КОЛЕБА́НИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Физика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 14. Москва, 2009, стр. 463

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: М. А. Миллер, М. И. Рабинович

КОЛЕБА́НИЯ, дви­же­ния или по­ве­де­ние сис­те­мы, об­ла­даю­щие той или иной сте­пе­нью по­вто­ряе­мо­сти во вре­ме­ни. К. свой­ст­вен­ны всем яв­ле­ни­ям при­ро­ды: пуль­си­ру­ет из­лу­че­ние звёзд, внут­ри ко­то­рых про­ис­хо­дят цик­лич. тер­мо­ядер­ные ре­ак­ции; с вы­со­кой сте­пе­нью пе­рио­дич­но­сти вра­ща­ют­ся пла­не­ты Сол­неч­ной сис­те­мы (а вся­кое вра­ще­ние мож­но пред­ста­вить се­бе как два од­но­вре­мен­ных К. во вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ных на­прав­ле­ни­ях); дви­же­ние Лу­ны вы­зы­ва­ет при­ли­вы и от­ли­вы на Зем­ле; вет­ры воз­бу­ж­да­ют К. и вол­ны на по­верх­но­стях во­до­ёмов и т. д. Внут­ри лю­бо­го жи­во­го ор­га­низ­ма – от оди­ноч­ных кле­ток до их вы­со­ко­ор­га­ни­зо­ван­ных по­пу­ля­ций – не­пре­рыв­но про­ис­хо­дят раз­но­об­раз­ные по­вто­ряю­щие­ся про­цес­сы (бие­ние серд­ца, ко­ле­ба­ния пси­хич. со­стоя­ний и др.). В ви­де слож­ней­шей со­во­куп­но­сти К. час­тиц и по­лей (элек­тро­нов, фо­то­нов, про­то­нов и др.) мож­но пред­ста­вить «уст­рой­ст­во» мик­ро­ми­ра.

К. мо­гут быть ре­гу­ляр­ны­ми, т. е. стро­го пе­рио­ди­че­ски­ми, или хао­ти­че­ски­ми (не­ре­гу­ляр­ны­ми). Хао­ти­че­ские К. воз­мож­ны не толь­ко в слож­ных сис­те­мах (с боль­шим чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды), но и в очень про­стых, напр. в свя­зан­ных ма­ят­ни­ках (см. Свя­зан­ные сис­те­мы).

В тех­ни­ке К. вы­пол­ня­ют ли­бо оп­ре­де­лён­ные функ­цио­наль­ные обя­зан­но­сти (ко­ле­со, ма­ят­ник, ко­ле­ба­тель­ный кон­тур, ге­не­ра­тор К. и др.), ли­бо воз­ни­ка­ют как не­из­беж­ное про­яв­ле­ние фи­зич. свойств (виб­ра­ции ма­шин и со­ору­же­ний, не­ус­той­чи­во­сти и вих­ре­вые по­то­ки при дви­же­нии тел в га­зах и т. п.).

В фи­зи­ке осо­бо вы­де­ля­ют­ся К. двух ви­дов – ме­ха­ни­че­ские и элек­тро­маг­нит­ные, а так­же их элек­тро­ме­ха­нич. ком­би­на­ции. Это обу­слов­ле­но той ис­клю­чит. ро­лью, ко­то­рую иг­ра­ют гра­ви­та­ци­он­ные и элек­тро­маг­нит­ные взаи­мо­дей­ст­вия в мас­шта­бах, ха­рак­тер­ных для жиз­не­дея­тель­но­сти че­ло­ве­ка. Рас­про­стра­няю­щие­ся К. (ме­ха­нич., элек­тро­маг­нит­ные и др.) пред­став­ля­ют со­бой вол­ны. С по­мо­щью рас­про­стра­няю­щих­ся ме­ха­нич. К. плот­но­сти и дав­ле­ния воз­ду­ха, вос­при­ни­мае­мых на­ми как звук, а так­же К. элек­трич. и маг­нит­ных по­лей, вос­при­ни­мае­мых на­ми как свет, мы по­лу­ча­ем бóльшую часть пря­мой ин­фор­ма­ции об ок­ру­жаю­щем ми­ре.

