Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

МА́ССА

  • рубрика

    Рубрика: Физика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 19. Москва, 2011, стр. 294-296

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Л. Б. Окунь

МА́ССА, фун­да­мен­таль­ная фи­зич. ве­ли­чи­на, оп­ре­де­ляю­щая инер­ци­он­ные и гра­ви­тац. свой­ст­ва тел – от мак­ро­ско­пич. объ­ек­тов до ато­мов и эле­мен­тар­ных час­тиц – в не­ре­ля­ти­ви­ст­ском при­бли­же­нии, ко­гда их ско­ро­сти ма­лы по срав­не­нию со ско­ро­стью све­та $с$. В этом при­бли­же­нии М. те­ла слу­жит ме­рой со­дер­жа­ще­го­ся в нём ве­ще­ст­ва и име­ют ме­сто за­ко­ны со­хра­не­ния и ад­ди­тив­но­сти М. В ре­ля­ти­ви­ст­ской тео­рии М. изо­ли­ро­ван­ной сис­те­мы тел так­же не ме­ня­ет­ся со вре­ме­нем, но она не рав­на сум­ме масс этих тел.

М. эле­мен­тар­ных час­тиц ма­те­рии не про­из­воль­ны, а фик­си­ро­ва­ны: все эле­мен­тар­ные час­ти­цы дан­но­го ти­па име­ют стро­го оди­на­ко­вые М. Су­ще­ст­ву­ют и без­мас­со­вые час­ти­цы – напр., фо­то­ны, глюо­ны. В тео­рии от­но­си­тель­но­сти М. $m$ час­ти­цы оп­ре­де­ля­ет­ся че­рез её энер­гию $E$ и им­пульс $\boldsymbol p$:

$m^2=E^2/c^4-\boldsymbol p^2/c^2. \tag 1$

Им­пульс час­ти­цы и её ско­рость $v$ свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем

$\boldsymbol p =Ev/c^2. \tag 2$

Как сле­ду­ет из урав­не­ния (1), энер­гия по­коя $E_0$ час­ти­цы, для ко­то­рой $v=0$, свя­за­на с её М. фор­му­лой Эйн­штей­на:

$E_0=mc^2.\tag 3$

Урав­не­ния (1)–(3) в рав­ной сте­пе­ни при­ме­ни­мы к мас­сив­ным час­ти­цам, та­ким как про­то­ны, и к без­мас­со­вым час­ти­цам. Из урав­не­ния (1) сле­ду­ет, что для лю­бой без­мас­со­вой час­ти­цы $\boldsymbol p^2=E^2/c^2$, и, сле­до­ва­тель­но, в си­лу урав­не­ния (2) $v=c$. Это оз­на­ча­ет, что без­мас­со­вые час­ти­цы ни­ко­гда не бы­ва­ют в со­стоя­нии по­коя, а все­гда дви­жут­ся со ско­ро­стью $c$ (ре­ля­ти­ви­ст­ские час­ти­цы).

Ме­ха­ни­ка не­ре­ля­ти­ви­ст­ских час­тиц (нью­то­но­ва ме­ха­ни­ка) яв­ля­ет­ся пре­дель­ным слу­ча­ем тео­рии от­но­си­тель­но­сти при $v ≪ с$. Как сле­ду­ет из тео­рии от­но­си­тель­но­сти, фор­му­лы нью­то­но­вой ме­ха­ни­ки спра­вед­ли­вы с точ­но­стью до чле­нов по­ряд­ка $v^2/c^2$. В не­ре­ля­ти­ви­ст­ском при­бли­же­нии из урав­не­ний (1)–(3) сле­ду­ет, что ки­не­тич. энер­гия те­ла $E_{кин}=E-E_0$ свя­за­на с его им­пуль­сом со­от­но­ше­ни­ем

$E_{кин}=\boldsymbol p^2/2m,\tag 4$

а им­пульс со ско­ро­стью – со­от­но­ше­ни­ем

$\boldsymbol p=mv.\tag 5$

[При вы­во­де фор­мул (4)–(5) из фор­мул (1)–(3) на­до по­сле­до­ва­тель­но пре­неб­ре­гать $E_{кин}$ по срав­не­нию с $E_0$ вез­де, где это воз­мож­но, в ча­ст­но­сти, на­до за­ме­нить $E+E_0$ на $2E_0$.]

