Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

КВА́НТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНА́МИКА

  • рубрика

    Рубрика: Физика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 13. Москва, 2009, стр. 464

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Д. В. Ширков, Д. И. Казаков

КВА́НТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНА́МИКА (КЭД), кван­то­вая тео­рия элек­тро­маг­нит­но­го взаи­мо­дей­ст­вия за­ря­жен­ных час­тиц, од­но­го из че­ты­рёх ви­дов фун­да­мен­таль­ных взаи­мо­дей­ст­вий, из­вест­ных в при­ро­де. В бо­лее уз­ком зна­че­нии КЭД – это кван­то­вая тео­рия взаи­мо­дей­ст­вия элек­тро­маг­нит­но­го по­ля Мак­свел­ла и элек­трон-по­зи­трон­но­го по­ля Ди­ра­ка (спи­нор­но­го по­ля). КЭД час­то на­зы­ва­ют так­же спинор­ной элек­тро­ди­на­ми­кой.

Ис­то­ри­че­ски КЭД бы­ла пер­вым чёт­ко сфор­му­ли­ро­ван­ным раз­де­лом кван­то­вой тео­рии по­ля (КТП). Она сло­жи­лась в кон. 1920-х гг. на ба­зе кван­то­вой тео­рии из­лу­че­ния и кван­то­вой тео­рии спи­нор­но­го по­ля Ди­ра­ка. КЭД ко­ли­че­ст­вен­но объ­яс­ня­ет эф­фек­ты взаи­мо­дей­ст­вия из­лу­че­ния с ве­ще­ст­вом (ис­пус­ка­ние, по­гло­ще­ние и рас­сея­ние све­та), а так­же опи­сы­ва­ет взаи­мо­дей­ст­вие ме­ж­ду за­ря­жен­ны­ми час­ти­ца­ми пу­тём об­ме­на кван­том взаи­мо­дей­ст­вия – фо­то­ном, час­ти­цей с ну­ле­вой мас­сой и спи­ном 1. В ос­но­ве совр. фор­му­ли­ров­ки КЭД ле­жит КТП, со­дер­жа­щая два взаи­мо­дей­ст­вую­щих ре­ля­ти­ви­ст­ских по­ля: элек­тро­маг­нит­ное по­ле, ха­рак­те­ри­зуе­мое дей­ст­ви­тель­ным че­ты­рёх­мер­ным век­тор­ным по­тен­циа­лом $A_\mu(x)$ ($\mu=0,1,2,3$; $x$ – про­стран­ст­вен­но-вре­меннáя ко­ор­ди­на­та), и по­ле Ди­ра­ка, опи­сы­вае­мое ком­плекс­ным ло­рен­це­вым спи­но­ром $\psi_\beta(x)$ $(\beta=1,2,3,4)$. В слу­чае КЭД элек­тро­маг­нит­ное взаи­мо­дей­ст­вие ха­рак­те­ри­зу­ет­ся ла­гран­жиа­ном $$L(x)=-\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}+ \bar{\psi}(i \gamma^\mu \partial/\partial x^\mu -m)\psi+e\bar{\psi}\gamma^\mu A_\mu \psi, \quad\tag{*}$$где $e$ – за­ряд элек­тро­на, $m$ – мас­са элек­тро­на, $\gamma^\mu$  – мат­ри­цы Ди­ра­ка, $F_{\mu \nu}= \partial A_\nu /\partial x^\mu-\partial A_\mu/\partial x^\nu$ – тен­зор на­пря­жён­но­сти элек­тро­маг­нит­но­го по­ля.