В сис­те­мах с ма­лой дис­си­па­ци­ей энер­гии К. фи­зич. ве­ли­чин со­про­во­ж­да­ют­ся по­пе­ре­мен­ным пре­вра­ще­ни­ем энер­гии од­но­го ви­да в дру­гой. Так, от­тя­ги­вая ма­ят­ник (груз на ни­ти) от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия, мы уве­ли­чи­ва­ем по­тен­ци­аль­ную энер­гию гру­за, за­па­сён­ную в по­ле тя­же­сти. Ко­гда груз от­пус­ка­ем, он на­чи­на­ет па­дать, вра­ща­ясь око­ло точ­ки под­ве­са как око­ло цен­тра, и в край­нем ниж­нем по­ло­же­нии вся по­тен­ци­аль­ная энер­гия пре­вра­ща­ет­ся в ки­не­ти­че­скую. По­это­му груз про­ска­ки­ва­ет рав­но­вес­ное по­ло­же­ние и про­цесс пе­ре­кач­ки энер­гии по­вторя­ет­ся, по­ка рас­сея­ние (дис­си­па­ция) энер­гии, обу­слов­лен­ное, напр., тре­ни­ем, не при­ве­дёт к пол­но­му пре­кра­ще­нию К. В слу­чае К. элек­трич. за­ря­дов и то­ков в ко­ле­ба­тель­ном кон­ту­ре или элек­трич. и маг­нит­ных по­лей в элек­тро­маг­нит­ных вол­нах роль по­тен­ци­аль­ной энер­гии обыч­но иг­ра­ет энер­гия элек­трич. по­ля, а ки­не­ти­че­ской – маг­нит­но­го по­ля.

Теория колебаний и волн

Изу­че­ние К. иг­ра­ло сти­му­ли­рую­щую роль в раз­ви­тии нау­ки. Так, ис­сле­до­ва­ния пе­рио­дич. К. ма­ят­ни­ка да­ли воз­мож­ность Г. Га­ли­лею бо­лее точ­но из­ме­рять про­ме­жут­ки вре­ме­ни (1636), изу­че­ние за­ко­нов об­ра­ще­ния пла­нет во­круг Солн­ца при­ве­ло И. Нью­то­на к соз­да­нию на­чал клас­сич. ме­ха­ни­ки (1686). Дж. Мак­свелл, сле­дуя иде­ям М. Фа­ра­дея и свя­зав свой­ст­ва элек­трич. К. с вол­но­вы­ми ха­рак­те­ри­сти­ка­ми све­та, по­стро­ил ос­но­вы клас­сич. элек­тро­ди­на­ми­ки (1864). В ре­зуль­та­те кор­пус­ку­ляр­но-вол­но­во­го рас­смот­ре­ния ма­те­рии поя­ви­лась кван­то­вая ме­ха­ни­ка.

По ме­ре изу­че­ния К. разл. фи­зич. при­ро­ды воз­ник­ло убе­ж­де­ние о воз­мож­но­сти об­ще­го, «вне­пред­мет­но­го», под­хо­да к ним, ос­но­ван­но­го на свой­ст­вах и за­ко­но­мер­но­стях ко­ле­ба­тель­ных про­цес­сов во­об­ще. Вслед­ст­вие это­го поя­ви­лась тео­рия К. и волн (на­зы­вае­мая час­то не­ли­ней­ной ди­на­ми­кой), ко­то­рая на ос­но­ве ма­те­ма­тич. и фи­зич. мо­де­лей ус­та­нав­ли­ва­ет об­щие свой­ст­ва ко­ле­ба­тель­ных и вол­но­вых про­цес­сов в ре­аль­ных сис­те­мах, не рас­смат­ри­вая де­та­ли их по­ве­де­ния (обу­слов­лен­ные их при­ро­дой – фи­зич., хи­мич. и др.), и оп­ре­де­ля­ет связь ме­ж­ду па­ра­мет­ра­ми сис­те­мы и её ко­ле­ба­тель­ны­ми (вол­но­вы­ми) ха­рак­те­ри­сти­ка­ми.

Изу­че­ние лю­бо­го ди­на­мич. яв­ле­ния в ка­ж­дом кон­крет­ном слу­чае на­чи­на­ет­ся с идеа­ли­за­ции ре­аль­ной сис­те­мы, т. е. с по­строе­ния мо­де­ли и со­став­ле­ния для неё со­от­вет­ст­вую­щих урав­не­ний. Идеа­ли­за­ции од­них и тех же сис­тем мо­гут быть раз­лич­ны­ми в за­ви­си­мо­сти от то­го, ка­кое яв­ле­ние ис­сле­ду­ет­ся. Напр., для на­хо­ж­де­ния ус­ло­вий рас­кач­ки ка­че­лей при пе­рио­дич. из­ме­не­нии их дли­ны мо­дель мо­жет быть со­всем про­стой – ли­ней­ный ос­цил­ля­тор с пе­рио­ди­че­ски ме­няю­щей­ся собств. час­то­той. Ко­гда же не­об­хо­ди­мо оп­ре­де­лить ам­пли­ту­ду ус­та­но­вив­ших­ся К. та­ких ка­че­лей, нуж­но уже учи­ты­вать не­ли­ней­ность (за­ви­си­мость час­то­ты К. ка­че­лей от ам­пли­ту­ды К.) и ис­поль­зо­вать мо­дель фи­зич. ма­ят­ни­ка, т. е. не­ли­ней­но­го ос­цил­ля­то­ра с пе­рио­ди­че­ски из­ме­няе­мым па­ра­мет­ром.