Из оп­ре­де­ле­ния си­лы

$\boldsymbol F=d\boldsymbol p/dt \tag 6$

сле­ду­ет из­вест­ная не­ре­ля­ти­ви­ст­ская фор­му­ла, свя­зы­ваю­щая си­лу $\boldsymbol F$ и ус­ко­ре­ние $\boldsymbol a$:

$\boldsymbol F =m\boldsymbol a. \tag 7$

Из урав­не­ний (5) и/или (7) сле­ду­ет, что в нью­то­но­вой ме­ха­ни­ке ме­рой инер­ции яв­ля­ет­ся мас­са $m$. Имен­но эта не­ре­ля­ти­ви­ст­ская ипо­стась М. час­то не­об­ду­ман­но пе­ре­но­сит­ся и на дви­же­ния при ре­ля­ти­ви­ст­ских ско­ро­стях, в то вре­мя как в тео­рии от­но­си­тель­но­сти, как сле­ду­ет из урав­не­ния (2), ме­рой инер­ции яв­ля­ет­ся не мас­са $m$, а энер­гия, бо­лее точ­но $E/c^2$. Чем боль­ше энер­гия без­массо­вой или очень лёг­кой час­ти­цы, тем труд­нее из­ме­нить её им­пульс. Толь­ко для не­ре­ля­ти­ви­ст­ских час­тиц су­ще­ст­вен­на не ки­не­тич. энер­гия, а энер­гия по­коя (М.).

Ана­ло­гич­но ис­поль­зо­ва­ние по­ня­тия М. как ис­точ­ни­ка гра­ви­тац. при­тя­же­ния. Как из­вест­но, в нью­то­но­вой фи­зи­ке си­ла все­мир­но­го тя­го­те­ния ме­ж­ду те­ла­ми с мас­са­ми $M$ и $m$ рав­на

$F_g=-GMm\boldsymbol r/r^3, \tag 8$

где $G$ – гра­ви­тац. по­сто­ян­ная, $\boldsymbol r$ – ра­ди­ус-век­тор, на­прав­лен­ный от те­ла с мас­сой $M$ к те­лу с мас­сой $m$. Из фор­мул (7) и (8) сле­ду­ет, что ус­ко­ре­ние тел, сво­бод­но па­даю­щих в гра­ви­тац. по­ле, не за­ви­сит ни от ве­ли­чи­ны $m$ этих тел, ни от свойств ве­ще­ст­ва, из ко­то­ро­го эти те­ла со­сто­ят. Эта за­ко­но­мер­ность про­ве­ре­на на опы­те в гра­ви­тац. по­ле Зем­ли с точ­но­стью по­ряд­ка 10–8 и в по­ле Солн­ца с точ­но­стью по­ряд­ка 10–12.

Час­то эту за­ко­но­мер­ность на­зы­ва­ют ра­вен­ст­вом инерт­ной и гра­ви­тац. масс. Од­на­ко этих по­ня­тий нет ни в ис­ход­ной ме­ха­ни­ке Нью­то­на – Га­ли­лея, ни в совр. тео­рии от­но­си­тель­но­сти: оба они ис­поль­зо­ва­лись в нач. 20 в. при по­строе­нии тео­рии от­но­си­тель­но­сти. В нью­то­но­вой ме­ха­ни­ке есть толь­ко од­на фи­зич. ве­ли­чи­на – М., оп­ре­де­ляю­щая два разл. яв­ле­ния: инер­цию и гра­ви­та­цию. В тео­рии от­но­си­тель­но­сти мас­са $m$, оп­ре­де­ляе­мая со­от­но­ше­ни­ем (1), не яв­ля­ет­ся ни ме­рой инер­ции, ни ис­точ­ни­ком гра­ви­та­ции. Ме­рой инер­ции слу­жит энер­гия, а ис­точ­ни­ком гра­ви­та­ции – тен­зор энер­гии-им­пуль­са (не­ко­то­рая ком­би­на­ция энер­гии и им­пуль­са); обе эти ве­ли­чи­ны (энер­гия и тен­зор энер­гии-им­пуль­са) пе­ре­хо­дят в мас­су $m$ толь­ко при $v/c→0$.