Ла­гран­жи­ан $(*)$ опи­сы­ва­ет всю со­во­куп­ность элек­тро­маг­нит­ных яв­ле­ний. Без­раз­мер­ной кон­стан­той, ха­рак­те­ри­зу­ю­щей ин­тен­сив­ность взаи­мо­дей­ст­вия, яв­ля­ет­ся тон­кой струк­ту­ры по­сто­ян­ная $\alpha=e^2/\hbar c \sim 1/137$ [точ­нее $\alpha^{-1}=137,035981(12)$]. Ла­гран­жи­ан $(*)$ ин­ва­ри­ан­тен (сим­мет­ри­чен) от­но­си­тель­но из­ме­не­ния фа­зы спи­нор­но­го по­ля [груп­па ин­ва­ри­ант­но­сти $(U)1$] и яв­ля­ет­ся при­ме­ром абе­ле­вой ка­либ­ро­воч­ной тео­рии (см. Ка­либ­ро­воч­ные по­ля). КЭД яв­ля­ет­ся со­став­ной ча­стью стан­дарт­ной мо­де­ли фун­да­мен­таль­ных взаи­мо­дей­ст­вий, опи­сы­ва­ю­щей силь­ные, сла­бые и элек­тро­маг­нит­ные взаи­мо­дей­ст­вия на ос­но­ве еди­но­го прин­ци­па ло­каль­ной ка­либ­ро­воч­ной сим­мет­рии.

Кван­то­ва­ние сис­те­мы по­лей $A$, $\psi$, взаи­мо­дей­ст­вие ко­то­рых опи­сы­ва­ет­ся ла­гран­жиа­ном $(*)$, при­во­дит к кван­то­вой тео­рии элек­тро­маг­нит­но­го взаи­мо­дей­ст­вия, при­чём по­ле Мак­свел­ла $A_\mu$ кван­ту­ет­ся на ос­но­ве Бо­зе – Эйн­штей­на ста­ти­сти­ки, а по­ле Ди­ра­ка $\psi$ – на ос­но­ве Фер­ми – Ди­ра­ка ста­ти­сти­ки. Со­глас­но об­щим по­ло­же­ни­ям КТП, по­ля $A_\mu$, $\psi$ по­сле кван­то­ва­ния ста­но­вят­ся опе­ра­то­ра­ми, удов­ле­тво­ряю­щи­ми оп­ре­де­лён­ным пе­ре­ста­но­воч­ным со­от­но­ше­ни­ям и дей­ст­вую­щи­ми на век­тор со­стоя­ния сис­те­мы. Эти опе­ра­то­ры удов­ле­тво­ря­ют так­же свя­зан­ной сис­те­ме диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, ко­то­рые вме­сте с урав­не­ни­ем Шрё­дин­ге­ра для век­то­ра со­стоя­ния об­ра­зу­ют сис­те­му урав­не­ний дви­же­ния КЭД.

Рис. 1. Диаграммы Фейнмана: а – испускание фотона; б – поглощение фотона; в – аннигиляция электрона и позитрона; г – рождение пары электрон-позитрон. Линии изображают распростр...

По­сколь­ку сис­те­ма урав­не­ний дви­же­ния КЭД не до­пус­ка­ет точ­но­го ре­ше­ния, её ре­ша­ют при­бли­жён­но ме­то­дом тео­рии воз­му­ще­ний по ма­ло­му без­раз­мер­но­му па­ра­мет­ру $\alpha$. На­гляд­ное гра­фич. изо­бра­же­ние этой тео­рии да­ют Фейн­ма­на диа­грам­мы. На этих диа­грам­мах ли­нии изо­бра­жа­ют рас­про­стра­не­ние час­тиц, вер­ши­ны – про­цесс ло­каль­но­го вза­и­мо­дей­ст­вия. Диа­грам­мам со­от­вет­ст­ву­ют оп­ре­де­лён­ные ма­те­ма­тич. вы­ра­же­ния, за­да­вае­мые пра­ви­ла­ми Фейн­ма­на, ко­то­рые по­зво­ля­ют вы­чис­лять ам­пли­ту­ды ве­ро­ят­но­стей пе­ре­хо­да сис­тем, со­стоя­щих из фо­то­нов $(\gamma)$, элек­тро­нов $(e^-)$, по­зи­тро­нов $(e^+)$ и др. час­тиц, из од­но­го со­стоя­ния в дру­гое. Ве­ро­ят­ность пе­ре­хо­да, как и в кван­то­вой ме­ха­ни­ке, да­ёт­ся квад­ра­том мо­ду­ля ам­пли­ту­ды ве­ро­ят­но­сти. Од­на­ко в от­ли­чие от кван­то­вой ме­ха­ни­ки, чис­ло час­тиц в ре­ак­ци­ях не со­хра­ня­ет­ся, воз­мож­ны про­цес­сы ро­ж­де­ния, рас­па­да, ан­ни­ги­ля­ции час­тиц, а так­же ис­пус­ка­ние и по­гло­ще­ние фо­то­нов (рис. 1).