Тео­рия К. и волн изу­ча­ет яв­ле­ния (ре­зо­нанс, ав­то­ко­ле­ба­ния, син­хро­ни­за­ция, са­мо­фо­ку­си­ров­ка и др.) и мо­де­ли ко­леба­тель­ных сис­тем (ли­ней­ная и не­линей­ная сис­те­мы, сис­те­ма с со­сре­до­то­чен­ны­ми или рас­пре­де­лён­ны­ми па­ра­мет­ра­ми, сис­те­ма с од­ной или не­сколь­ки­ми сте­пе­ня­ми сво­бо­ды и др.). На ос­но­ве сло­жив­ших­ся пред­став­ле­ний тео­рии К. мож­но свя­зать те или иные яв­ле­ния в кон­крет­ной сис­те­ме с её ха­рак­те­ри­сти­ка­ми, фак­ти­че­ски не ре­шая за­да­чу вся­кий раз за­но­во. Напр., пре­об­ра­зо­ва­ние энер­гии од­них К. в дру­гие в сла­бо­не­ли­ней­ной сис­те­ме (вол­ны на во­де, элек­тро­маг­нит­ные К. в ио­но­сфе­ре или К. ма­ят­ни­ка на пру­жин­ке) воз­мож­но, толь­ко ес­ли вы­пол­не­ны ус­ло­вия ре­зо­нан­са собств. час­тот под­сис­те­мы.

Ме­то­ды тео­рии К. и волн – это ме­тоды ана­ли­за урав­не­ний, опи­сы­ваю­щих мо­де­ли ре­аль­ных сис­тем. По­это­му боль­шин­ст­во из них яв­ля­ют­ся об­щи­ми с ме­то­да­ми тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных или раз­но­ст­ных урав­не­ний (ме­тод фа­зо­во­го про­стран­ст­ва, ме­тод ото­бра­же­ний Пу­ан­ка­ре и др.), асим­пто­тич. ме­то­да­ми ре­ше­ния диф­фе­рен­ци­аль­ных и иных урав­нений (ме­тод ван дер По­ля, ме­тод ус­ред­не­ния и т. д.). Спе­ци­фи­ка ме­то­дов тео­рии К. и волн со­сто­ит в том, что при изу­че­нии мо­де­лей ин­те­ре­су­ют­ся об­щи­ми свой­ст­ва­ми ре­ше­ний со­от­вет­ст­вую­щих урав­не­ний, ко­то­рые ха­рак­те­ри­зу­ют её разл. ко­ле­ба­тель­ные воз­мож­но­сти.

Осн. раз­де­лы тео­рии К. и волн – тео­рия ус­той­чи­во­сти ли­неа­ри­зо­ван­ных сис­тем, тео­рия па­ра­мет­рич. сис­тем и адиа­ба­тич. ин­ва­ри­ан­тов, тео­рия ав­то­ко­ле­батель­ных и ав­то­вол­но­вых про­цес­сов, тео­рия удар­ных волн и со­ли­то­нов, ки­не­ти­ка К. и волн в сис­те­мах с боль­шим чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды, тео­рия ди­на­ми­че­ско­го хао­са. Ес­ли клас­сич. тео­рия К. и волн изу­ча­ла, как пра­ви­ло, лишь ре­гу­ляр­ные (пе­рио­ди­че­ские) про­цес­сы, то во 2-й пол. 20 в. уси­лил­ся ин­те­рес к ста­ти­стич. за­да­чам, свя­зан­ным с ана­ли­зом про­цес­сов «ро­ж­де­ния» хао­са в де­тер­ми­ни­ро­ван­ных сис­те­мах. В этой час­ти, а так­же в час­ти ис­сле­до­ва­ния слож­ных ко­ле­ба­тель­ных и вол­но­вых струк­тур в не­рав­но­вес­ных сре­дах совр. тео­рия К. и волн пе­ре­се­ка­ет­ся с си­нер­ге­ти­кой.

Характеристики колебаний

Для про­сто­ты рас­смот­рим К., опи­сы­вае­мые функ­ци­ей вре­ме­ни $u (t)$, хо­тя с ки­не­ма­тич. точ­ки зре­ния про­стран­ст­вен­ные и вре­менны́е К. вза­им­но сво­дят­ся друг к дру­гу при пе­ре­хо­де из од­ной сис­те­мы от­счё­та в дру­гую.

Различные виды колебаний: а – периодические сложной формы; б – прямоугольные; в – пилообразные; г – синусоидальные; д – затухающие; е – нарастающие; ж – ампли...

На рис. а – г при­ве­де­ны пе­рио­дич. К. разл. фор­мы, в ко­то­рых лю­бое зна­че­ние $u (t) $по­вто­ря­ет­ся че­рез оди­на­ко­вые про­ме­жут­ки вре­ме­ни $T$, на­зы­вае­мые пе­рио­дом К., т. е. $u (t+T)=u (t)$. Ве­личи­ну, об­рат­ную пе­рио­ду $T$ и рав­ную чис­лу К. в еди­ни­цу вре­ме­ни, на­зы­ва­ют час­то­той К. $ν=1/T$; не­ред­ко поль­зу­ют­ся так­же кру­го­вой, или цик­ли­че­ской, час­то­той $ω=2πν$. Обыч­но час­то­та из­ме­ря­ет­ся в гер­цах (Гц), что со­от­вет­ст­ву­ет чис­лу К., со­вер­шае­мых в 1 с. В слу­чае про­стран­ст­вен­ных К. вво­дят ана­ло­гич­ные по­ня­тия про­стран­ст­вен­но­го пе­рио­да (или дли­ны вол­ны $\lambda$) и вол­но­во­го чис­ла $k=2\pi/\lambda$.

