КВА́НТОВАЯ ТЕО́РИЯ ПО́ЛЯ

  • рубрика

    Рубрика: Физика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 13. Москва, 2009, стр. 453

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Д. В. Ширков, Д. И. Казаков

КВА́НТОВАЯ ТЕО́РИЯ ПО́ЛЯ (КТП), кван­то­вая тео­рия ре­ля­ти­ви­ст­ских сис­тем с бес­ко­неч­ным чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды (ре­ля­ти­ви­ст­ских по­лей), яв­ляю­щая­ся тео­ре­тич. ос­но­вой опи­са­ния мик­ро­час­тиц, их взаи­мо­дей­ст­вий и взаи­мо­пре­вра­ще­ний.

Квантовые поля

Кван­то­вое (кван­то­ван­ное) по­ле пред­став­ля­ет со­бой син­тез по­ня­тий клас­сич. по­ля ти­па элек­тро­маг­нит­но­го и по­ля ве­ро­ят­но­стей кван­то­вой ме­ха­ни­ки. По современным пред­став­ле­ни­ям, кван­то­вое по­ле – наи­бо­лее фун­да­мен­таль­ная и уни­вер­саль­ная фор­ма ма­те­рии.

Пред­став­ле­ние о клас­сич. элек­тро­маг­нит­ном по­ле воз­ник­ло в тео­рии элек­тро­маг­не­тиз­ма Фа­ра­дея – Мак­свел­ла и при­об­ре­ло совр. вид в спец. тео­рии от­но­си­тель­но­сти, по­тре­бо­вав­шей от­ка­за от эфи­ра как ма­те­ри­аль­но­го но­си­те­ля элек­тро­маг­нит­ных про­цес­сов. При этом по­ле яв­ля­ет­ся не фор­мой дви­же­ния к.-л. сре­ды, а спе­ци­фич. фор­мой ма­те­рии. В от­ли­чие от час­тиц, клас­сич. по­ле не­пре­рыв­но соз­да­ёт­ся и унич­то­жа­ет­ся (ис­пус­ка­ет­ся и по­гло­ща­ет­ся за­ря­да­ми), об­ла­да­ет бес­ко­неч­ным чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды и не ло­ка­ли­зу­ет­ся в оп­ре­де­лён­ных точ­ках про­стран­ст­ва-вре­ме­ни, но мо­жет рас­про­стра­нять­ся в нём, пе­ре­да­вая сиг­нал (взаи­мо­дей­ст­вие) от од­ной час­ти­цы к дру­гой с ко­неч­ной ско­ро­стью, не пре­вос­хо­дя­щей ско­ро­сти све­та $c$.

Воз­ник­но­ве­ние идей о кван­то­ва­нии при­ве­ло к пе­ре­смот­ру клас­сич. пред­став­ле­ний о не­пре­рыв­но­сти ме­ха­низ­ма ис­пус­ка­ния и по­гло­ще­ния све­та и к вы­во­ду, что эти про­цес­сы про­ис­хо­дят дис­крет­но – пу­тём ис­пус­ка­ния и по­гло­ще­ния кван­тов элек­тро­маг­нит­но­го по­ля – фо­то­нов. Воз­ник­шую про­ти­во­ре­чи­вую с точ­ки зре­ния клас­сич. фи­зи­ки кар­ти­ну, ко­гда с элек­тро­маг­нит­ным по­лем со­пос­тав­ля­лись фо­то­ны и од­ни яв­ле­ния под­да­ва­лись ин­тер­пре­та­ции лишь в тер­ми­нах волн, а дру­гие – толь­ко с по­мо­щью пред­став­ле­ния о кван­тах, на­зва­ли кор­пус­ку­ляр­но-вол­но­вым дуа­лиз­мом. Это про­ти­во­ре­чие раз­ре­ши­лось по­сле­до­ва­тель­ным при­ме­не­ни­ем к по­лю идей кван­то­вой ме­ха­ники. Ди­на­мич. пе­ре­мен­ные элек­тро­маг­нит­но­го по­ля – по­тен­циа­лы $\boldsymbol A$, $\phi$ и на­пря­жён­но­сти элек­трич. и маг­нит­но­го по­лей $\boldsymbol E$, $\boldsymbol H$ – ста­ли кван­то­вы­ми опе­ра­то­ра­ми, под­чи­няю­щи­ми­ся оп­ре­де­лён­ным пе­ре­ста­но­воч­ным со­от­но­ше­ни­ям и дей­ст­вую­щи­ми на вол­но­вую функ­цию (ам­пли­ту­ду или век­тор со­стоя­ния) сис­те­мы. Так воз­ник но­вый фи­зич. объ­ект – кван­то­вое по­ле, удов­ле­тво­ряю­щее урав­не­ни­ям клас­сич. элек­тро­ди­на­ми­ки, но имею­щее свои­ми зна­че­ния­ми кван­то­во­ме­ха­нич. опе­ра­то­ры.

Вве­де­ние по­ня­тия кван­то­во­го по­ля свя­за­но так­же с вол­но­вой функ­ци­ей час­ти­цы $\psi(\boldsymbol x,t)$, ко­то­рая яв­ля­ет­ся не са­мо­стоя­тель­ной фи­зич. ве­ли­чи­ной, а ам­пли­ту­дой со­стоя­ния час­ти­цы: ве­ро­ят­но­сти лю­бых от­но­ся­щих­ся к час­ти­це фи­зич. ве­ли­чин оп­ре­де­ля­ют­ся би­ли­ней­ны­ми по $\psi$ вы­ра­же­ния­ми. Т. о., в кван­то­вой ме­ха­ни­ке с ка­ж­дой ма­те­ри­аль­ной час­ти­цей свя­за­но но­вое по­ле – по­ле ам­пли­туд ве­ро­ят­но­стей. Обоб­ще­ние на слу­чай мн. час­тиц, удов­ле­тво­ряю­щих прин­ци­пу не­раз­ли­чи­мо­сти (то­ж­де­ст­вен­но­сти прин­ци­пу), оз­на­ча­ет, что для опи­са­ния всех час­тиц дос­та­точ­но од­но­го по­ля в че­ты­рёх­мер­ном про­стран­ст­ве-вре­ме­ни, яв­ляю­ще­го­ся опе­ра­то­ром в кван­то­вой ме­ха­ни­ке. Это дос­ти­га­ет­ся пе­ре­хо­дом к но­во­му кван­тово­ме­ха­нич. пред­став­ле­нию – пред­став­ле­нию чи­сел за­пол­не­ния (или пред­став­ле­нию вто­рич­но­го кван­то­ва­ния).

