КОЛЕБА́НИЯ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
КОЛЕБА́НИЯ, движения или поведение системы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. К. свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звёзд, внутри которых происходят циклич. термоядерные реакции; с высокой степенью периодичности вращаются планеты Солнечной системы (а всякое вращение можно представить себе как два одновременных К. во взаимно перпендикулярных направлениях); движение Луны вызывает приливы и отливы на Земле; ветры возбуждают К. и волны на поверхностях водоёмов и т. д. Внутри любого живого организма – от одиночных клеток до их высокоорганизованных популяций – непрерывно происходят разнообразные повторяющиеся процессы (биение сердца, колебания психич. состояний и др.). В виде сложнейшей совокупности К. частиц и полей (электронов, фотонов, протонов и др.) можно представить «устройство» микромира.
К. могут быть регулярными, т. е. строго периодическими, или хаотическими (нерегулярными). Хаотические К. возможны не только в сложных системах (с большим числом степеней свободы), но и в очень простых, напр. в связанных маятниках (см. Связанные системы).
В технике К. выполняют либо определённые функциональные обязанности (колесо, маятник, колебательный контур, генератор К. и др.), либо возникают как неизбежное проявление физич. свойств (вибрации машин и сооружений, неустойчивости и вихревые потоки при движении тел в газах и т. п.).
В физике особо выделяются К. двух видов – механические и электромагнитные, а также их электромеханич. комбинации. Это обусловлено той исключит. ролью, которую играют гравитационные и электромагнитные взаимодействия в масштабах, характерных для жизнедеятельности человека. Распространяющиеся К. (механич., электромагнитные и др.) представляют собой волны. С помощью распространяющихся механич. К. плотности и давления воздуха, воспринимаемых нами как звук, а также К. электрич. и магнитных полей, воспринимаемых нами как свет, мы получаем бóльшую часть прямой информации об окружающем мире.
В системах с малой диссипацией энергии К. физич. величин сопровождаются попеременным превращением энергии одного вида в другой. Так, оттягивая маятник (груз на нити) от положения равновесия, мы увеличиваем потенциальную энергию груза, запасённую в поле тяжести. Когда груз отпускаем, он начинает падать, вращаясь около точки подвеса как около центра, и в крайнем нижнем положении вся потенциальная энергия превращается в кинетическую. Поэтому груз проскакивает равновесное положение и процесс перекачки энергии повторяется, пока рассеяние (диссипация) энергии, обусловленное, напр., трением, не приведёт к полному прекращению К. В случае К. электрич. зарядов и токов в колебательном контуре или электрич. и магнитных полей в электромагнитных волнах роль потенциальной энергии обычно играет энергия электрич. поля, а кинетической – магнитного поля.
Теория колебаний и волн
Изучение К. играло стимулирующую роль в развитии науки. Так, исследования периодич. К. маятника дали возможность Г. Галилею более точно измерять промежутки времени (1636), изучение законов обращения планет вокруг Солнца привело И. Ньютона к созданию начал классич. механики (1686). Дж. Максвелл, следуя идеям М. Фарадея и связав свойства электрич. К. с волновыми характеристиками света, построил основы классич. электродинамики (1864). В результате корпускулярно-волнового рассмотрения материи появилась квантовая механика.
По мере изучения К. разл. физич. природы возникло убеждение о возможности общего, «внепредметного», подхода к ним, основанного на свойствах и закономерностях колебательных процессов вообще. Вследствие этого появилась теория К. и волн (называемая часто нелинейной динамикой), которая на основе математич. и физич. моделей устанавливает общие свойства колебательных и волновых процессов в реальных системах, не рассматривая детали их поведения (обусловленные их природой – физич., химич. и др.), и определяет связь между параметрами системы и её колебательными (волновыми) характеристиками.