Раз­но­вид­но­стя­ми пе­рио­дич. К. яв­ля­ют­ся пря­мо­уголь­ные ме­ан­д­ры (рис., б), пи­ло­об­раз­ные К. (рис., в) и наи­бо­лее важ­ные си­ну­сои­даль­ные К., или гар­мо­ни­че­ские ко­ле­ба­ния (рис., г). По­след­ние мо­гут быть за­пи­са­ны в ви­де $$u (t)=A \sin \varphi=A \sin (\omega t+ \varphi_0), $$где $A$ – ам­пли­ту­да, $\varphi$ – фа­за, $\varphi_0 $ – её на­чаль­ное зна­че­ние. Для стро­го гар­мо­нич. К. ве­ли­чи­ны $A$, $\omega$ и $\varphi_0 $ не за­ви­сят от време­ни. Час­то ис­поль­зу­ют так­же ком­плекс­ную за­пись си­ну­сои­даль­ных К.:$$\tilde u (t)=\tilde Ae^{i\omega t}=A \text{cos} (\omega t+\varphi_0) +iA \text{sin} (\omega t+\varphi_0), $$в ко­то­рой ком­плекс­ная ам­пли­ту­да $\tilde A=Ae^{i\varphi_0}$объ­е­ди­ня­ет в се­бе дей­ст­вит. зна­че­ния ам­пли­ту­ды и фа­зы К. В ча­ст­но­сти, для по­ка­зан­но­го на рис. д за­ту­хаю­ще­го К. $u (t)=\tilde Ae^{-\delta t} e^{i\omega t}, $ где дек­ре­мент за­ту­ха­ния $\delta$ мож­но ли­бо счи­тать мни­мой ча­стью час­то­ты $\tilde \omega =\omega+i\delta, $ ли­бо от­но­сить к экс­по­нен­ци­аль­но убы­ваю­щей ам­пли­ту­де. При от­ри­ца­тель­ном зна­че­нии $\delta$ этот ко­эф. на­зы­ва­ют ин­кре­мен­том, а со­от­вет­ст­вую­щее К. пре­вра­ща­ет­ся в экс­по­нен­ци­аль­но рас­ту­щее (рис., е). У К. с убы­ваю­щей ам­пли­ту­дой пе­рио­дич­ность на­ру­ша­ет­ся, но при $\delta≪\omega$  их всё же мож­но счи­тать почти пе­рио­ди­че­ски­ми (ква­зи­пе­рио­ди­че­ски­ми), а при $\delta≫\omega$ – поч­ти апе­рио­диче­ски­ми, т. е. по су­ще­ст­ву уже не К., а мо­но­тон­ны­ми дви­же­ния­ми.

Для пе­ре­да­чи ин­фор­ма­ции при­ме­ня­ют­ся мо­ду­ли­ро­ван­ные К. (см. Мо­ду­ля­ция ко­ле­ба­ний и волн), ам­пли­ту­да, фа­за или час­то­та ко­то­рых из­ме­ня­ют­ся по за­ко­ну ко­ди­ро­ва­ния ин­фор­ма­ции; напр., в ра­дио­ве­ща­нии вы­со­ко­час­тот­ные К. мо­ду­ли­ру­ют­ся К. зву­ко­вых час­тот, пе­ре­даю­щи­ми речь, му­зы­ку. Наи­бо­лее час­то ис­поль­зу­ют мо­ду­ли­ро­ван­ные К. ви­да $u (t)=A (t) \cos \varphi (t), $ где ам­пли­ту­да $A (t) $ мед­лен­но из­ме­ня­ет­ся в мас­шта­бах пе­рио­да К., а фа­за $\varphi (t)$ об­ла­да­ет мед­ленно из­ме­няю­щей­ся про­из­вод­ной, рав­ной мгно­вен­ной час­то­те К., т. е. $\omega =d \varphi/dt \gg\omega^{-1}d\omega/dt$. К. на­зы­ва­ют­ся ам­пли­туд­но-мо­ду­ли­ро­ван­ным (рис., ж), ес­ли $\omega=\text{const}$, $\varphi_0=\text{const}$. В ча­ст­но­сти, при си­ну­сои­даль­ной мо­ду­ля­ции $A (t)=A_0 (1+\alpha \sin \Omega t) $ та­кое К. есть сум­ма трёх си­ну­сои­даль­ных К. с час­то­та­ми $\omega_0$, $\Omega_+\omega_0$, $\Omega_-\omega_0$:$$A_0 (1+\alpha \sin \Omega t) \cos (\omega_0t + \varphi_0)=\\ =\frac{\alpha A_0}{2} \sin[(\Omega + \omega_0) t+\varphi_0]+\\+\frac{\alpha A_0}{2} \sin[(\Omega - \omega_0) t-\varphi_0]+A_0 \cos (\omega_0 t+ \varphi_0). $$