В тео­рии от­но­си­тель­но­сти энер­гия и им­пульс сво­бод­ных час­тиц об­ла­да­ют свой­ст­вом ад­ди­тив­но­сти: сум­мар­ная энер­гия и сум­мар­ный им­пульс со­во­куп­но­сти $n$ сво­бод­ных час­тиц все­гда рав­ны сум­ме их энер­гий и сум­ме им­пуль­сов со­от­вет­ст­вен­но. В от­ли­чие от это­го, сум­мар­ная М. со­во­куп­но­сти сво­бод­ных час­тиц рав­на сум­ме их М. толь­ко в том слу­чае, когда эти час­ти­цы по­ко­ят­ся друг от­но­си­тель­но дру­га. Ес­ли же они дви­жут­ся, то их М. в си­лу урав­не­ния (1) не мо­гут быть ад­ди­тив­ны. Так, напр., М. сис­те­мы двух фо­то­нов с энер­ги­ей $E$ у ка­ж­до­го, вы­чис­лен­ная по фор­му­ле (1), рав­на ну­лю, ес­ли они ле­тят в од­ну сто­ро­ну, и рав­на $2E/c^2$, ес­ли они ле­тят в про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны.

По­сколь­ку энер­гия и им­пульс изо­ли­ро­ван­ной сис­те­мы час­тиц со­хра­ня­ют­ся при лю­бых взаи­мо­дей­ст­ви­ях внут­ри этой сис­те­мы, то со­хра­ня­ет­ся и М. этой сис­те­мы. Так, напр., при ан­ни­ги­ля­ции по­коя­щих­ся элек­тро­на и по­зи­тро­на в два фо­то­на М. двух фо­то­нов рав­на $2m$, где $m$ – М. элек­тро­на.

Из ска­зан­но­го вы­ше сле­ду­ет, что М. яв­ля­ет­ся ха­рак­те­ри­сти­кой сво­бод­ной час­ти­цы. В ря­де слу­ча­ев, од­на­ко, мож­но счи­тать, что час­ти­ца, на­хо­дя­щая­ся во внеш­нем си­ло­вом по­ле др. час­тиц, име­ет то же зна­че­ние М., что и сво­бод­ная час­ти­ца. Но для это­го на­ря­ду с энер­ги­ей по­коя и энер­ги­ей дви­же­ния при­хо­дит­ся вво­дить ещё и энер­гию взаи­мо­дей­ст­вия, наи­бо­лее из­вест­ным при­ме­ром ко­то­рой яв­ля­ет­ся по­тен­ци­аль­ная энер­гия $U$. В этом слу­чае пол­ная энер­гия $ℰ$ пред­став­ля­ет со­бой сум­му трёх сла­гае­мых:

$$ℰ=E_0+E_{кин}+U.$$

Еди­ни­цей М. в СИ слу­жит ки­ло­грамм, в сис­те­ме еди­ниц СГС – грамм. М. ато­мов и мо­ле­кул обыч­но из­ме­ря­ют­ся в атом­ных еди­ни­цах мас­сы. М. эле­мен­тар­ных час­тиц при­ня­то из­ме­рять в эВ/c2. Напр., М. элек­тро­на $m_e$= 0,511 МэВ/c2, М. про­то­на $m_p$=938,3 МэВ/c2, М. $Z$-бо­зо­на $m_Z$= 91,2 ГэВ/c2, М. са­мой тя­жё­лой из из­вест­ных эле­мен­тар­ных час­тиц ($t$-квар­ка) рав­на при­мер­но 172 ГэВ/c2. Са­мые лёг­кие час­ти­цы с от­лич­ны­ми от ну­ля М. – ней­три­но; их М. мно­го мень­ше 1 эВ/с2. Важ­ную роль в при­ро­де иг­ра­ют без­мас­со­вые час­ти­цы: фо­тон (пе­ре­нос­чик элек­тро­маг­нит­но­го взаи­мо­дей­ст­вия) и гра­ви­тон (пе­ре­нос­чик гра­ви­тац. взаи­мо­дей­ст­вия).

По­ка не су­ще­ст­ву­ет тео­рии, ко­то­рая объ­яс­ня­ла бы, по­че­му М. эле­мен­тар­ных час­тиц имен­но та­ко­вы, ка­ко­вы они есть: от до­лей эВ/с2 до 1011 эВ/с2. Наи­бо­лее раз­ра­бо­тан­ной яв­ля­ет­ся ги­по­те­за, со­глас­но ко­то­рой по­яв­ле­ние М. элек­тро­на и це­ло­го ря­да др. фун­дам. час­тиц обу­слов­ле­но их взаи­мо­дей­ст­ви­ем с ги­по­те­тич. фун­дам. час­ти­цей, ко­то­рую на­зы­ва­ют Хигг­са бо­зо­ном. Для про­вер­ки этой ги­по­те­зы в ЦЕРНе со­ору­жён Боль­шой ад­рон­ный кол­лай­дер. Ожи­да­ют, что на этом кол­лай­де­ре бо­зон Хигг­са бу­дет ро­ж­дать­ся при столк­но­ве­нии двух про­то­нов. От­кры­тие этой час­ти­цы по­зво­ли­ло бы про­дви­нуть­ся в по­ни­ма­нии сущ­но­сти М. из­вест­ных в на­стоя­щее вре­мя час­тиц.