Вве­дён­ное та­ким пу­тём опе­ра­тор­ное по­ле ана­ло­гич­но кван­то­ван­но­му элек­тро­маг­нит­но­му по­лю и от­ли­ча­ет­ся от не­го лишь вы­бо­ром пред­став­ле­ния груп­пы Ло­рен­ца и, воз­мож­но, спо­со­бом кван­то­ва­ния. По­доб­но элек­тро­маг­нит­но­му по­лю, од­но та­кое по­ле со­от­вет­ст­ву­ет всей со­во­куп­но­сти то­ж­де­ст­вен­ных час­тиц дан­но­го сор­та; напр., од­но опе­ра­тор­ное по­ле Ди­ра­ка опи­сы­ва­ет все элек­тро­ны (и по­зи­тро­ны) Все­лен­ной.

Т. о., на сме­ну по­лям и час­ти­цам клас­сич. фи­зи­ки при­шли еди­ные фи­зич. объ­ек­ты – кван­то­вые по­ля в че­ты­рёх­мер­ном про­стран­ст­ве-вре­ме­ни, по од­но­му для ка­ж­до­го сор­та час­тиц или по­лей (клас­си­че­ских). Эле­мен­тар­ным ак­том вся­ко­го взаи­мо­дей­ст­вия ста­ло взаи­мо­дей­ст­вие не­сколь­ких по­лей в од­ной точ­ке про­ст­ран­ст­ва-вре­ме­ни или – на кор­пус­ку­ляр­ном язы­ке – ло­каль­ное и мгно­вен­ное пре­вра­ще­ние од­них час­тиц в дру­гие. Клас­си­чес­кое же взаи­мо­дей­ст­вие в ви­де сил, дей­ст­вую­щих ме­ж­ду час­ти­ца­ми, ока­зы­ва­ет­ся вто­рич­ным эф­фек­том, воз­ни­каю­щим в ре­зуль­та­те об­ме­на кван­та­ми по­ля, пе­ре­но­ся­ще­го взаи­мо­дей­ст­вие.

Свободные поля и корпускулярно-волновой дуализм

Су­ще­ст­ву­ют по­ле­вое и кор­пус­ку­ляр­ное пред­став­ле­ния КТП. При по­ле­вом под­хо­де рас­смат­ри­ва­ет­ся тео­рия со­от­вет­ст­вую­ще­го клас­сич. по­ля, ко­то­рое за­тем кван­ту­ет­ся по пред­ло­жен­но­му В. Гей­зен­бер­гом и В. Пау­ли об­раз­цу кван­то­ва­ния элек­тро­маг­нит­но­го по­ля, и далее стро­ит­ся его кор­пус­ку­ляр­ная ин­тер­пре­та­ция. Ис­ход­ным по­ня­ти­ем здесь яв­ля­ет­ся по­ле $u^a(x)$ (ин­декс $a$ ну­ме­ру­ет ком­по­нен­ты по­ля), оп­ре­де­лён­ное в ка­ж­дой про­стран­ст­вен­но-временнóй точ­ке $x=(ct,\boldsymbol x)$ и осу­ще­ст­в­ляю­щее к.-л. пред­став­ле­ние груп­пы Ло­рен­ца. Да­лее тео­рия стро­ит­ся с по­мо­щью ла­гран­же­ва фор­ма­лиз­ма: вы­би­ра­ют ло­каль­ный [т. е. за­ви­ся­щий лишь от ком­по­нент по­ля $u^a(x)$ и их пер­вых про­из­вод­ных $\partial_\mu u^a(x)=\partial u^a(x)/\partial x_\mu=u^a_\mu(x) (\mu=0,1,2,3)$ в од­ной точ­ке $x$] квад­ра­тич­ный пу­ан­каре-ин­ва­ри­ант­ный ла­гран­жи­ан $L(x)=L(u_a, \partial_\mu u^b)$ и из прин­ци­па наи­мень­ше­го дей­ст­вия $\delta S=\delta \int d^4xL(x)=0$ по­лу­ча­ют урав­не­ния дви­же­ния. Для квад­ра­тич­но­го ла­гран­жиа­на они ли­ней­ны – сво­бод­ные по­ля удов­ле­тво­ря­ют прин­ци­пу су­пер­по­зи­ции.

В си­лу тео­ре­мы Нё­тер из ин­ва­ри­ант­но­сти дей­ст­вия $S$ от­но­си­тель­но ка­ж­дой од­но­па­ра­мет­рич. груп­пы сле­ду­ет со­хра­не­ние (не­за­ви­си­мость от вре­ме­ни) од­ной, яв­но ука­зы­вае­мой тео­ре­мой, ин­те­граль­ной функ­ции от $u^a$ и $\partial_\mu u^b$. По­сколь­ку са­ма груп­па Пу­ан­ка­ре со­дер­жит 10 па­ра­мет­ров, в КТП обя­за­тель­но со­хра­ня­ют­ся 10 ве­ли­чин (ко­то­рые ино­гда на­зы­ва­ют фун­дам. ди­на­мич. ве­ли­чи­на­ми): че­ты­ре ком­по­нен­ты век­то­ра энер­гии-им­пуль­са $P_\mu$ и шесть ком­по­нент мо­мен­та им­пуль­са – три ком­по­нен­ты трёх­мер­но­го мо­мен­та им­пуль­са $M_i=(1/2)\varepsilon_{ijk}M_{jk}$ и три т. н. бус­та $N_i=c^{-1}M_{0i}$ ($i,j,k=1,2,3, \varepsilon_{ijk}$  – еди­нич­ный пол­но­стью ан­ти­сим­мет­рич­ный тен­зор; по по­вто­ряю­щим­ся ин­дек­сам под­ра­зу­ме­ва­ет­ся сум­ми­ро­ва­ние). С ма­те­ма­тич. точ­ки зре­ния $P_\mu$, $M_i$, $N_i$ – ге­не­ра­то­ры груп­пы Пу­ан­ка­ре.

Ка­но­ни­че­ское кван­то­ва­ние, со­глас­но об­щим прин­ци­пам кван­то­вой ме­ха­ни­ки, со­сто­ит в том, что обоб­щён­ные ко­ор­ди­на­ты (т. е. на­бор зна­че­ний всех ком­по­нент по­ля $u^1, \dots, u^N$ во всех точ­ках $\boldsymbol x$ про­стран­ст­ва в не­ко­то­рый мо­мент вре­ме­ни $t$) и обоб­щён­ные им­пуль­сы $\pi^b(x,t)= \partial L/\partial u^b(x,t)$ объ­яв­ля­ют опе­ра­то­ра­ми, дей­ст­вую­щи­ми на ам­пли­ту­ду со­стоя­ния (век­тор со­стоя­ния) сис­те­мы, и на­ла­га­ют на них пе­ре­ста­но­воч­ные со­от­но­ше­ния: $$[u^a(x,t), \pi^b(y,t)]_\pm=\delta^{ab}\delta(\boldsymbol x - \boldsymbol y), \quad \tag {1}$$при­чём знак плюс или ми­нус со­от­вет­ству­ет кван­то­ва­нию по Фер­ми – Ди­ра­ку или Бо­зе – Эйн­штей­ну (см. ни­же). Здесь $\delta^{ab}$ – сим­вол Кро­не­ке­ра, $\delta(\boldsymbol x - \boldsymbol y)$ – дель­та-функ­ция Ди­ра­ка.