Рис. 2. Диаграммы Фейнмана: а – эффект Комптона; б – аннигиляция и рождение пары электрон-позитрон.

Пер­вый эф­фект, ко­то­рый объ­яс­ни­ла КЭД, – лэм­бов­ский сдвиг уров­ней энер­гии ато­ма. КЭД опи­сы­ва­ет так­же та­кие про­цес­сы, как ком­пто­нов­ское рас­сея­ние (Ком­пто­на эф­фект), тор­моз­ное из­лу­че­ние, ан­ни­ги­ля­ция и ро­ж­де­ние час­тиц и др. (рис. 2). От­но­сит. по­греш­ность вы­чис­ле­ний со­став­ля­ет ве­ли­чи­ну по­ряд­ка $\alpha$. Для уве­ли­че­ния точ­но­сти не­об­хо­ди­мо учесть выс­шие чле­ны тео­рии воз­му­ще­ний – т. н. ра­диа­ци­он­ные по­прав­ки, со­от­вет­ст­вую­щие вкла­дам от та­ких пе­ре­хо­дов, ко­то­рые в про­ме­жу­точ­ных со­стоя­ни­ях со­дер­жат до­пол­нит. вир­ту­аль­ные час­ти­цы – вир­ту­аль­ные фо­то­ны, элек­тро­ны и по­зи­тро­ны. Од­на­ко со­от­вет­ст­вую­щие мат­рич­ные эле­мен­ты, пред­став­ляе­мые ин­те­гра­ла­ми по че­ты­рёх­мер­ным им­пуль­сам вир­ту­аль­ных час­тиц, как пра­ви­ло, рас­хо­дят­ся в об­лас­ти боль­ших им­пуль­сов и при­во­дят к бес­ко­неч­но­стям. Про­бле­ма рас­хо­ди­мо­сти в те­че­ние мн. лет пре­пят­ст­во­ва­ла вы­чис­ле­нию ра­ди­ац. по­пра­вок в КЭД и раз­ви­тию КТП в це­лом. Она бы­ла ре­ше­на во 2-й пол. 1940-х гг. с по­мо­щью ме­то­да пе­ре­нор­ми­ро­вок, в ко­то­ром все УФ-рас­хо­ди­мо­сти в КЭД мож­но пред­ста­вить в ви­де вкла­дов, пе­ре­нор­ми­рую­щих ха­рак­те­ри­сти­ки элек­тро­на – его мас­су $m$ и за­ряд $e$. Бес­ко­неч­ный ха­рак­тер та­ких пе­ре­нор­ми­ро­вок не при­во­дит к фи­зич. про­ти­во­ре­чи­ям вслед­ст­вие не­воз­мож­но­сти на­блю­дать не­пе­ре­нор­ми­ро­ван­ные, «го­лые» зна­че­ния $m_0$ и $e_0$. Пер­вой ус­пеш­ной де­мон­ст­ра­ци­ей пло­до­твор­но­сти идеи об уст­ра­не­нии УФ-рас­хо­ди­мо­стей с по­мо­щью бес­ко­неч­ных пе­ре­нор­ми­ро­вок бы­ла ра­бо­та X. Бе­те (1947) по не­ре­ля­ти­ви­ст­ско­му рас­чё­ту лэм­бов­ско­го сдви­га уров­ней в ато­ме во­до­ро­да. Ко­ва­ри­ант­ная тео­рия воз­му­ще­ний (С. То­мо­на­га, Дж. Швин­гер, P. Фейн­ман, 1946–49) по­зво­ли­ла соз­дать ре­гу­ляр­ный ме­тод уст­ра­не­ния рас­хо­ди­мо­стей в КЭД и вы­чис­лить низ­шие ра­ди­ац. по­прав­ки к осн. эф­фек­там, напр. к маг­нит­но­му мо­мен­ту элек­тро­на. В 1-й пол. 1950-х гг. бы­ла раз­ра­бо­та­на (Ф. Дай­сон, А. Са­лам, Н. Н. Бо­го­лю­бов и др.) об­щая тео­рия пе­ре­нор­ми­ро­вок и для клас­са пе­ре­нор­ми­руе­мых взаи­мо­дей­ст­вий по­строе­на пе­ре­нор­ми­ро­ван­ная тео­рия воз­му­ще­ний.