Изучение любого динамич. явления в каждом конкретном случае начинается с идеализации реальной системы, т. е. с построения модели и составления для неё соответствующих уравнений. Идеализации одних и тех же систем могут быть различными в зависимости от того, какое явление исследуется. Напр., для нахождения условий раскачки качелей при периодич. изменении их длины модель может быть совсем простой – линейный осциллятор с периодически меняющейся собств. частотой. Когда же необходимо определить амплитуду установившихся К. таких качелей, нужно уже учитывать нелинейность (зависимость частоты К. качелей от амплитуды К.) и использовать модель физич. маятника, т. е. нелинейного осциллятора с периодически изменяемым параметром.
Теория К. и волн изучает явления (резонанс, автоколебания, синхронизация, самофокусировка и др.) и модели колебательных систем (линейная и нелинейная системы, система с сосредоточенными или распределёнными параметрами, система с одной или несколькими степенями свободы и др.). На основе сложившихся представлений теории К. можно связать те или иные явления в конкретной системе с её характеристиками, фактически не решая задачу всякий раз заново. Напр., преобразование энергии одних К. в другие в слабонелинейной системе (волны на воде, электромагнитные К. в ионосфере или К. маятника на пружинке) возможно, только если выполнены условия резонанса собств. частот подсистемы.
Методы теории К. и волн – это методы анализа уравнений, описывающих модели реальных систем. Поэтому большинство из них являются общими с методами теории дифференциальных или разностных уравнений (метод фазового пространства, метод отображений Пуанкаре и др.), асимптотич. методами решения дифференциальных и иных уравнений (метод ван дер Поля, метод усреднения и т. д.). Специфика методов теории К. и волн состоит в том, что при изучении моделей интересуются общими свойствами решений соответствующих уравнений, которые характеризуют её разл. колебательные возможности.
Осн. разделы теории К. и волн – теория устойчивости линеаризованных систем, теория параметрич. систем и адиабатич. инвариантов, теория автоколебательных и автоволновых процессов, теория ударных волн и солитонов, кинетика К. и волн в системах с большим числом степеней свободы, теория динамического хаоса. Если классич. теория К. и волн изучала, как правило, лишь регулярные (периодические) процессы, то во 2-й пол. 20 в. усилился интерес к статистич. задачам, связанным с анализом процессов «рождения» хаоса в детерминированных системах. В этой части, а также в части исследования сложных колебательных и волновых структур в неравновесных средах совр. теория К. и волн пересекается с синергетикой.
Характеристики колебаний
Для простоты рассмотрим К., описываемые функцией времени $u (t)$, хотя с кинематич. точки зрения пространственные и временны́е К. взаимно сводятся друг к другу при переходе из одной системы отсчёта в другую.
На рис. а – г приведены периодич. К. разл. формы, в которых любое значение $u (t) $повторяется через одинаковые промежутки времени $T$, называемые периодом К., т. е. $u (t+T)=u (t)$. Величину, обратную периоду $T$ и равную числу К. в единицу времени, называют частотой К. $ν=1/T$; нередко пользуются также круговой, или циклической, частотой $ω=2πν$. Обычно частота измеряется в герцах (Гц), что соответствует числу К., совершаемых в 1 с. В случае пространственных К. вводят аналогичные понятия пространственного периода (или длины волны $\lambda$) и волнового числа $k=2\pi/\lambda$.