Аль­тер­на­тив­ный ва­ри­ант кван­то­ва­ния, ко­ва­ри­ант­ное кван­то­ва­ние, со­сто­ит в ус­та­нов­ле­нии пе­ре­ста­но­воч­ных со­от­но­ше­ний на са­ми по­ле­вые опе­ра­то­ры в двух про­из­воль­ных точ­ках $x$ и $y$ в ре­ля­ти­ви­ст­ски сим­мет­рич­ной фор­ме: $$[u^a(x), u^b(y)]=\delta^{ab}D_m(x-y), \quad\tag {2}$$где $D_m$  – пе­ре­ста­но­воч­ная функ­ция Па­у­ли – Йор­да­на, удов­ле­тво­ряю­щая Клей­на – Фо­ка – Гор­до­на урав­не­нию (здесь и да­лее ис­поль­зу­ет­ся сис­те­ма еди­ниц $\hbar=c=1$$\hbar$ – по­сто­ян­ная План­ка).

При кор­пус­ку­ляр­ном под­хо­де век­то­ры со­стоя­ния сво­бод­ных час­тиц долж­ны об­ра­зо­вы­вать не­при­во­ди­мое пред­став­ле­ние груп­пы Пу­ан­ка­ре, ко­то­рое фик­си­ру­ет­ся за­да­ни­ем зна­че­ний опе­ра­то­ров Ка­зи­ми­ра (опе­ра­то­ров, ком­му­ти­рую­щих со все­ми де­ся­тью ге­не­ра­то­ра­ми груп­пы $P_\mu$ , $M_i$ и $N_i$): опе­ра­то­ра квад­ра­та мас­сы $m^2=P^\mu P_\mu$ и квад­ра­та обыч­но­го (трёх­мер­но­го) спи­на, а при ну­ле­вой мас­се – опе­ра­то­ра спи­раль­но­сти (про­ек­ции спи­на на на­прав­ле­ние дви­же­ния). Спектр $m^2$ не­пре­ры­вен, а спектр спи­на дис­кре­тен, он мо­жет иметь це­лые или по­лу­це­лые зна­че­ния: 0,1/2,1,... в еди­ни­цах маг­не­то­на Бо­ра. Кро­ме то­го, на­до за­дать по­ве­де­ние век­то­ра со­стоя­ния при от­ра­же­нии не­чёт­но­го чис­ла ко­ор­ди­нат­ных осей. Ес­ли час­ти­ца об­ла­да­ет ещё к.-л. ха­рак­те­ри­сти­ка­ми (элек­т­рич. за­ря­дом, изо­спи­ном и пр.), то это­му со­от­вет­ст­ву­ют но­вые кван­то­вые чис­ла; обо­зна­чим их бу­к­вой $\tau$.

В пред­став­ле­нии чи­сел за­пол­не­ния со­стоя­ние со­во­куп­но­сти оди­на­ко­вых час­тиц фик­си­ру­ет­ся чис­ла­ми за­пол­не­ния $n_{\boldsymbol p, s, \tau}$ всех од­но­час­тич­ных со­стоя­ний. В свою оче­редь, век­тор со­стоя­ния $|n_{\boldsymbol p,s,\tau} \gt$ за­пи­сы­ва­ют как ре­зуль­тат дей­ст­вия на ва­ку­ум­ное со­стоя­ние $|0 \gt$ (со­стоя­ние, в ко­то­ром во­все нет час­тиц) опе­ра­то­ров ро­ж­де­ния $a^+(\boldsymbol p,s,\tau)$$$|n_{\boldsymbol p,s,\tau} \gt=a^+(\boldsymbol p,s,\tau) |0 \gt. \quad\tag{3}$$Опе­ра­то­ры ро­ж­де­ния $a^+$ и эр­ми­то­во со­пря­жён­ные им опе­ра­то­ры унич­то­же­ния $a^-$ удов­ле­тво­ря­ют пе­ре­ста­но­воч­ным со­от­но­ше­ни­ям $$[a^-(\boldsymbol p,s,\tau), a^+(\boldsymbol p, s, \tau)']_\pm=\delta^{ss'}\delta^{\tau \tau '} \delta(\boldsymbol p - \boldsymbol q), \quad\tag{4}$$где зна­ки плюс и ми­нус от­ве­ча­ют со­от­вет­ст­вен­но Фер­ми – Ди­ра­ка и Бо­зе – Эйн­штей­на кван­то­ва­нию, а чис­ла за­пол­не­ния яв­ля­ют­ся соб­ст­вен­ны­ми зна­че­ния­ми опе­ра­то­ров чис­ла час­тиц $n_{\boldsymbol p,s,\tau}=a^+a^-$.

 

Что­бы учесть ло­каль­ные свой­ст­ва тео­рии, на­до пе­ре­вес­ти опе­ра­то­ры $a^\pm$ в ко­ор­ди­нат­ное пред­став­ле­ние и по­стро­ить су­пер­по­зи­цию опе­ра­то­ров ро­ж­де­ния и унич­то­же­ния. Для ней­траль­ных час­тиц это мож­но сде­лать не­по­сред­ст­вен­но, оп­ре­де­ляя ло­каль­ное ло­ренц-ко­ва­ри­ант­ное по­ле как $$u^a(x)=u^{a+}(x)+u^{a-(x)}. \quad\tag{5}$$Но для за­ря­жен­ных час­тиц та­кой под­ход не­при­ем­лем: опе­ра­то­ры $a^+_\tau$ и $a^-_\tau$ в (5) бу­дут один уве­ли­чи­вать, а дру­гой умень­шать за­ряд, и их ли­ней­ная ком­би­на­ция не бу­дет об­ла­дать в этом от­но­ше­нии оп­ре­де­лён­ны­ми свой­ст­ва­ми. По­это­му для об­ра­зо­ва­ния ло­каль­но­го по­ля при­хо­дит­ся при­вле­кать в па­ру к опе­ра­то­рам ро­ж­де­ния $a^+_\tau$ опе­ра­то­ры унич­то­же­ния $a^-_\tau$ не тех же час­тиц, а но­вых час­тиц, реа­ли­зую­щих то же пред­став­ле­ние груп­пы Пу­ан­ка­ре, т. е. об­ла­даю­щих в точ­но­сти те­ми же мас­сой и спи­ном, но от­ли­чаю­щих­ся от пер­во­на­чаль­ных зна­ком за­ря­да (зна­ка­ми всех за­ря­дов $\tau$).