Ра­ди­ац. по­прав­ки к про­цес­сам с учас­ти­ем за­ря­жен­ных час­тиц име­ют так­же ИК-рас­хо­ди­мо­сти, свя­зан­ные с даль­но­дей­ст­вую­щим ха­рак­те­ром элек­тро­маг­нит­но­го взаи­мо­дей­ст­вия. Од­на­ко ИК-рас­хо­ди­мо­сти от­сут­ст­ву­ют в се­че­нии инк­лю­зив­ных про­цес­сов, в ко­то­ром сум­ми­ру­ют­ся ве­ро­ят­но­сти пе­ре­хо­дов в со­стоя­ния с про­из­воль­ным чис­лом «мяг­ких» фо­то­нов (экс­пе­ри­мен­таль­но та­кие со­стоя­ния нель­зя от­ли­чить от ис­ход­но­го из-за ко­неч­ной раз­ре­шаю­щей спо­соб­но­сти ре­ги­ст­ри­рую­щих при­бо­ров).

Рис. 3. Диаграммы Фейнмана: а – поляризация вакуума; б – возникновение аномального магнитного момента электрона; в – рассеяние света на свете.

Хо­ро­шее со­гла­сие тео­ре­тич. рас­чё­тов КЭД с экс­пе­ри­мен­том мо­жет быть про­ил­лю­ст­ри­ро­ва­но на при­ме­ре вы­чис­ле­ния ра­ди­ац. по­пра­вок к ано­маль­но­му маг­нит­но­му мо­мен­ту элек­тро­на. Маг­нит­ный мо­мент – ве­ли­чи­на, обу­слов­ли­ваю­щая взаи­мо­дей­ст­вие по­коя­щей­ся час­ти­цы с внеш­ним маг­нит­ным по­лем. Из кван­то­вой тео­рии элек­тро­на Ди­ра­ка сле­ду­ет, что элек­трон об­ла­да­ет маг­нит­ным мо­мен­том, рав­ным маг­не­то­ну Бо­ра $\mu_Б=e\hbar/2mc$. В КЭД к это­му вы­ра­же­нию воз­ни­ка­ют по­прав­ки, по­лу­чив­шие назв. ано­маль­но­го маг­нит­но­го мо­мен­та. Они про­пор­цио­наль­ны $\alpha$ в сте­пе­нях 2, 3 и т. д. и обя­за­ны сво­им про­ис­хо­ж­де­ни­ем ро­ж­де­нию вир­ту­аль­ных час­тиц в ва­куу­ме. Про­стей­шая диа­грам­ма Фейн­ма­на, со­от­вет­ст­вую­щая воз­ник­но­ве­нию ано­маль­но­го маг­нит­но­го мо­мен­та элек­тро­на, изо­бра­же­на на рис. 3, б. Она бы­ла вы­чис­ле­на Дж. Швин­ге­ром в 1948 и да­ёт зна­че­ние $\mu=\mu_Б(1+\alpha/2\pi)$. На 2008 ано­маль­ный маг­нит­ный мо­мент элек­тро­на в КЭД вы­чис­лен с вы­со­кой точ­но­стью: $$\mu_{теор}=\mu_Б(1+(\alpha/2\pi)-0,328478(\alpha/\pi)^2+\\+1,184175(\alpha/\pi)^3+\dots)=1,001159652306(111)\mu_Б$$и на­хо­дит­ся в со­гла­сии с экс­пе­рим. зна­че­ни­ем $$\mu_{эксп}=1,001159652188(4)\mu_Б,$$оп­ре­де­лён­ным с точ­но­стью 10–12. Со­от­вет­ст­вие ме­ж­ду рас­чёт­ным