Ко­гда мо­ду­ли­рую­щий сиг­нал $A (t)$ име­ет слож­ный пе­рио­дич. ха­рак­тер, ре­зуль­ти­рую­щее К. пред­став­ля­ет­ся сплош­ным на­бо­ром К. всех час­тот (не­пре­рыв­ный спектр), сим­мет­рич­но сгруп­пи­ро­ван­ных око­ло цен­траль­ной (не­су­щей) час­то­ты $\omega_0 $. При $A=\text{const}$, $\varphi=\omega_0t+\varphi (t)$ К. на­зы­вает­ся мо­ду­ли­ро­ван­ным по фа­зе, при $A=\text{const}$, $\varphi= \int \omega (t)dt$ мо­ду­ля­ция яв­ля­ется ча­ст­ным слу­ча­ем фа­зо­вой. На рис. з и рис. и при­ве­де­ны К., мо­ду­ли­ро­ван­ные по ам­пли­ту­де, час­то­те и фа­зе.

При сто­хас­тич. про­цес­сах К. яв­ля­ют­ся час­тич­но и пол­но­стью слу­чай­ны­ми (см. Сто­хас­ти­че­ские ко­ле­ба­ния). На рис. к дан при­мер си­ну­сои­даль­ных К., мо­ду­ли­ро­ван­ных по ам­пли­ту­де и фа­зе слу­чай­ны­ми функ­ция­ми; на рис. л при­ве­де­на од­на из реа­ли­за­ций со­вер­шен­но не­упо­ря­до­чен­но­го про­цес­са (бе­ло­го шу­ма), ко­то­рый лишь ус­лов­но мож­но от­не­сти к ко­ле­ба­ни­ям.

В при­ро­де и во мно­гих тех­нич. уст­рой­ст­вах час­то воз­ни­ка­ют дви­же­ния, поч­ти не­от­ли­чаю­щие­ся (на про­тя­же­нии боль­ших про­ме­жут­ков вре­ме­ни) от чис­то гар­мо­ни­че­ских или рав­но­мер­но вра­ща­тель­ных. Фи­зич. при­бо­ры, на­зы­вае­мые ана­ли­за­то­ра­ми спек­тра, вы­де­ля­ют из про­из­воль­ных про­цес­сов на­бо­ры К., близ­ких к гар­мо­ни­че­ским. Воз­мож­на и об­рат­ная про­це­ду­ра син­те­за гар­мо­нич. К., ма­те­ма­ти­че­ски со­от­вет­ст­вую­щая ря­дам и ин­те­гра­лам Фу­рье, ко­то­рая по­зво­ля­ет вос­соз­дать лю­бой вре­менной про­цесс сло­же­ни­ем или ин­тег­ри­ро­ва­ни­ем гар­мо­нич. К. разл. час­тот и ам­пли­туд.

Свободные (собственные) колебания

яв­ля­ют­ся дви­же­ни­ем сис­те­мы, пре­до­став­лен­ной са­мой се­бе, при от­сут­ст­вии внеш­них воз­дей­ст­вий. При ма­лых от­кло­не­ни­ях от со­стоя­ния рав­но­ве­сия дви­же­ния сис­те­мы удов­ле­тво­ря­ют су­пер­по­зи­ции прин­ци­пу, со­глас­но ко­то­ро­му сум­ма двух про­из­воль­ных дви­же­ний так­же пред­став­ля­ет со­бой до­пус­ти­мое дви­же­ние сис­те­мы; та­кие дви­же­ния опи­сы­ва­ют­ся ли­ней­ны­ми (в ча­ст­но­сти, диф­фе­рен­ци­аль­ны­ми) урав­не­ния­ми. Ес­ли сис­те­ма ещё и кон­сер­ва­тив­на (т. е. в ней нет по­терь и при­то­ка энер­гии из­вне), а её па­ра­мет­ры не из­ме­ня­ют­ся во вре­ме­ни, то лю­бое собств. К. мо­жет быть од­но­знач­но пред­став­ле­но как сум­ма нор­маль­ных ко­ле­ба­ний, си­ну­сои­даль­но из­ме­няю­щих­ся во вре­ме­ни с оп­ре­де­лён­ны­ми собств. час­то­та­ми. В ко­ле­ба­тель­ных сис­те­мах с со­сре­до­то­чен­ны­ми па­ра­мет­ра­ми, со­стоя­щих из $N$ свя­зан­ных ос­цил­ля­то­ров (напр., це­поч­ка из ко­ле­ба­тель­ных кон­ту­ров или из со­еди­нён­ных уп­ру­ги­ми пру­жин­ка­ми ша­ри­ков), чис­ло нор­маль­ных К. (мод) рав­но $N$. В сис­те­мах с рас­пре­де­лён­ны­ми па­ра­мет­ра­ми (стру­на, мем­бра­на, по­лый или от­кры­тый ре­зо­на­тор) та­ких К. су­ще­ст­ву­ет бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во. Напр., для стру­ны дли­ной $L$ с за­кре­п­лён­ны­ми кон­ца­ми мо­ды раз­ли­ча­ют­ся чис­лом по­лу­волн, ко­то­рые мож­но уло­жить на всей дли­не стру­ны: $L=n \lambda/2 (n=0, 1,…, \infty)$. Ес­ли ско­рость рас­про­стра­не­ния волн вдоль стру­ны рав­на $\upsilon$, то спектр собств. час­тот оп­ре­де­ля­ет­ся фор­му­лой:$$\omega_n=k_n \upsilon=2\pi/Tn=2\pi\upsilon/\lambda n=n\pi\upsilon/L \\(n=0, 1,…, \infty). $$