М. всех из­вест­ных час­тиц со­став­ля­ют лишь 5% сум­мар­ной М. ви­ди­мой Все­лен­ной, о чём сви­де­тель­ст­ву­ют ас­тро­но­мич. на­блю­де­ния, при­мер­но 25% со­став­ля­ют час­ти­цы т. н. тём­ной ма­те­рии. Боль­ше 70% М. Все­лен­ной соз­да­ёт т. н. тём­ная энер­гия, как бы раз­ли­тая в пус­то­те (см. Кос­мо­ло­гия).

Не все из­вест­ные эле­мен­тар­ные час­ти­цы в рав­ной сте­пе­ни эле­мен­тар­ны (фун­да­мен­таль­ны). На совр. уров­не зна­ния эле­мен­тар­ны элек­тро­ны и др. леп­то­ны, а так­же фо­то­ны и др. ка­либ­ро­воч­ные бо­зо­ны. Ну­кло­ны (про­то­ны и ней­тро­ны) и др. мно­го­числ. ад­ро­ны от­но­сят к эле­мен­тар­ным час­ти­цам с из­вест­ны­ми ого­вор­ка­ми, по­сколь­ку ус­та­нов­ле­но, что хо­тя их М. стро­го фик­си­ро­ва­ны, но са­ми они со­сто­ят из бо­лее эле­мен­тар­ных (фун­да­мен­таль­ных) час­тиц – квар­ков и глюо­нов. Со­глас­но кван­то­вой хро­мо­ди­на­мике (тео­рии взаи­мо­дей­ст­вия глюо­нов и квар­ков), ни глюо­ны, ни квар­ки не бы­ва­ют в сво­бод­ном со­стоя­нии: они все­гда на­хо­дят­ся внут­ри ад­ро­нов (кон­файн­мент) и мо­гут лишь пе­ре­хо­дить внут­ри них из од­но­го мес­та в дру­гое. По­это­му о М. этих час­тиц мож­но су­дить по их по­ве­де­нию не на боль­ших, а на ма­лых рас­стоя­ни­ях друг от дру­га, где име­ет ме­сто асим­пто­ти­че­ская сво­бо­да. На ма­лых рас­стоя­ни­ях М. глюо­нов рав­на ну­лю, а М. шес­ти квар­ков $u$, $d$, $s$ и $c$, $b$, $t$ со­став­ля­ют при­мер­но 3; 7; 100 МэВ/c2 и 1,3; 4,5; 170 ГэВ/c2 со­от­вет­ст­вен­но.

М. ад­ро­нов, со­стоя­щих из лёг­ких $u$- и $d$-квар­ков, обу­слов­ле­ны не М. квар­ков, а ме­ха­низ­мом кон­файн­мен­та, ко­то­рый воз­ни­ка­ет из-за силь­но­го взаи­мо­дей­ст­вия ме­ж­ду глюо­на­ми.

М. со­став­ных час­тиц, при­ме­ра­ми ко­то­рых яв­ля­ют­ся мо­ле­ку­лы, со­стоя­щие из ато­мов, ато­мы, со­стоя­щие из элек­тро­нов и атом­ных ядер, атом­ные яд­ра, со­стоя­щие из ну­кло­нов, как пра­ви­ло, мень­ше, чем сум­ма М. со­став­ляю­щих их час­тиц. Со­от­вет­ст­вую­щую раз­ность М. на­зы­ва­ют де­фек­том мас­сы и обо­зна­ча­ют $Δm$. Что­бы раз­де­лить со­став­ную час­ти­цу на со­став­ляю­щие её час­ти­цы, напр. атом во­до­ро­да на элек­трон и про­тон, на­до за­тра­тить энер­гию, рав­ную энер­гии свя­зи $\Delta E$. В со­от­вет­ст­вии с со­от­но­ше­ни­ем ме­ж­ду энер­ги­ей и М. эта энер­гия рав­на

