­мен­ты по­ка­зы­ва­ют, что при ма­лых де­фор­ма­ци­ях су­ще­ст­ву­ет об­ласть, в пре­де­лах ко­то­рой ве­ли­чи­ны $E=σ_1/ε_1$ и $ν=Gε_2/ε_1$ яв­ля­ют­ся по­сто­ян­ны­ми. Кон­стан­та $E$ на­зы­ва­ет­ся мо­ду­лем Юн­га, или мо­ду­лем про­доль­ной уп­ру­го­сти, кон­стан­та $ν$  – ко­эф­фи­ци­ен­том Пу­ас­со­на, или ко­эф­фи­ци­ен­том по­пе­реч­ной де­фор­ма­ции. Для разл. ма­те­риа­лов $0⩽ν⩽0,5$, при­чём $ν=0,5$ со­от­вет­ст­ву­ет не­сжи­мае­мо­му ма­те­риа­лу. Ха­рак­тер­ные зна­че­ния $E$ и $ν$ для не­ко­то­рых ма­те­риа­лов сле­дую­щие: сталь $E=$(1,9–2,2)·10¹¹ Па, $ν=$0,24–0,33; ла­тунь $E=$ (0,9–1,1)· 10¹¹ Па, $ν=$ 0,32–0,42; ти­тан $E=$1,08·10¹¹ Па, $ν=$0,29.

За­кон Гу­ка для изо­троп­но­го ма­те­риа­ла с ис­поль­зо­ва­ни­ем М. у. $E$ и $ν$ за­пи­сы­ва­ет­ся в ви­де $$ε_{ij}=\frac{1+ν}{E}(σ_{ij}-δ_{ij}\frac{ν}{1+ν}σ).$$Здесь $δ_{ij}=1$ при $ i=j$ и $δ_{ij}=0$ при $i≠j; σ= (1/3)(σ_{11}+σ_{22}+σ_{33})$. За­кон Гу­ка мо­жет быть за­пи­сан и че­рез дру­гие М. у.: $σ_{ij}=λθδ_{ij}+ 2με_{ij}$, где $θ=ε_{11}+ε_{22}+ε_{33}$ – от­но­сит. из­ме­не­ние объ­ё­ма; $λ$ и $μ$ – М. у., на­зы­вае­мые па­ра­мет­рами Ла­ме.

На­ря­ду с упо­мя­ну­ты­ми вы­ше М. у., на прак­ти­ке час­то ис­поль­зу­ют­ся мо­дуль объ­ём­но­го сжа­тия $K$, ха­рак­те­ри­зую­щий спо­соб­ность те­ла со­про­тив­лять­ся из­ме­не­нию объ­ё­ма, не со­про­во­ж­даю­ще­му­ся из­ме­не­ни­ем фор­мы, и мо­дуль сдви­га $G$, ха­рак­те­ри­зую­щий спо­соб­ность те­ла со­про­тив­лять­ся из­ме­не­нию фор­мы без из­ме­не­ния объ­ё­ма. Мо­дуль $K$ мож­но оп­ре­де­лить, напр., из экс­пе­ри­мен­та по на­гру­же­нию об­раз­ца гид­ро­ста­тич. дав­ле­ни­ем $p$, ес­ли уда­ёт­ся из­ме­рить из­ме­не­ние объ­ё­ма об­раз­ца; то­гда $K=-p/θ$. Мо­дуль $G$ мо­жет быть оп­ре­де­лён при ис­пы­та­нии тон­ко­стен­но­го труб­ча­то­го об­раз­ца на кру­че­ние с за­ме­ром кру­тя­ще­го мо­мен­та $M$ и уг­ла за­кру­чи­ва­ния $φ$ од­но­го тор­ца от­но­си­тель­но дру­го­го. То­гда $G=τ/γ$, где $τ$  – сдви­го­вое на­пря­же­ние, $γ$  – сдви­го­вая де­фор­ма­ция, при­чём $τ=M/(2πR^2h), γ=φR/l, R$ – ра­ди­ус об­раз­ца, $l$ – его дли­на, $h$ – тол­щи­на. М. у. свя­за­ны ме­ж­ду со­бой сле­дую­щи­ми со­от­но­ше­ния­ми: $$K=\frac{E}{3(1-2ν)}, \quad μ= \frac{E}{2(1+ν)},$$ $$λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, \quad G=μ.$$ Не­за­ви­си­мы­ми кон­стан­та­ми яв­ляют­ся лю­бые два М. у., напр. $E$ и $ν, λ$ и $μ, G$ и $K, E$ и $G$.

М. у. не яв­ля­ют­ся стро­го по­сто­ян­ны­ми ве­ли­чи­на­ми для од­но­го и то­го же ма­те­риа­ла: они за­ви­сят от пред­ва­ри­тель­ной тер­мич. и хи­мич. об­ра­бот­ки, умень­ша­ют­ся с рос­том темп-ры (напр., у ста­ли мар­ки 40 зна­че­ния $E$, вы­ра­жен­ные в 10¹¹ Па, при темп-рах 20 °С, 100 °С, 300 °С, 500 °С рав­ны со­от­вет­ст­вен­но 2,14; 2,10; 1,98; 1,80).