На­ли­чие дис­пер­сии волн [за­ви­си­мо­сти $\upsilon=\upsilon (\omega)$] ис­ка­жа­ет это про­стое эк­ви­ди­стант­ное рас­пре­де­ле­ние час­тот, спектр ко­то­рых оп­ре­де­ля­ет­ся уже из т. н. дис­пер­си­он­но­го урав­не­ния: $\omega_n=\omega (k_n)=(n\pi/L)\upsilon (\omega_n)$. В ре­аль­ных сис­те­мах собств. К. за­ту­ха­ют из-за по­терь, по­это­му их мож­но счи­тать при­бли­жён­но гар­мо­ни­че­ски­ми лишь в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни, мень­шем $1/\delta$. За­ту­хаю­щее К. (рис., д) мож­но пред­ста­вить в ви­де па­ке­та гар­мо­нич. К., не­пре­рыв­но за­пол­няю­щих ин­тер­вал час­тот $\omega_0±\Delta\omega$, тем бо­лее уз­кий, чем мень­ше $\delta$ $(\Delta \omega \sim \delta)$. В этом слу­чае гово­рят об уши­ре­нии спек­траль­ной ли­нии, ино­гда ха­рак­те­ри­зуя её доб­рот­но­стью $Q$, рав­ной от­но­ше­нию за­па­сён­ной энер­гии $W $ к по­те­рям $P$ за пе­ри­од ко­ле­ба­ний $2 \pi /\omega$, т. е. $Q=\omega W/P \approx \omega/2\delta$. Т. о., сгу­ще­ние спек­тра из-за по­терь вле­чёт за со­бой пре­вра­ще­ние дис­крет­но­го спек­тра в сплош­ной, ко­гда ши­ри­на ли­ний ста­но­вит­ся при­бли­зи­тель­но рав­ной ин­тер­ва­лу ме­ж­ду ни­ми, т. е. $\Delta \omega \approx(\omega_{n+1}-\omega_n).$

Собств. К. не­ли­ней­ных сис­тем ме­нее дос­туп­ны для клас­си­фи­ка­ции. Не­ли­ней­ность сис­тем с дис­крет­ным спек­тром собств. час­тот при­во­дит к «пе­ре­кач­ке» энер­гии К. по спек­траль­ным ком­по­нен­там; при этом воз­ни­ка­ют про­цес­сы кон­ку­рен­ции мод – вы­жи­ва­ние од­них и по­дав­ле­ние дру­гих.

Возбуждение колебаний

про­ис­хо­дит ли­бо пу­тём не­по­средств. воз­дей­ст­вия на со­стоя­ние ко­ле­ба­тель­ной сис­те­мы (рас­кач­ка ма­ят­ни­ка пе­рио­дич. толч­ка­ми, вклю­че­ние пе­рио­дич. эдс в ко­ле­ба­тель­ный кон­тур и т. п.), ли­бо пу­тём пе­рио­дич. из­ме­не­ния па­ра­мет­ров этой сис­те­мы (дли­ны под­ве­са ма­ят­ни­ка, ём­ко­сти или са­мо­ин­дук­ции кон­ту­ра, ко­эф. уп­ру­го­сти стру­ны и т. п.), ли­бо бла­го­да­ря «са­мо­воз­бу­ж­де­нию» К., т. е. воз­ник­но­ве­нию ко­ле­ба­тель­ных дви­же­ний внут­ри са­мой сис­те­мы. В пер­вом слу­чае го­во­рят о вы­ну­ж­ден­ных ко­ле­ба­ни­ях, во вто­ром – о па­ра­мет­рич. воз­бу­ж­де­нии ко­ле­ба­ний, в треть­ем – об ав­то­ко­ле­ба­ни­ях.