$$ΔE=Δmc^2.\tag 9$$

Для ато­ма во­до­ро­да $ΔE$ = 13,6 эВ. Та­кая же энер­гия долж­на вы­де­лить­ся при об­ра­зо­ва­нии ато­ма во­до­ро­да из по­коя­щих­ся элек­тро­на и про­то­на. При де­ле­нии яд­ра ура­на вы­де­ля­ет­ся энер­гия по­ряд­ка 200 МэВ. Это оз­на­ча­ет, что в ки­не­тич. энер­гию про­дук­тов де­ле­ния пе­ре­хо­дит при­мер­но 10–3 от ве­ли­чи­ны М. ура­на. В тер­мо­ядер­ных ре­ак­ци­ях, иду­щих в звёз­дах и во­до­род­ных бом­бах, в ки­не­тич. энер­гию пе­ре­хо­дит при­мер­но 1% сум­мар­ной М. во­до­ро­да, пре­вра­щаю­ще­го­ся в ге­лий. (Энер­гия свя­зи ка­ж­до­го из че­ты­рёх ну­кло­нов в яд­ре ге­лия при­мер­но 8 МэВ, а М. ну­кло­на при­мер­но 940 МэВ.) При ан­ни­ги­ля­ции элек­тро­на и по­зи­тро­на вся их М. (энер­гия по­коя) пре­вра­ща­ет­ся в ки­не­тич. энер­гию фо­то­нов.

О пре­вра­ще­нии М. в ки­не­тич. энер­гию час­то не впол­не точ­но го­во­рят как о пре­вра­ще­нии М. в энер­гию. Не­точ­ность за­клю­ча­ет­ся в том, что та­кая фор­му­ли­ров­ка мо­жет на­толк­нуть на не­вер­ную мысль, что в фи­зич. и хи­мич. про­цес­сах энер­гия не со­хра­ня­ет­ся. На са­мом же де­ле она со­хра­ня­ет­ся во всех вы­ше­упо­мя­ну­тых про­цес­сах. Про­сто в них энер­гия по­коя пе­ре­хо­дит в ки­не­тич. энер­гию. Эта тер­ми­но­ло­гич. не­точ­ность вос­хо­дит к аб­со­лю­ти­за­ции нью­то­но­вой фи­зи­ки, в ко­то­рой по­ня­тия энер­гии по­коя $E_0$ не бы­ло.

Ана­ло­гич­но на пе­ре­хо­де от нью­то­но­вой к ре­ля­ти­ви­ст­ской фи­зи­ке воз­ник­ло и лож­ное пред­став­ле­ние о том, что М. дви­жу­ще­го­ся те­ла воз­рас­та­ет с уве­ли­че­ни­ем его ско­ро­сти. Та­кое пред­став­ле­ние воз­ни­ка­ет, ес­ли в фор­му­ле (3) для энер­гии по­коя $E_0$ опус­тить для крат­ко­сти ин­декс 0 и на­пи­сать

$$E =mc^2.\tag {10}$$

Имен­но так по­сту­па­ют ав­то­ры мно­го­числ. по­пу­ляр­ных ста­тей, книг и да­же учеб­ни­ков по тео­рии от­но­си­тель­но­сти, вы­да­вая урав­не­ние (10) за ис­тин­ное урав­не­ние Эйн­штей­на (3). При та­кой от­нюдь не без­обид­ной за­ме­не ме­сто энер­гии по­коя $E_0$ за­ни­ма­ет пол­ная энер­гия дви­жу­ще­го­ся те­ла $ℰ$, а мас­са $m$ ока­зы­ва­ет­ся за­ви­ся­щей от ско­ро­сти те­ла. При этом от чи­та­те­лей по су­ще­ст­ву скры­ва­ют осн. урав­не­ние тео­рии от­но­си­тель­но­сти для сво­бод­но­го те­ла (1), ко­то­рое оче­вид­ным об­ра­зом не­со­вмес­ти­мо с урав­не­ни­ем (10). Бо­лее то­го, обыч­ную М., удов­ле­тво­ряю­щую урав­не­ни­ям (1) и (3), при­хо­дит­ся на­зы­вать М. по­коя и обо­зна­чать её $m_0$. Всё это за­труд­ня­ет по­ни­ма­ние су­ти тео­рии от­но­си­тель­но­сти.

Лит.: Эйн­штейн А. Сущ­ность тео­рии от­но­си­тель­но­сти. М., 1955; Лан­дау Л. Д., Лиф­шиц Е. М. Тео­рия по­ля. 8-е изд. М., 2003; Окунь Л. Б. Фор­му­ла Эйн­штей­на: Е0=mc2. «Не сме­ет­ся ли Гос­подь Бог?» // Ус­пе­хи фи­зи­че­ских на­ук. 2008. Т. 178. № 5; он же. Тео­рия от­но­си­тель­но­сти и тео­ре­ма Пи­фа­го­ра // Там же. 2008. Т. 178. № 6.

Вернуться к началу