КВА́НТОВАЯ МЕХА́НИКА

КВА́НТОВАЯ МЕХА́НИКА, раз­дел тео­ре­тич. фи­зи­ки, пред­став­ляю­щий со­бой сис­те­му по­ня­тий и ма­те­ма­тич. ап­па­рат, не­об­хо­ди­мые для опи­са­ния фи­зич. яв­ле­ний, обу­слов­лен­ных су­ще­ст­во­ва­ни­ем в при­ро­де наи­мень­ше­го кван­та дей­ст­вия $h$ (План­ка по­сто­ян­ной). Чис­лен­ное зна­че­ние $h=$6,62607·10^–34 Дж·с (и дру­гое, час­то ис­поль­зуе­мое зна­че­ние $\hbar=h/2\pi=$1,05457·10 –34 Дж·с) чрез­вы­чай­но ма­ло, но тот факт, что оно ко­неч­но, прин­ци­пи­аль­но от­ли­ча­ет кван­то­вые яв­ле­ния от всех дру­гих и оп­ре­де­ля­ет их осн. осо­бен­но­сти. К кван­то­вым яв­ле­ни­ям от­но­сят­ся про­цес­сы из­лу­че­ния, яв­ле­ния атом­ной и ядер­ной фи­зи­ки, фи­зи­ки кон­ден­си­ров. сред, хи­мич. связь и др.

История создания квантовой механики

Ис­то­ри­че­ски пер­вым яв­ле­ни­ем, для объ­яс­не­ния ко­то­ро­го в 1900 бы­ло вве­де­но по­ня­тие кван­та дей­ст­вия $h$, был спектр из­лу­че­ния аб­со­лют­но чёр­но­го те­ла, т. е. за­ви­си­мость ин­тен­сив­но­сти те­п­ло­во­го из­лу­че­ния от его час­то­ты $\nu$ и темп-ры $T$ на­гре­то­го те­ла. Пер­во­на­чаль­но связь это­го яв­ле­ния с про­цес­са­ми, про­ис­хо­дя­щи­ми в ато­ме, не бы­ла яс­на; в то вре­мя не бы­ла об­ще­при­знан­ной и са­ма идея ато­ма, хо­тя уже то­гда бы­ли из­вест­ны на­блю­де­ния, ко­то­рые ука­зы­ва­ли на слож­ную внут­ри­атом­ную струк­ту­ру.

В 1802 У. Вол­ла­стон об­на­ру­жил в спек­тре из­лу­че­ния Солн­ца уз­кие спек­траль­ные ли­нии, ко­то­рые в 1814 под­роб­но опи­сал Й. Фра­ун­го­фер. В 1859 Г. Кирх­гоф и Р. Бун­зен ус­та­но­ви­ли, что ка­ж­до­му хи­мич. эле­мен­ту при­сущ ин­ди­ви­ду­аль­ный на­бор спек­траль­ных ли­ний, а швейц. учё­ный И. Я. Баль­мер (1885), швед. фи­зик Й. Рид­берг (1890) и нем. учё­ный В. Ритц (1908) об­на­ру­жи­ли в их рас­по­ло­же­нии оп­ре­де­лён­ные за­ко­но­мер­но­сти. В 1896 П. Зее­ман на­блю­дал рас­ще­п­ле­ние спек­траль­ных ли­ний в маг­нит­ном по­ле (эф­фект Зее­ма­на), ко­то­рое Х. А. Ло­ренц в сле­дую­щем го­ду объ­яс­нил дви­же­ни­ем элек­тро­на в ато­ме. Су­ще­ст­во­ва­ние элек­тро­на экс­пе­ри­мен­таль­но до­ка­зал в 1897 Дж. Дж. Том­сон.

Су­ще­ст­вую­щие фи­зич. тео­рии ока­за­лись не­до­ста­точ­ны­ми для объ­яс­не­ния за­ко­нов фо­то­эф­фек­та: ока­за­лось, что энер­гия элек­тро­нов, вы­ле­таю­щих из ве­ще­ст­ва при об­лу­че­нии его све­том, за­ви­сит толь­ко от час­то­ты све­та $v$, а не от его ин­тен­сив­но­сти (А. Г. Сто­ле­тов, 1889; Ф. фон Ле­нард, 1904). Этот факт пол­но­стью про­ти­во­ре­чил об­ще­при­ня­той в то вре­мя вол­но­вой при­ро­де све­та, но ес­те­ст­вен­но объ­яс­нял­ся в пред­по­ло­же­нии, что свет рас­про­стра­ня­ет­ся в ви­де кван­тов энер­гии $E=h \nu$(А. Эйн­штейн, 1905), на­зван­ных впо­след­ст­вии фо­то­на­ми (Г. Льюис, 1926).