Из тео­ре­мы Пау­ли сле­ду­ет, что для по­лей це­ло­чис­лен­но­го спи­на, по­ле­вые функ­ции ко­то­рых од­но­знач­но пред­став­ля­ют груп­пы Ло­рен­ца, при кван­то­ва­нии по Бо­зе – Эйн­штей­ну ком­му­та­то­ры $[u(x), u(y)]_-$ или $[v(x), v^*(y)]_-$ про­пор­цио­наль­ны функ­ции $D_m(x-y)$ и ис­че­за­ют вне све­то­во­го ко­ну­са, в то вре­мя как для осу­ще­ст­в­ляю­щих дву­знач­ные пред­став­ле­ния по­лей по­лу­це­ло­го спи­на то же дос­ти­га­ет­ся для ан­ти­ком­му­та­то­ров $[u(x), u(y)]_+$ или $[v(x), v^*(y)]_+$ при кван­то­ва­нии по Фер­ми – Ди­ра­ку. Связь ме­ж­ду удов­ле­тво­ряю­щи­ми ли­ней­ным урав­не­ни­ям функ­ция­ми по­ля $u$ или $v$, $v^*$ и опе­ра­то­ра­ми ро­ж­де­ния $a^\pm_\tau$ и унич­то­же­ния $a^\pm_\tilde{\tau}$ и сво­бод­ных час­тиц в ста­цио­нар­ных кван­то­во­ме­ха­нич. со­стоя­ни­ях есть точ­ное ма­те­ма­тич. опи­са­ние кор­пус­ку­ляр­но-вол­но­во­го дуа­лиз­ма. Но­вые, «ро­ж­дае­мые» опе­ра­то­ра­ми $a^\pm_\tilde{\tau}$ час­ти­цы, без ко­то­рых нель­зя бы­ло по­стро­ить ло­каль­ные по­ля, по от­но­ше­нию к пер­во­на­чаль­ным на­зы­ва­ют­ся ан­ти­час­ти­ца­ми. Не­из­беж­ность су­ще­ст­во­ва­ния ан­ти­час­ти­цы для ка­ж­дой за­ря­жен­ной час­ти­цы – один из гл. вы­во­дов кван­то­вой тео­рии сво­бод­ных по­лей.

Взаимодействие полей

Ре­ше­ния урав­не­ний сво­бод­но­го по­ля про­пор­цио­наль­ны опе­ра­то­рам ро­ж­де­ния и унич­то­же­ния час­тиц в ста­цио­нар­ных со­стоя­ни­ях, т. е. мо­гут опи­сы­вать лишь та­кие си­туа­ции, ко­гда с час­ти­ца­ми ни­че­го не про­ис­хо­дит. Что­бы рас­смот­реть так­же слу­чаи, ко­гда од­ни час­ти­цы влия­ют на дви­же­ние дру­гих ли­бо пре­вра­ща­ют­ся в дру­гие, нуж­но сде­лать урав­не­ния дви­же­ния не­ли­ней­ны­ми, т. е. вклю­чить в ла­гран­жи­ан, кро­ме квад­ра­тич­ных по по­лям чле­нов, ещё и чле­ны с бо­лее вы­со­ки­ми сте­пе­ня­ми. Ла­гран­жи­ан взаи­мо­дей­ст­вия $L_{\text {int}}(x)$ мо­жет быть лю­бой функ­ци­ей по­лей и их пер­вых про­из­вод­ных, удов­лет­во­ряю­щей ря­ду ус­ло­вий: 1) ло­каль­но­сти взаи­мо­дей­ст­вия, тре­бую­щей, что­бы $L_{\text {int}}(x)$ за­ви­сел от разл. по­лей $u^a(x)$ и их пер­вых про­из­вод­ных толь­ко в од­ной точ­ке про­стран­ст­ва-вре­ме­ни $x$; 2) ре­ля­ти­ви­ст­ской ин­ва­ри­ант­но­сти, для вы­пол­не­ния ко­то­рой $L_{\text {int}}(x)$ дол­жен быть ска­ля­ром от­но­си­тель­но пре­об­ра­зо­ва­ний Ло­рен­ца; 3) инвариантнoсти от­но­си­тель­но пре­об­ра­зо­ва­ний из групп внутр. сим­мет­рий, ес­ли та­ко­вые име­ют­ся у рас­смат­ри­вае­мой мо­де­ли. Для тео­рий с ком­п­лекс­ны­ми по­ля­ми су­ще­ст­ву­ет так­же тре­бо­ва­ние эр­ми­то­во­сти ла­гран­жиа­на, что обес­пе­чи­ва­ет по­ло­жи­тель­ность ве­ро­ят­но­стей всех про­цес­сов.

Кро­ме то­го, мож­но тре­бо­вать ин­ва­ри­ант­но­сти тео­рии от­но­си­тель­но не­ко­то­рых дис­крет­ных пре­об­ра­зо­ва­ний, та­ких как про­стран­ст­вен­ная ин­вер­сия $P$, об­ра­ще­ние вре­ме­ни $T$ и за­ря­до­вое со­пря­же­ние $C$ (за­ме­няю­щее час­ти­цы на ан­ти­час­ти­цы). До­ка­за­но (тео­ре­ма СРТ), что вся­кое взаи­мо­дей­ст­вие, удов­ле­тво­ряю­щее ус­ло­ви­ям 1–3, обя­за­тель­но долж­но быть ин­ва­ри­ант­ным от­но­си­тель­но од­но­вре­мен­но­го вы­пол­не­ния этих трёх дис­крет­ных пре­об­ра­зо­ва­ний.