Разновидностями периодич. К. являются прямоугольные меандры (рис., б), пилообразные К. (рис., в) и наиболее важные синусоидальные К., или гармонические колебания (рис., г). Последние могут быть записаны в виде $$u (t)=A \sin \varphi=A \sin (\omega t+ \varphi_0), $$где $A$ – амплитуда, $\varphi$ – фаза, $\varphi_0 $ – её начальное значение. Для строго гармонич. К. величины $A$, $\omega$ и $\varphi_0 $ не зависят от времени. Часто используют также комплексную запись синусоидальных К.:$$\tilde u (t)=\tilde Ae^{i\omega t}=A \text{cos} (\omega t+\varphi_0) +iA \text{sin} (\omega t+\varphi_0), $$в которой комплексная амплитуда $\tilde A=Ae^{i\varphi_0}$объединяет в себе действит. значения амплитуды и фазы К. В частности, для показанного на рис. д затухающего К. $u (t)=\tilde Ae^{-\delta t} e^{i\omega t}, $ где декремент затухания $\delta$ можно либо считать мнимой частью частоты $\tilde \omega =\omega+i\delta, $ либо относить к экспоненциально убывающей амплитуде. При отрицательном значении $\delta$ этот коэф. называют инкрементом, а соответствующее К. превращается в экспоненциально растущее (рис., е). У К. с убывающей амплитудой периодичность нарушается, но при $\delta≪\omega$ их всё же можно считать почти периодическими (квазипериодическими), а при $\delta≫\omega$ – почти апериодическими, т. е. по существу уже не К., а монотонными движениями.
Для передачи информации применяются модулированные К. (см. Модуляция колебаний и волн), амплитуда, фаза или частота которых изменяются по закону кодирования информации; напр., в радиовещании высокочастотные К. модулируются К. звуковых частот, передающими речь, музыку. Наиболее часто используют модулированные К. вида $u (t)=A (t) \cos \varphi (t), $ где амплитуда $A (t) $ медленно изменяется в масштабах периода К., а фаза $\varphi (t)$ обладает медленно изменяющейся производной, равной мгновенной частоте К., т. е. $\omega =d \varphi/dt \gg\omega^{-1}d\omega/dt$. К. называются амплитудно-модулированным (рис., ж), если $\omega=\text{const}$, $\varphi_0=\text{const}$. В частности, при синусоидальной модуляции $A (t)=A_0 (1+\alpha \sin \Omega t) $ такое К. есть сумма трёх синусоидальных К. с частотами $\omega_0$, $\Omega_+\omega_0$, $\Omega_-\omega_0$:$$A_0 (1+\alpha \sin \Omega t) \cos (\omega_0t + \varphi_0)=\\ =\frac{\alpha A_0}{2} \sin[(\Omega + \omega_0) t+\varphi_0]+\\+\frac{\alpha A_0}{2} \sin[(\Omega - \omega_0) t-\varphi_0]+A_0 \cos (\omega_0 t+ \varphi_0). $$
Когда модулирующий сигнал $A (t)$ имеет сложный периодич. характер, результирующее К. представляется сплошным набором К. всех частот (непрерывный спектр), симметрично сгруппированных около центральной (несущей) частоты $\omega_0 $. При $A=\text{const}$, $\varphi=\omega_0t+\varphi (t)$ К. называется модулированным по фазе, при $A=\text{const}$, $\varphi= \int \omega (t)dt$ модуляция является частным случаем фазовой. На рис. з и рис. и приведены К., модулированные по амплитуде, частоте и фазе.
При стохастич. процессах К. являются частично и полностью случайными (см. Стохастические колебания). На рис. к дан пример синусоидальных К., модулированных по амплитуде и фазе случайными функциями; на рис. л приведена одна из реализаций совершенно неупорядоченного процесса (белого шума), который лишь условно можно отнести к колебаниям.
В природе и во многих технич. устройствах часто возникают движения, почти неотличающиеся (на протяжении больших промежутков времени) от чисто гармонических или равномерно вращательных. Физич. приборы, называемые анализаторами спектра, выделяют из произвольных процессов наборы К., близких к гармоническим. Возможна и обратная процедура синтеза гармонич. К., математически соответствующая рядам и интегралам Фурье, которая позволяет воссоздать любой временной процесс сложением или интегрированием гармонич. К. разл. частот и амплитуд.