В те­че­ние 10 лет по­сле от­кры­тия элек­тро­на бы­ло пред­ло­же­но неск. мо­де­лей ато­ма, не под­кре­п­лён­ных, од­на­ко, экс­пе­ри­мен­та­ми. В 1909–11 Э. Ре­зер­форд, изу­чая рас­сея­ние $\alpha$-час­тиц на ато­мах, ус­та­но­вил су­ще­ст­во­ва­ние ком­пакт­но­го по­ло­жи­тель­но за­ря­жен­но­го яд­ра, в ко­то­ром со­сре­до­то­че­на прак­ти­че­ски вся мас­са ато­ма. Эти экс­пе­ри­мен­ты ста­ли ос­но­вой пла­не­тар­ной мо­де­ли ато­ма: по­ло­жи­тель­но за­ря­жен­ное яд­ро, во­круг ко­то­ро­го вра­ща­ют­ся от­ри­ца­тель­но за­ря­жен­ные элек­тро­ны. Та­кая мо­дель, од­на­ко, про­ти­во­ре­чи­ла фак­ту ста­биль­но­сти ато­ма, по­сколь­ку из клас­сич. элек­тро­ди­на­ми­ки сле­до­ва­ло, что че­рез вре­мя по­ряд­ка 10^–9 с вра­щаю­щий­ся элек­трон упа­дёт на яд­ро, по­те­ряв энер­гию на из­лу­че­ние.

В 1913 Н. Бор пред­по­ло­жил, что ста­биль­ность пла­не­тар­но­го ато­ма объ­яс­ня­ет­ся ко­неч­но­стью кван­та дей­ст­вия $h$. Он по­сту­ли­ро­вал, что в ато­ме су­ще­ст­ву­ют ста­цио­нар­ные ор­би­ты, на ко­то­рых элек­т­рон не из­лу­ча­ет (пер­вый по­сту­лат Бо­ра), и вы­де­лил эти ор­би­ты из всех воз­мож­ных ус­ло­ви­ем кван­то­ва­ния: $2 \pi mvr=n h$, где $m$ – мас­са элек­тро­на, $v$ – его ор­биталь­ная ско­рость, $r$ – рас­стоя­ние до яд­ра, $n=1,2,3,\dots$ – це­лые чис­ла. Из это­го ус­ло­вия Бор оп­ре­де­лил энер­гии $E_n=-me^4/2 \hbar^2n^2$ ($e$ – элект­рич. за­ряд эле­кт­ро­на) ста­цио­нар­ных со­стоя­ний, а так­же диа­метр ато­ма во­до­ро­да (по­ряд­ка 10^–8 cм) – в пол­ном со­от­вет­ст­вии с вы­во­да­ми ки­не­тич. тео­рии ма­те­рии.

Вто­рой по­сту­лат Бо­ра ут­вер­ждал, что из­лу­че­ние про­ис­хо­дит толь­ко при пе­ре­хо­дах элек­тро­нов с од­ной ста­цио­нар­ной ор­би­ты на дру­гую, при­чём час­то­та из­лу­че­ния $\nu_{nk}$ пе­ре­хо­дов из со­стоя­ния $E_n$ в со­стоя­ние $E_k$ рав­на $\nu_{nk}=(E_k-E_n)/h$ (см. Атом­ная фи­зи­ка). Тео­рия Бо­ра ес­те­ст­вен­ным об­ра­зом объ­яс­ня­ла за­ко­но­мер­но­сти в спек­трах ато­мов, од­на­ко её по­сту­ла­ты на­хо­ди­лись в оче­вид­ном про­ти­во­ре­чии с клас­сич. ме­ха­ни­кой и тео­ри­ей элек­тро­маг­нит­но­го по­ля.