Осо­бое зна­че­ние при воз­бу­ж­де­нии К. име­ет яв­ле­ние ре­зо­нан­са, со­стоя­щее в рез­ком уве­ли­че­нии от­кли­ка сис­те­мы (ам­пли­ту­ды К.) при при­бли­же­нии час­то­ты внеш­не­го воз­дей­ст­вия к не­ко­то­рой ре­зо­нанс­ной час­то­те, ха­рак­те­ри­зую­щей сис­те­му. Ес­ли по­след­няя ли­ней­на и па­ра­мет­ры её не за­ви­сят от вре­ме­ни, то ре­зо­нанс­ные час­то­ты сов­па­да­ют с час­то­та­ми её собств. К. и со­от­вет­ст­вую­щий от­клик тем силь­нее, чем вы­ше доб­рот­ность ко­ле­ба­тель­ной сис­те­мы. Рас­кач­ка про­ис­хо­дит до тех пор, по­ка энер­гия, вно­си­мая из­вне (напр., при ка­ж­дом от­кло­нении ма­ят­ни­ка), пре­вы­ша­ет по­те­ри за пе­ри­од ос­цил­ля­ции. Для ли­ней­ных К. энер­гия, по­лу­чае­мая от ис­точ­ни­ка, про­пор­цио­наль­на пер­вой сте­пе­ни ам­пли­ту­ды, а по­те­ри рас­тут про­пор­цио­наль­но её квад­ра­ту, по­это­му ба­ланс энер­гий все­гда дос­ти­жим.

При боль­ших ам­пли­ту­дах К. ста­но­вят­ся не­ли­ней­ны­ми, про­ис­хо­дит сме­ще­ние собств. час­тот сис­те­мы и обо­га­ще­ние их спек­тра гар­мо­ни­ка­ми и суб­гар­мо­ни­ка­ми. Ог­ра­ни­че­ние ам­пли­ту­ды К. мо­жет быть обу­слов­ле­но как не­ли­ней­ной дис­си­па­ци­ей энер­гии, так и ухо­дом сис­те­мы из ре­зо­нан­са. При воз­бу­ж­де­нии К. в сис­те­мах с рас­пре­де­лён­ны­ми па­ра­мет­ра­ми макс. ам­пли­ту­ды дос­ти­га­ют­ся в слу­чае про­стран­ст­вен­но-вре­меннóго ре­зо­нан­са, ко­гда не толь­ко час­то­та внеш­не­го воз­дей­ст­вия, но и его рас­пре­де­ле­ние по ко­ор­ди­на­там хо­ро­шо «по­дог­на­ны» к струк­ту­ре нор­маль­ной мо­ды или ко­гда на­сту­па­ет со­вме­ще­ние не толь­ко их час­тот (ре­зо­нанс), но и вол­но­вых век­то­ров (син­хро­низм).

Су­ще­ст­ву­ет не­ко­то­рый класс вы­ну­ж­ден­ных К., в ко­то­ром внеш­нее воз­дей­ст­вие, не яв­ля­ясь чис­то ко­ле­ба­тель­ным, име­ет, од­на­ко, на­столь­ко бо­га­тый час­тот­ный спектр, что в нём все­гда со­дер­жат­ся ре­зо­нанс­ные час­то­ты. Напр., за­ря­жен­ная час­ти­ца, про­ле­таю­щая ме­ж­ду дву­мя плос­ко­стя­ми, воз­бу­ж­да­ет поч­ти весь на­бор нор­маль­ных волн и К., свой­ст­вен­ный этой сис­те­ме. Сю­да же сле­ду­ет от­не­сти че­рен­ков­ское из­лу­че­ние (см. Ва­ви­ло­ва – Че­рен­ко­ва из­лу­че­ние), или тор­моз­ное из­лу­че­ние час­ти­цы в од­но­род­ных сре­дах, ко­гда и спектр внеш­не­го воз­дей­ст­вия, и спектр собств. К.  сплош­ные, т. е. в них пред­став­ле­ны все воз­мож­ные час­то­ты. На­ко­нец, есть и со­всем ано­маль­ный слу­чай вы­ну­ж­ден­ных К. в сис­те­мах с не­пре­рыв­ным спек­тром собств. час­тот ти­па ро­та­то­ра (ма­хо­вик, ко­ле­со, элек­трон в маг­нит­ном по­ле и др.), где вра­ща­тель­ное дви­же­ние (а сле­до­ва­тель­но, два ор­то­го­наль­ных ко­ле­ба­тель­ных дви­же­ния) мо­жет воз­бу­ж­дать­ся си­ла­ми, не­из­мен­ны­ми во вре­ме­ни.