Свободные (собственные) колебания
являются движением системы, предоставленной самой себе, при отсутствии внешних воздействий. При малых отклонениях от состояния равновесия движения системы удовлетворяют суперпозиции принципу, согласно которому сумма двух произвольных движений также представляет собой допустимое движение системы; такие движения описываются линейными (в частности, дифференциальными) уравнениями. Если система ещё и консервативна (т. е. в ней нет потерь и притока энергии извне), а её параметры не изменяются во времени, то любое собств. К. может быть однозначно представлено как сумма нормальных колебаний, синусоидально изменяющихся во времени с определёнными собств. частотами. В колебательных системах с сосредоточенными параметрами, состоящих из $N$ связанных осцилляторов (напр., цепочка из колебательных контуров или из соединённых упругими пружинками шариков), число нормальных К. (мод) равно $N$. В системах с распределёнными параметрами (струна, мембрана, полый или открытый резонатор) таких К. существует бесконечное множество. Напр., для струны длиной $L$ с закреплёнными концами моды различаются числом полуволн, которые можно уложить на всей длине струны: $L=n \lambda/2 (n=0, 1,…, \infty)$. Если скорость распространения волн вдоль струны равна $\upsilon$, то спектр собств. частот определяется формулой:$$\omega_n=k_n \upsilon=2\pi/Tn=2\pi\upsilon/\lambda n=n\pi\upsilon/L \\(n=0, 1,…, \infty). $$
Наличие дисперсии волн [зависимости $\upsilon=\upsilon (\omega)$] искажает это простое эквидистантное распределение частот, спектр которых определяется уже из т. н. дисперсионного уравнения: $\omega_n=\omega (k_n)=(n\pi/L)\upsilon (\omega_n)$. В реальных системах собств. К. затухают из-за потерь, поэтому их можно считать приближённо гармоническими лишь в интервале времени, меньшем $1/\delta$. Затухающее К. (рис., д) можно представить в виде пакета гармонич. К., непрерывно заполняющих интервал частот $\omega_0±\Delta\omega$, тем более узкий, чем меньше $\delta$ $(\Delta \omega \sim \delta)$. В этом случае говорят об уширении спектральной линии, иногда характеризуя её добротностью $Q$, равной отношению запасённой энергии $W $ к потерям $P$ за период колебаний $2 \pi /\omega$, т. е. $Q=\omega W/P \approx \omega/2\delta$. Т. о., сгущение спектра из-за потерь влечёт за собой превращение дискретного спектра в сплошной, когда ширина линий становится приблизительно равной интервалу между ними, т. е. $\Delta \omega \approx(\omega_{n+1}-\omega_n).$
Собств. К. нелинейных систем менее доступны для классификации. Нелинейность систем с дискретным спектром собств. частот приводит к «перекачке» энергии К. по спектральным компонентам; при этом возникают процессы конкуренции мод – выживание одних и подавление других.
Возбуждение колебаний
происходит либо путём непосредств. воздействия на состояние колебательной системы (раскачка маятника периодич. толчками, включение периодич. эдс в колебательный контур и т. п.), либо путём периодич. изменения параметров этой системы (длины подвеса маятника, ёмкости или самоиндукции контура, коэф. упругости струны и т. п.), либо благодаря «самовозбуждению» К., т. е. возникновению колебательных движений внутри самой системы. В первом случае говорят о вынужденных колебаниях, во втором – о параметрич. возбуждении колебаний, в третьем – об автоколебаниях.
Особое значение при возбуждении К. имеет явление резонанса, состоящее в резком увеличении отклика системы (амплитуды К.) при приближении частоты внешнего воздействия к некоторой резонансной частоте, характеризующей систему. Если последняя линейна и параметры её не зависят от времени, то резонансные частоты совпадают с частотами её собств. К. и соответствующий отклик тем сильнее, чем выше добротность колебательной системы. Раскачка происходит до тех пор, пока энергия, вносимая извне (напр., при каждом отклонении маятника), превышает потери за период осцилляции. Для линейных К. энергия, получаемая от источника, пропорциональна первой степени амплитуды, а потери растут пропорционально её квадрату, поэтому баланс энергий всегда достижим.