Мно­го­об­ра­зие ла­гран­жиа­нов взаи­мо­дей­ст­вия, удов­ле­тво­ряю­щих ус­ло­ви­ям 1–3, столь же ши­ро­ко, как мно­го­об­ра­зие функ­ций Ла­гран­жа в клас­сич. ме­ха­ни­ке. Од­на­ко по­сле кван­то­ва­ния в тео­рии воз­ни­ка­ет про­бле­ма син­гу­ляр­но­стей при пе­ре­мно­же­нии опе­ра­то­ров в од­ной точ­ке, что при­во­дит к т. н. про­бле­ме ульт­ра­фио­ле­то­вых рас­хо­ди­мо­стей (см. Рас­хо­ди­мо­сти в КТП). Их уст­ра­не­ние с по­мо­щью пе­ре­нор­ми­ро­вок в кван­то­вой элек­тро­ди­на­ми­ке (КЭД) вы­де­ли­ло класс пе­ре­нор­ми­руе­мых взаи­мо­дей­ст­вий. Ус­ло­вие 4 – ус­ло­вие пе­ре­нор­ми­руе­мо­сти – ока­зы­ва­ет­ся весь­ма ог­ра­ни­чи­ваю­щим, и его до­бав­ле­ние к ус­ло­ви­ям 1–3 до­пус­ка­ет лишь взаи­мо­дей­ст­вия с $L_{\text {int}}$, имею­щим вид по­ли­но­мов не­вы­со­кой сте­пе­ни по рас­смат­ри­вае­мым по­лям, при­чём по­ля сколь­ко-ни­будь вы­со­ких спи­нов во­об­ще ис­клю­ча­ют­ся из рас­смот­ре­ния. Т. о., взаи­мо­дей­ст­вие в пе­ре­нор­ми­руе­мой КТП не до­пус­ка­ет (в от­ли­чие от клас­сич. и кван­то­вой ме­ха­ни­ки) ни­ка­ких про­из­воль­ных функ­ций: как толь­ко вы­бран кон­крет­ный на­бор по­лей, про­из­вол в $L_{\text {int}}$ ог­ра­ни­чи­ва­ет­ся фик­си­ро­ван­ным чис­лом кон­стант взаи­мо­дей­ст­вия (кон­стант свя­зи).

Пол­ную сис­те­му урав­не­ний КТП со взаи­мо­дей­ст­ви­ем (в пред­став­ле­нии Гей­зен­бер­га) со­став­ля­ют урав­не­ния дви­же­ния, по­лу­чаю­щие­ся из пол­но­го ла­гран­жиа­на, и ка­но­нич. пе­ре­ста­но­воч­ные со­от­но­ше­ния (1). Точ­ное ре­ше­ние та­кой за­да­чи уда­ёт­ся най­ти лишь в не­боль­шом чис­ле слу­ча­ев (напр., для не­ко­то­рых мо­де­лей в дву­мер­ном про­стран­ст­ве-вре­ме­ни).

 

Наи­боль­шее рас­про­стра­не­ние в КТП по­лу­чил ме­тод, ос­но­ван­ный на пе­ре­хо­де к пред­став­ле­нию взаи­мо­дей­ст­вия, в ко­то­ром по­ля $u^a(x)$ удов­ле­тво­ря­ют ли­ней­ным урав­не­ни­ям дви­же­ния для сво­бод­ных по­лей, а всё влия­ние взаи­мо­дей­ст­вия и са­мо­дей­ст­вия пе­ре­ве­де­но на вре­мен­нýю эво­лю­цию ам­пли­ту­ды со­стоя­ния Φ, ко­то­рая те­перь не по­сто­ян­на, а из­ме­ня­ет­ся в со­от­вет­ст­вии с урав­не­ни­ем ти­па урав­не­ния Шрё­дин­ге­ра: $$i\partial Ф(t)/ \partial t=H_{\text{int}}(t)Ф(t), \quad\tag{6}$$при­чём га­миль­то­ни­ан взаи­мо­дей­ст­вия $H_{\text{int}}(t)$ в этом пред­став­ле­нии за­ви­сит от вре­ме­ни че­рез по­ля $u^a(x)$, под­чи­няю­щие­ся сво­бод­ным урав­не­ни­ям и ре­ля­ти­ви­ст­ски-ко­ва­ри­ант­ным пе­ре­ста­но­воч­ным со­от­но­ше­ни­ям (2); т. о., ока­зы­ва­ет­ся не­нуж­ным яв­ное ис­поль­зо­ва­ние ка­но­нич. ком­му­та­то­ров (1) для взаи­мо­дей­ст­вую­щих по­лей. Для срав­не­ния с опы­том ре­ша­ет­ся за­да­ча о рас­сея­нии час­тиц, в по­ста­нов­ке ко­то­рой при­ни­ма­ет­ся, что асимп­то­ти­че­ски, при $t \to -\infty(+ \infty)$, сис­те­ма пре­бы­ва­ла в ста­цио­нар­ном со­стоя­нии (при­дёт в ста­цио­нар­ное со­стоя­ние) $Ф_{-\infty}(Ф_{+\infty})$, при­чём $Ф_{\pm \infty}$ та­ко­вы, что час­ти­цы в них не взаи­мо­дей­ст­ву­ют из-за боль­ших вза­им­ных рас­стоя­ний, так что всё вза­им­ное влия­ние час­тиц про­ис­хо­дит толь­ко при ко­неч­ных вре­ме­нах вбли­зи $t=0$ и пре­об­ра­зу­ет $Ф_{-\infty}$ в $Ф_{+\infty}=SФ_{-\infty}$. Опе­ра­тор $S$ на­зы­ва­ет­ся мат­ри­цей рас­сея­ния (или $S$-мат­ри­цей); че­рез квад­ра­ты его мат­рич­ных эле­мен­тов $$M_{if}=\ltФ^*_f SФ_i \gt \quad\tag{7}$$вы­ра­жа­ют­ся ве­ро­ят­но­сти пе­ре­хо­дов из дан­но­го на­чаль­но­го со­стоя­ния $Ф_i$ в не­ко­то­рое ко­неч­ное со­стоя­ние Ф_fФf, т. е. эф­фек­тив­ные се­че­ния разл. про­цес­сов. Т. о., $S$-мат­ри­ца по­зво­ля­ет на­хо­дить ве­ро­ят­но­сти фи­зич. про­цес­сов, не вни­кая в де­та­ли временнóй эво­лю­ции, опи­сы­вае­мой ам­пли­ту­дой $Ф(t)$. Тем не ме­нее $S$-мат­ри­цу обыч­но стро­ят ис­хо­дя из урав­не­ния (6), ко­то­рое до­пус­ка­ет фор­маль­ное ре­ше­ние в ком­пакт­ном ви­де $$S=T \exp \left(-i \int^\infty_{-\infty}H_{\text{int}}(t)dt \right)=T \exp \left[i \int dxL_\text{int}(x) \right] \quad\tag{8}$$с по­мо­щью опе­ра­то­ра $T$ хро­но­ло­гич. упо­ря­до­че­ния, рас­по­ла­гаю­ще­го все опе­ра­то­ры по­лей в по­ряд­ке убы­ва­ния вре­ме­ни $t=x^0$. Вы­ра­же­ние (8) есть сим­во­лич. за­пись про­це­ду­ры по­сле­до­ва­тель­но­го ин­тег­ри­ро­ва­ния урав­не­ния (6) от $-\infty$ до $+\infty$ по бес­ко­неч­но ма­лым ин­тер­ва­лам вре­ме­ни $(t, t+ \Delta t)$, а не при­год­ное для ис­поль­зо­ва­ния ре­ше­ние. Для вы­чис­ле­ния мат­рич­ных эле­мен­тов (7) не­об­хо­ди­мо пред­ста­вить мат­ри­цу рас­сея­ния в фор­ме не хро­но­ло­ги­че­ско­го, а нор­маль­но­го про­из­ве­де­ния, в ко­то­ром все опе­рато­ры ро­ж­де­ния сто­ят сле­ва от опе­ра­то­ров унич­то­же­ния. Пре­об­ра­зо­ва­ние од­но­го про­из­ве­де­ния в дру­гое и со­став­ля­ет ис­тин­ную труд­ность ре­ше­ния за­да­чи.