и экс­пе­рим. зна­че­ния­ми (по­ряд­ка 10–10) яв­ля­ет­ся ре­корд­ным в фи­зи­ке. Точ­ность срав­не­ния тео­рии с экс­пе­ри­мен­том оп­ре­де­ля­ет­ся по­греш­но­стью в зна­че­нии $\alpha$, оп­ре­де­лён­ном с по­мо­щью Джо­зеф­со­на эф­фек­та. На этом уров­не точ­но­сти ока­зы­ва­ют­ся не­су­ще­ст­вен­ны­ми тео­ре­тич. кван­то­во­по­ле­вые по­прав­ки за счёт эф­фек­тов силь­но­го и сла­бо­го взаи­мо­дей­ст­вий и эф­фек­тов, вы­хо­дя­щих за рам­ки КЭД, а так­же ра­ди­ац. по­прав­ки по­ряд­ка $\alpha^4$.

Ха­рак­тер­ным эф­фек­том, ко­то­рый объ­яс­ня­ет­ся КЭД, яв­ля­ет­ся рас­сея­ние све­та на све­те (рис. 3, в). В клас­сич. элек­т­ро­ди­на­ми­ке этот эф­фект во­об­ще не рас­смат­ри­ва­ет­ся, т. к. элек­тро­маг­нит­ные вол­ны не взаи­мо­дей­ст­ву­ют друг с дру­гом. В КЭД это ста­но­вит­ся воз­мож­ным бла­го­да­ря на­ли­чию флук­туа­ций ва­куу­ма, в ре­зуль­та­те ко­то­рых по­яв­ля­ет­ся взаи­мо­дей­ст­вие ме­ж­ду фо­то­на­ми, т. е. на­ру­ша­ет­ся прин­цип су­пер­по­зи­ции элек­тро­маг­нит­ных волн.

Для др. эф­фек­тов КЭД – ан­ни­ги­ля­ции и ро­ж­де­ния па­ры элек­трон-по­зи­т­рон, дельб­рю­ков­ско­го рас­сея­ния фо­то­нов элек­тро­маг­нит­ным по­лем яд­ра и др. – так­же ха­рак­тер­но от­лич­ное со­гла­сие тео­рии с экс­пе­ри­мен­том. Од­на­ко по срав­не­нию с ано­маль­ным маг­нит­ным мо­мен­том уро­вень со­от­вет­ст­вия в них не столь вы­сок ли­бо из-за мень­шей точ­но­сти экс­пе­ри­мен­та, ли­бо вслед­ст­вие то­го, что ока­зы­ва­ет­ся бо­лее су­ще­ст­вен­ным учёт эф­фек­тов, вы­хо­дя­щих за рам­ки КЭД. Так, напр., экс­пе­рим. зна­че­ние ве­ли­чи­ны сверх­тон­ко­го рас­ще­п­ле­ния уров­ня 1s1/2 в ато­ме во­до­ро­да из­вест­но с точ­но­стью, дос­ти­гаю­щей 13 по­ряд­ков, то­гда как тео­ре­тич. рас­чё­ты да­ют здесь лишь 7 зна­ков, при­чём уже с учё­том ко­неч­ных раз­ме­ров про­то­на. Ве­ли­чи­на лэм­бов­ско­го сдви­га в ато­ме во­до­ро­да из­вест­на из опы­та с точ­но­стью 10–7, а со­гла­сую­щее­ся с ней тео­ре­тич. зна­че­ние име­ет по­греш­ность на уров­не 10–6, при­чём вклад эф­фек­тов, вы­хо­дя­щих за рам­ки КЭД, до­сти­га­ет по­ряд­ка 10–5