При больших амплитудах К. становятся нелинейными, происходит смещение собств. частот системы и обогащение их спектра гармониками и субгармониками. Ограничение амплитуды К. может быть обусловлено как нелинейной диссипацией энергии, так и уходом системы из резонанса. При возбуждении К. в системах с распределёнными параметрами макс. амплитуды достигаются в случае пространственно-временнóго резонанса, когда не только частота внешнего воздействия, но и его распределение по координатам хорошо «подогнаны» к структуре нормальной моды или когда наступает совмещение не только их частот (резонанс), но и волновых векторов (синхронизм).
Существует некоторый класс вынужденных К., в котором внешнее воздействие, не являясь чисто колебательным, имеет, однако, настолько богатый частотный спектр, что в нём всегда содержатся резонансные частоты. Напр., заряженная частица, пролетающая между двумя плоскостями, возбуждает почти весь набор нормальных волн и К., свойственный этой системе. Сюда же следует отнести черенковское излучение (см. Вавилова – Черенкова излучение), или тормозное излучение частицы в однородных средах, когда и спектр внешнего воздействия, и спектр собств. К. – сплошные, т. е. в них представлены все возможные частоты. Наконец, есть и совсем аномальный случай вынужденных К. в системах с непрерывным спектром собств. частот типа ротатора (маховик, колесо, электрон в магнитном поле и др.), где вращательное движение (а следовательно, два ортогональных колебательных движения) может возбуждаться силами, неизменными во времени.
Параметрич. возбуждение К. происходит в результате развития т. н. параметрической неустойчивости, возникающей при периодич. воздействии на те параметры системы, которые определяют величину запасённой колебательной энергии; в электрич. контуре – это индуктивность или ёмкость (но не сопротивление), у маятника – длина нити или масса груза (но не коэф. трения). Параметрич. возбуждение К. проявляется с наибольшей эффективностью при равенстве частоты изменения параметра удвоенной собств. частоте. Сама же система остаётся линейной. См. также Параметрические колебательные системы, Параметрический резонанс.
В нелинейной диссипативной системе при наличии источника энергии (в т. ч. неколебательной) могут зарождаться и устойчиво существовать автоколебания. Во многих системах процесс формирования автоколебаний состоит в последовательном самосогласовании движений. Пусть начальное состояние системы неустойчиво – либо по отношению к ничтожно малым флуктуациям (мягкий режим возбуждения), либо по отношению к определённым конечным возмущениям (жёсткий режим возбуждения). В любом случае спонтанно (случайно) возникшее К. начнёт увеличиваться по амплитуде (процесс усиления К.). Эти усиленные К. через элемент положительной обратной связи, обеспечивающий самосогласованность фаз, снова «подаются» в место своего возникновения и снова усиливаются и т. д. Получается очень быстрый (чаще всего экспоненциальный) рост К. Ограничение наступает из-за конечности энергетич. ресурсов, а иногда и раньше – из-за рассогласованности фаз.
Автоколебательные системы обладают большим разнообразием поведения (периодические, многопериодические, хаотические) и широко представлены как в природе, так и в технике: радиотехнич., акустич., оптич., квантовые (лазеры) генераторы, генераторы с сосредоточенными и распределёнными параметрами, механич. автоколебательные системы – часы, ветровые волны на воде, турбулентные процессы в аэро- и гидродинамике, флаттер крыльев самолётов и др. Часто встречаются более сложные автоколебательные системы, где происходит взаимная синхронизация колебаний и волн или хаотизация К.: стимуляция сердца, синхронизация мод в лазерах, индуцированные излучатели электромагнитных волн, переход к турбулентности в гидродинамич. течениях вязкой жидкости, рождение шума в системах связанных генераторов и т. д.
-
Различные виды колебаний: а – периодические сложной формы; б – прямоугольные; в – пилообразные; г – синусоидальные; д – затухающие; е – нарастающие; ж – амплитудно-модулированные; з – частотно-модулированные; и – модулированные по амплитуде и фазе; к – колебания, амплитуда и фаза которых – случайные функции; л – случайные колебания.