 

Теория возмущений

По этой при­чи­не для кон­ст­рук­тив­но­го ре­ше­ния за­да­чи при­хо­дит­ся при­бе­гать к пред­по­ло­же­нию о сла­бо­сти взаи­мо­дей­ст­вия, т. е. ма­ло­сти ла­гран­жиа­на взаи­мо­дей­ст­вия $L_{\text {int}}$. То­г­да мож­но раз­ло­жить хро­но­ло­гич. экс­по­нен­ту в вы­ра­же­нии (8) в ряд тео­рии воз­му­ще­ний, и мат­рич­ные эле­мен­ты (7) бу­дут вы­ра­жать­ся в ка­ж­дом по­ряд­ке тео­рии воз­му­ще­ний че­рез мат­рич­ные эле­мен­ты про­стых хро­но­ло­гич. про­из­ве­де­ний со­от­вет­ст­вую­ще­го чис­ла ла­гран­жиа­нов взаи­мо­дей­ст­вия. Эта за­да­ча прак­ти­че­ски вы­пол­ня­ет­ся с по­мо­щью тех­ни­ки Фейн­ма­на диа­грамм и пра­вил Фейн­ма­на. При этом ка­ж­дое по­ле $u^a(x)$ ха­рак­те­ри­зу­ет­ся сво­ей при­чин­ной функ­ци­ей Гри­на (про­па­га­то­ром, или функ­ци­ей рас­про­стра­не­ния) $D^{aa'}_c (x-y)$, изо­бра­жае­мой на диа­грам­мах ли­ни­ей, а ка­ж­дое взаи­мо­дей­ст­вие – кон­стан­той свя­зи и мат­рич­ным мно­жи­те­лем из со­от­вет­ст­вую­ще­го сла­гае­мо­го в $L_{\text {int}}$, изо­бра­жае­мы­ми на диа­грам­ме вер­ши­ной. Тех­ни­ка диа­грамм Фейн­ма­на про­ста в ис­поль­зо­ва­нии и очень на­гляд­на. Диа­грам­мы по­зво­ля­ют пред­ста­вить про­цес­сы рас­про­стра­не­ния (ли­нии) и взаи­мо­пре­вра­ще­ния (вер­ши­ны) час­тиц – ре­аль­ных в на­чаль­ных и ко­неч­ных со­стоя­ни­ях и вир­ту­аль­ных в про­ме­жу­точ­ных (на внутр. ли­ни­ях). Осо­бен­но про­стые вы­ра­же­ния по­лу­ча­ют­ся для мат­рич­ных эле­мен­тов лю­бо­го про­цес­са в низ­шем по­ряд­ке тео­рии воз­му­ще­ний, ко­то­рым со­от­вет­ст­ву­ют т. н. дре­вес­ные диа­грам­мы, не имею­щие замк­ну­тых пе­тель, – по­сле пе­ре­хо­да к им­пульс­но­му пред­став­ле­нию в них не ос­та­ёт­ся ин­тег­ри­ро­ва­ний. Для осн. про­цес­сов КЭД та­кие вы­ра­же­ния для мат­рич­ных эле­мен­тов бы­ли по­лу­че­ны на за­ре воз­ник­но­ве­ния КТП в кон. 1920-х гг. и ока­за­лись в ра­зум­ном со­гла­сии с опы­том (уро­вень со­от­вет­ст­вия 10–2–10–3, т. е. по­ряд­ка по­сто­ян­ной тон­кой струк­ту­ры $a$). Од­на­ко по­пыт­ки вы­чис­ле­ния ра­ди­ац. по­пра­вок (свя­зан­ных с учё­том выс­ших при­бли­же­ний) к этим вы­ра­же­ни­ям на­тал­ки­ва­лись на спе­ци­фич. труд­но­сти. Та­ким по­прав­кам от­ве­ча­ют диа­грам­мы с замк­ну­ты­ми пет­ля­ми из ли­ний вир­ту­аль­ных час­тиц, им­пуль­сы ко­то­рых не фик­си­ро­ва­ны за­ко­на­ми со­хра­не­ния, и пол­ная по­прав­ка рав­на сум­ме вкла­дов от всех воз­мож­ных им­пуль­сов. Ока­за­лось, что в боль­шин­ст­ве слу­ча­ев воз­ни­каю­щие при сум­ми­ро­ва­нии этих вкла­дов ин­те­гра­лы по им­пуль­сам вир­ту­аль­ных час­тиц рас­хо­дят­ся в УФ-об­лас­ти, т. е. са­ми по­прав­ки ока­зы­ва­ют­ся не толь­ко не ма­лы­ми, но бес­ко­неч­ны­ми. Со­глас­но со­от­но­ше­нию не­оп­ре­де­лён­но­стей, боль­шим им­пуль­сам от­ве­ча­ют ма­лые рас­стоя­ния. По­это­му мож­но по­ла­гать, что фи­зич. ис­то­ки рас­хо­ди­мо­стей ле­жат в пред­став­ле­нии о ло­каль­но­сти взаи­мо­дей­ст­вия.

Расходимости и перенормировки

Ма­те­ма­ти­че­ски по­яв­ле­ние рас­хо­ди­мо­стей свя­за­но с тем, что про­па­га­то­ры $D_c(x)$ яв­ля­ют­ся син­гу­ляр­ны­ми (точ­нее, обоб­щён­ны­ми) функ­ция­ми, об­ла­даю­щи­ми в ок­ре­ст­но­сти све­то­во­го ко­ну­са при $x^2 \approx 0$ осо­бен­но­стя­ми ти­па по­лю­сов и дель­та-функ­ций по $x^2$. По­это­му их про­из­ве­де­ния, воз­ни­каю­щие в мат­рич­ных эле­мен­тах, ко­то­рым на диа­грам­мах от­ве­ча­ют замк­ну­тые пет­ли, пло­хо оп­ре­де­ле­ны с ма­те­ма­тич. точ­ки зре­ния. Им­пульс­ные фу­рье-об­ра­зы та­ких про­из­ве­де­ний мо­гут не су­ще­ст­во­вать, а фор­маль­но вы­ра­жать­ся че­рез рас­хо­дя­щие­ся им­пульс­ные ин­те­гра­лы.