Па­ра­мет­рич. воз­бу­ж­де­ние К. про­ис­хо­дит в ре­зуль­та­те раз­ви­тия т. н. па­ра­мет­ри­че­ской не­ус­той­чи­во­сти, воз­ни­каю­щей при пе­рио­дич. воз­дей­ст­вии на те па­ра­мет­ры сис­те­мы, ко­то­рые оп­ре­де­ля­ют ве­ли­чи­ну за­па­сён­ной ко­ле­ба­тель­ной энер­гии; в элек­трич. кон­ту­ре – это ин­дук­тив­ность или ём­кость (но не со­про­тив­ле­ние), у ма­ят­ни­ка – дли­на ни­ти или мас­са гру­за (но не ко­эф. тре­ния). Па­рамет­рич. воз­бу­ж­де­ние К. про­яв­ля­ет­ся с наи­боль­шей эф­фек­тив­но­стью при ра­вен­ст­ве час­то­ты из­ме­не­ния па­ра­мет­ра уд­во­ен­ной собств. час­то­те. Са­ма же сис­те­ма ос­та­ёт­ся ли­ней­ной. См. так­же Па­ра­мет­ри­че­ские ко­ле­ба­тель­ные сис­те­мы, Па­ра­мет­ри­че­ский ре­зо­нанс.

В не­ли­ней­ной дис­си­па­тив­ной сис­те­ме при на­ли­чии ис­точ­ни­ка энер­гии (в т. ч. не­ко­ле­ба­тель­ной) мо­гут за­ро­ж­дать­ся и ус­той­чи­во су­ще­ст­во­вать ав­то­ко­ле­ба­ния. Во мно­гих сис­те­мах про­цесс фор­ми­ро­ва­ния ав­то­ко­ле­ба­ний со­сто­ит в по­сле­до­ва­тель­ном са­мо­со­гла­со­ва­нии дви­же­ний. Пусть на­чаль­ное со­стоя­ние сис­те­мы не­ус­той­чи­во – ли­бо по от­но­ше­нию к ни­чтож­но ма­лым флук­туа­ци­ям (мяг­кий ре­жим воз­бу­ж­де­ния), ли­бо по от­но­ше­нию к оп­ре­де­лён­ным ко­неч­ным воз­му­ще­ни­ям (жё­ст­кий ре­жим воз­бу­ж­де­ния). В лю­бом слу­чае спон­тан­но (слу­чай­но) воз­ник­шее К. нач­нёт уве­ли­чи­вать­ся по ам­пли­ту­де (про­цесс уси­ле­ния К.). Эти уси­лен­ные К. че­рез эле­мент по­ло­жи­тель­ной об­рат­ной свя­зи, обес­пе­чи­ваю­щий са­мо­со­гла­со­ван­ность фаз, сно­ва «по­да­ют­ся» в ме­сто сво­его воз­ник­но­ве­ния и сно­ва уси­ли­ва­ют­ся и т. д. По­лу­ча­ет­ся очень бы­ст­рый (ча­ще все­го экс­по­нен­ци­аль­ный) рост К. Ог­ра­ни­че­ние на­сту­па­ет из-за ко­неч­но­сти энер­ге­тич. ре­сур­сов, а ино­гда и рань­ше – из-за рас­со­гла­со­ван­но­сти фаз.

Ав­то­ко­ле­ба­тель­ные сис­те­мы об­ла­да­ют боль­шим раз­но­об­ра­зи­ем по­ве­де­ния (пе­рио­ди­че­ские, мно­го­пе­рио­ди­че­ские, хао­ти­че­ские) и ши­ро­ко пред­став­ле­ны как в при­ро­де, так и в тех­ни­ке: ра­дио­тех­нич., аку­стич., оп­тич., кван­то­вые (ла­зе­ры) ге­не­ра­то­ры, ге­не­ра­то­ры с со­сре­до­то­чен­ны­ми и рас­пре­де­лён­ны­ми па­ра­мет­ра­ми, ме­ха­нич. ав­то­ко­ле­ба­тель­ные сис­те­мы – ча­сы, вет­ро­вые вол­ны на во­де, тур­бу­лент­ные про­цес­сы в аэ­ро- и гид­ро­ди­на­ми­ке, флат­тер крыль­ев са­мо­лё­тов и др. Час­то встре­ча­ют­ся бо­лее слож­ные ав­токо­ле­ба­тель­ные сис­те­мы, где про­ис­хо­дит вза­им­ная син­хро­ни­за­ция ко­ле­ба­ний и волн или хао­ти­за­ция К.: сти­му­ля­ция серд­ца, син­хро­ни­за­ция мод в ла­зе­рах, ин­ду­ци­ро­ван­ные из­лу­ча­те­ли элек­тро­маг­нит­ных волн, пе­ре­ход к тур­бу­лент­но­сти в гид­ро­ди­на­мич. те­че­ни­ях вяз­кой жид­ко­сти, ро­ж­де­ние шу­ма в сис­те­мах свя­зан­ных ге­не­ра­то­ров и т. д.

Лит.: Ан­д­ро­нов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э. Тео­рия ко­ле­ба­ний. 3-е изд. М., 1981; Би­шоп Р. Ко­ле­ба­ния. 3-е изд. М., 1986; Тру­бец­ков Д. И., Рож­нев А. Г. Ли­ней­ные ко­ле­ба­ния и вол­ны. М., 2001; Го­ре­лик Г. С. Ко­ле­ба­ния и вол­ны. 3-е изд. М., 2007.

Вернуться к началу