Эф­фект по­ля­ри­за­ции ва­куу­ма за счёт ро­ж­де­ния вир­ту­аль­ных элек­трон-по­зи­трон­ных пар экс­пе­ри­мен­таль­но про­яв­ля­ет­ся в за­ви­си­мо­сти по­сто­ян­ной тон­кой струк­ту­ры от пе­ре­дан­но­го им­пуль­са час­тиц, уча­ст­вую­щих во взаи­мо­дей­ст­вии. В низ­шем по­ряд­ке по $\alpha$ он оп­ре­де­ля­ет­ся диа­грам­мой Фейн­ма­на (рис. 3, а) и ве­дёт к ло­га­риф­мич. за­ви­си­мо­сти эф­фек­тив­ной кон­стан­ты от им­пуль­са: $$\alpha(p^2)=\frac{\alpha(0)}{1-\frac{\alpha(0)}{3\pi}\lg \left(\frac{p^2}{m^2} \right)},$$что по­лу­чи­ло под­твер­жде­ние в из­ме­ре­ни­ях на Боль­шом элек­трон-по­зи­трон­ном кол­лай­де­ре в ЦЕРНе (Же­не­ва).

Экс­пе­рим. дан­ные по всем без ис­клю­че­ния эф­фек­там КЭД пре­крас­но со­гла­су­ют­ся с тео­ре­тич. зна­че­ния­ми в тех слу­ча­ях, ко­гда др. ви­ды взаи­мо­дей­ст­вий в этих эф­фек­тах ока­зы­ва­ют­ся не­су­ще­ст­вен­ны­ми ли­бо под­да­ют­ся учё­ту. Этот факт име­ет прин­ци­пи­аль­ное зна­че­ние как для КЭД, так и для КТП в це­лом. Он сви­де­тель­ст­ву­ет о том, что осн. по­ло­же­ния совр. ло­каль­ной (ка­либ­ро­воч­ной) КТП, а так­же ди­на­мич. ос­но­ва КЭД, со­от­вет­ст­вую­щая ло­каль­но ка­либ­ро­воч­но­му ла­гран­жиа­ну взаи­мо­дей­ст­вия, ока­зы­ва­ют­ся спра­вед­ли­вы­ми во всей об­лас­ти, дос­туп­ной совр. экс­пе­ри­мен­ту.

Лит.: Ахие­зер А. И., Бе­ре­стец­кий В. Б. Кван­то­вая элек­тро­ди­на­ми­ка. 4-е изд. М., 1981; Бо­го­лю­бов Н. Н., Шир­ков Д. В. Вве­де­ние в тео­рию кван­то­ван­ных по­лей. 4-е изд. М., 1984; они же. Кван­то­вые по­ля. 2-е изд. М., 1993. Гл. 5, 7, 8; Бе­ре­стец­кий В. Б., Лиф­шиц ЕМ., Пи­та­ев­ский Л. П. Кван­то­вая элек­тро­ди­на­ми­ка. 4-е изд. М., 2002; Фейн­ман Р. Кван­то­вая элек­тро­ди­на­ми­ка. 3-е изд. М., 2004.

Вернуться к началу