Про­бле­ма УФ-рас­хо­ди­мо­стей бы­ла прак­ти­че­ски ре­ше­на (т. е. по­лу­че­ны ко­неч­ные вы­ра­же­ния для боль­шин­ст­ва важ­ных фи­зических ве­ли­чин) во 2-й пол. 1940-х гг. на ос­но­ве идеи о пе­ре­нор­ми­ров­ках (ре­нор­ми­ров­ках). Суть по­след­ней со­сто­ит в том, что бес­ко­неч­ные эф­фек­ты кван­то­вых флук­туа­ций, от­ве­чаю­щих замк­ну­тым пет­лям диа­грамм, мо­гут быть вы­де­ле­ны в мно­жи­те­ли, имею­щие ха­рак­тер по­пра­вок к ис­ход­ным ха­рак­те­ри­сти­кам сис­те­мы. В ито­ге мас­сы и кон­стан­ты свя­зи $g$ ме­ня­ют­ся за счёт взаи­мо­дей­ст­вия, т. е. пе­ре­нор­ми­ру­ют­ся. При этом из-за УФ-рас­хо­ди­мо­стей ре­нор­мирую­щие до­бав­ки ока­зы­ва­ют­ся бес­ко­нечно боль­ши­ми. Со­от­но­ше­ния пе­ре­нор­миро­вок, свя­зы­ваю­щие ис­ход­ные, т. н. за­тра­воч­ные, мас­сы $m_0$ и за­тра­воч­ные за­ря­ды (кон­стан­ты свя­зи) $g_0$ с фи­зи­че­ски­ми $m$, $g$$$m_0=m+ \Delta m=mZ_m(\dots),\\ g_0=g+ \Delta g=gZ_g(\dots) \quad\tag{9}$$(где $Z_m$$Z_g$ – мно­жи­те­ли пе­ре­нор­ми­ров­ки), ока­зы­ва­ют­ся син­гу­ляр­ны­ми. Что­бы из­бе­жать син­гу­ляр­но­сти, вво­дят вспо­мо­га­тель­ную ре­гу­ля­ри­за­цию рас­хо­ди­мо­стей. В ар­гу­мен­тах [обо­зна­чен­ных в пра­вых час­тях (9) мно­го­то­чия­ми] ра­ди­аци­он­ных по­пра­вок $\Delta m$$\Delta g$ и пе­ре­нор­ми­ро­воч­ных мно­жи­те­лей $Z_i$, на­ря­ду с $m_0$ и $g_0$, со­дер­жат­ся син­гу­ляр­ные за­ви­си­мо­сти от па­ра­мет­ров вспо­мо­га­тель­ной ре­гу­ля­ри­за­ции. Рас­хо­ди­мо­сти уст­ра­ня­ют, отож­де­ст­в­ляя пе­ре­нор­ми­ро­ван­ные мас­сы и за­ря­ды (кон­стан­ты свя­зи) с их фи­зич. зна­че­ния­ми.

Класс мо­де­лей КТП, для ко­то­рых все без ис­клю­че­ния УФ-рас­хо­ди­мо­сти уда­ёт­ся «уб­рать» в мно­жи­те­ли пе­ре­нор­ми­ров­ки масс и кон­стант свя­зи, на­зы­ва­ют клас­сом пе­ре­нор­ми­руе­мых тео­рий. В этих тео­ри­ях все мат­рич­ные эле­мен­ты и функ­ции Гри­на в ре­зуль­та­те ока­зы­ва­ют­ся вы­ра­жен­ны­ми не­син­гу­ляр­ным об­ра­зом че­рез фи­зич. мас­сы, за­ря­ды и ки­не­ма­тич. пе­ре­мен­ные. Ма­те­ма­тич. ос­но­ву это­го ут­вер­жде­ния пред­став­ля­ет тео­ре­ма Бо­го­лю­бо­ва – Па­ра­сю­ка о пе­ре­нор­ми­руе­мо­сти, на ос­но­ве ко­то­рой дос­та­точ­но про­сто по­лу­ча­ют­ся ко­неч­ные од­но­знач­ные вы­ра­же­ния для мат­рич­ных эле­мен­тов.

В не­пе­ре­нор­ми­руе­мых мо­де­лях не уда­ёт­ся «со­брать» все рас­хо­ди­мо­сти в пе­ре­нор­ми­ров­ки масс и за­ря­дов. В по­доб­ных тео­ри­ях в ка­ж­дом но­вом по­ряд­ке тео­рии воз­му­ще­ний воз­ни­ка­ют но­вые рас­хо­дя­щие­ся струк­ту­ры, т. е. они со­дер­жат бес­ко­неч­ное чис­ло па­ра­мет­ров. К та­ко­му клас­су тео­рий от­но­сит­ся, напр., кван­то­вая тео­рия гра­ви­та­ции.

Пе­ре­нор­ми­руе­мые мо­де­ли КТП ха­рак­те­ри­зу­ют­ся, как пра­ви­ло, без­раз­мер­ны­ми кон­стан­та­ми свя­зи, ло­га­риф­ми­че­ски рас­хо­дя­щи­ми­ся вкла­да­ми в пе­ре­нор­ми­ров­ку кон­стант свя­зи и масс фер­мио­нов и квад­ра­тич­но рас­хо­дя­щи­ми­ся ра­ди­ац. по­прав­ка­ми к мас­сам ска­ляр­ных час­тиц (ес­ли они есть). Для по­доб­ных мо­де­лей в ре­зуль­та­те пе­ре­нор­ми­ров­ки по­лу­ча­ют пе­ре­нор­ми­ро­ван­ную тео­рию воз­му­ще­ний, ко­то­рая и слу­жит ос­но­вой прак­тич. рас­чё­тов.

Пре­об­ра­зо­ва­ния (9), свя­зы­ваю­щие за­тра­воч­ные и пе­ре­нор­ми­руе­мые кон­стан­ты взаи­мо­дей­ст­вия, име­ют груп­по­вой ха­рак­тер и об­ра­зу­ют не­пре­рыв­ную груп­пу, на­зы­вае­мую ре­нор­ма­ли­за­ци­он­ной груп­пой (ре­норм­груп­пой). При из­ме­не­нии мас­шта­ба фун­ции Гри­на ум­но­жа­ют­ся на мно­жи­те­ли, ко­то­рые не­ли­ней­ным об­разом за­ви­сят от кон­стант взаи­мо­дей­ст­вия и вы­чис­ля­ют­ся по тео­рии воз­му­ще­ний, а са­ми кон­стан­ты взаи­мо­дей­ст­вия ме­ня­ют­ся со­глас­но (9). Ре­шая со­от­вет­ст­вую­щие та­ко­му мас­штаб­но­му пре­об­ра­зо­ва­нию диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния ре­норм­груп­пы, мож­но по­лу­чить замк­ну­тые ре­ше­ния как функ­ции от эф­фек­тив­ных кон­стант взаи­мо­дей­ст­вия, за­ви­ся­щих от мас­шта­ба, ко­то­рые со­от­вет­ству­ют сум­ми­ро­ва­нию бес­ко­неч­но­го ря­да тео­рии воз­му­ще­ний. Это по­зво­ля­ет, в ча­ст­но­сти, най­ти вы­со­ко­энер­ге­ти­че­ские и низ­ко­энер­ге­ти­че­ские асим­пто­ти­ки функ­ций Гри­на.

Функциональный интеграл

В КТП важ­ную роль иг­ра­ют пол­ные функ­ции Гри­на, вклю­чаю­щие в се­бя эф­фек­ты взаи­мо­дей­ст­вия. Они мо­гут быть пред­став­ле­ны бес­ко­неч­ны­ми сум­ма­ми чле­нов, от­ве­чаю­щих всё бо­лее ус­лож­няю­щим­ся диа­грам­мам Фейн­ма­на с фик­си­ро­ван­ным чис­лом и ти­пом внеш­них ли­ний. Для по­доб­ных ве­ли­чин мож­но дать фор­маль­ные оп­ре­де­ле­ния ли­бо че­рез ва­ку­ум­ные сред­ние хро­но­ло­гич. про­из­ве­де­ний по­ле­вых опе­ра­то­ров в пред­став­ле­нии взаи­мо­дей­ст­вия и $S$-мат­ри­цы (что эк­ви­ва­лент­но ва­ку­ум­ным сред­ним от $T$-про­из­ве­де­ний пол­ных, т. е. гей­зен­бер­го­вых, опе­ра­то­ров), ли­бо че­рез функ­цио­наль­ные про­из­вод­ные от про­из­во­дя­ще­го функ­цио­на­ла, пред­став­лен­но­го в ви­де функ­цио­наль­но­го ин­те­гра­ла, за­ви­ся­ще­го от вспо­мо­га­тель­ных клас­сич. ис­точ­ни­ков $J_a(x)$ по­лей $u^a(x)$. Фор­ма­лизм про­из­во­дя­щих функ­цио­на­лов в КТП яв­ля­ет­ся ана­ло­гом со­от­вет­ст­вую­ще­го фор­ма­лиз­ма ста­ти­стич. фи­зи­ки. Он по­зво­ля­ет для пол­ных функ­ций Гри­на и вер­шин­ных функ­ций по­лу­чить урав­не­ния в функ­цио­наль­ных про­из­вод­ных, из ко­то­рых, в свою оче­редь, мож­но по­лу­чить бес­ко­неч­ную це­поч­ку ин­тег­ро-диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, по­доб­ных це­поч­ке урав­не­ний для кор­ре­ля­ци­он­ной функ­ции ста­ти­стич. фи­зи­ки.

Функ­цио­наль­но­го ин­те­гра­ла ме­тод, по­лу­чив­ший зна­чит. раз­ви­тие с 1970-хгг., осо­бен­но в тео­рии не­абе­ле­вых ка­либ­ро­воч­ных по­лей, яв­ля­ет­ся обоб­ще­ни­ем на КТП кван­то­во­ме­ха­нич. ме­то­да ин­те­гра­лов по тра­ек­то­ри­ям. В КТП та­кие ин­те­г­ра­лы мож­но рас­смат­ри­вать как фор­му­лы ус­ред­не­ния со­от­вет­ст­вую­щих клас­сич. вы­ра­же­ний (напр., клас­сич. функ­ции Гри­на для час­ти­цы, дви­жу­щей­ся в за­дан­ном внеш­нем по­ле) по кван­то­вым флук­туа­ци­ям по­лей.

Пер­во­на­чаль­но идея пе­ре­не­се­ния ме­то­да функ­цио­наль­но­го ин­те­гра­ла в КТП бы­ла свя­за­на с на­де­ж­дой по­лу­чить ком­пакт­ные замк­ну­тые вы­ра­же­ния для осн. кван­то­во­по­ле­вых ве­ли­чин, при­год­ные для кон­ст­рук­тив­ных вы­чис­ле­ний. Од­на­ко вы­яс­ни­лось, что из-за труд­но­стей ма­те­ма­тич. ха­рак­те­ра стро­гое оп­ре­де­ле­ние мож­но дать лишь ин­те­гра­лам га­ус­со­ва ти­па, ко­то­рые толь­ко и под­да­ют­ся точ­но­му вы­чис­ле­нию. По­это­му пред­став­ле­ние функ­цио­наль­но­го ин­те­гра­ла дол­гое вре­мя рас­смат­ри­ва­ли как ком­пакт­ную фор­маль­ную за­пись кван­то­во­по­ле­вой тео­рии воз­му­ще­ний. Позд­нее ко­неч­но­крат­ное пред­став­ле­ние функ­цио­наль­но­го ин­те­гра­ла в евк­ли­до­вом про­стран­ст­ве ста­ли ис­поль­зо­вать для про­ве­де­ния ком­пь­ю­тер­ных рас­чё­тов на про­стран­ст­вен­ной ре­шёт­ке (см. Ре­шё­точ­ные тео­рии по­ля), что по­зво­ля­ет по­лу­чить ре­зуль­та­ты, не опи­раю­щие­ся на тео­рию воз­му­ще­ний. Пред­став­ле­ние функ­цио­наль­но­го ин­те­гра­ла сыг­ра­ло так­же важ­ную роль в ра­бо­тах по кван­то­ва­нию Ян­га – Милл­са по­лей и до­ка­за­тель­ст­ву их пе­ре­нор­ми­руе­мо­сти.

Лит.: Ахие­зер А. И., Бе­ре­стец­кий В. Б. Кван­то­вая элек­тро­ди­на­ми­ка. 4-е изд. М., 1981; Вай­скопф В. Ф. Как мы взрос­ле­ли вме­сте с тео­ри­ей по­ля // Ус­пе­хи фи­зи­че­ских на­ук. 1982. Т. 138. № 11; Бо­го­лю­бов Н. Н., Шир­ков Д. В. Вве­де­ние в тео­рию кван­то­ван­ных по­лей. 4-е изд. М., 1984; они же. Кван­то­вые по­ля. 2-е изд. М., 1993; Ицик­сон К., Зюбер Ж.-Б. Кван­то­вая тео­рия по­ля. М., 1984. Т. 1–2; Бере­стец­кий В. Б., Лиф­шиц ЕМ., Пи­та­евский Л. П. Кван­то­вая элек­тро­ди­на­ми­ка. 4-е изд. М., 2002; Об­щие прин­ци­пы кван­то­вой тео­рии по­ля. М., 2006.

Вернуться к началу