В 1922 А. Комп­тон, изу­чая рас­сея­ние рент­ге­нов­ских лу­чей на элек­тро­нах, ус­та­но­вил, что па­даю­щий и рас­се­ян­ный рент­ге­нов­ские кван­ты энер­гии ве­дут се­бя как час­ти­цы. В 1923 Ч. Т. Р. Виль­сон и Д. В. Ско­бель­цын на­блю­да­ли элек­трон от­да­чи в этой ре­ак­ции и тем са­мым под­твер­ди­ли кор­пус­ку­ляр­ную при­ро­ду рент­ге­нов­ских лу­чей (ядер­но­го $\gamma$-из­лу­че­ния). Это, од­на­ко, про­ти­во­ре­чи­ло опы­там М. Ла­уэ, ко­то­рый ещё в 1912 на­блю­дал ди­фрак­цию рент­ге­нов­ских лу­чей и тем са­мым до­ка­зал их вол­но­вую при­ро­ду.

В 1921 нем. фи­зик К. Рам­зау­эр об­на­ру­жил, что при оп­ре­де­лён­ной энер­гии элек­тро­ны про­хо­дят сквозь га­зы, прак­ти­че­ски не рас­сеи­ва­ясь, по­доб­но све­то­вым вол­нам в про­зрач­ной сре­де. Это бы­ло пер­вое экс­пе­рим. сви­де­тель­ст­во о вол­но­вых свой­ст­вах элек­тро­на, ре­аль­ность ко­то­рых в 1927 бы­ла под­твер­жде­на пря­мы­ми опы­та­ми К. Дж. Дэ­вис­со­на, Л. Джер­ме­ра и Дж. П. Том­со­на.

В 1923 Л. де Бройль ввёл по­ня­тие о вол­нах ма­те­рии: ка­ж­дой час­ти­це с мас­сой $m$ и ско­ро­стью $v$ мож­но со­пос­та­вить вол­ну с дли­ной $\lambda=h/mv$, точ­но так же как ка­ж­дой вол­не с час­то­той $\nu=c/\lambda$ мож­но со­пос­та­вить час­ти­цу с энер­ги­ей $E=h \nu$. Обоб­ще­ние этой ги­по­те­зы, из­вест­ное как кор­пус­ку­ляр­но-вол­но­вой дуа­лизм, ста­ло фун­да­мен­том и уни­вер­саль­ным прин­ци­пом кван­то­вой фи­зи­ки. Суть его со­сто­ит в том, что од­ни и те же объ­ек­ты ис­сле­до­ва­ния про­яв­ля­ют се­бя двоя­ко: ли­бо как час­ти­ца, ли­бо как вол­на – в за­ви­си­мо­сти от ус­ло­вий их на­блю­де­ния.

Рис. 1. Интерференция рентгеновского излучения (а) и электронов (б). (На рис. б приведена оригинальная фотография, полученная Дж. П. Томсоном.)

Со­от­но­ше­ния ме­ж­ду ха­рак­те­ри­сти­ка­ми вол­ны и час­ти­цы бы­ли ус­та­нов­ле­ны ещё до соз­да­ния К. м.: $E=h \nu$ (1900) и $\lambda=h/mv=h/p$ (1923), где час­то­та $\nu$ и дли­на вол­ны $\lambda$ – ха­рак­те­ри­сти­ки вол­ны, а энер­гия $E$ и мас­са $m$, ско­рость $v$ и им­пульс $p=mv$ – ха­рак­те­ри­сти­ки час­ти­цы; связь ме­ж­ду эти­ми дву­мя ти­па­ми ха­рак­те­ри­стик осу­ще­ст­в­ля­ет­ся че­рез по­сто­ян­ную План­ка $h$. Наи­бо­лее от­чёт­ли­во со­от­но­ше­ния ду­аль­но­сти вы­ра­жа­ют­ся че­рез кру­го­вую час­то­ту $\omega=2 \pi \nu$ и вол­но­вой век­тор $\boldsymbol k=2\pi/\lambda$: $$E=\hbar \omega, \boldsymbol p =\hbar \boldsymbol k.$$На­гляд­ная ил­лю­ст­ра­ция дуа­лиз­ма вол­на-час­ти­ца пред­став­ле­на на рис. 1: ди­фрак­ци­он­ные коль­ца, на­блю­дае­мые при рас­сея­нии элек­тро­нов и рент­ге­нов­ских лу­чей, прак­ти­че­ски иден­тич­ны.

К. м. – тео­ре­тич. ба­зис всей кван­то­вой фи­зи­ки – бы­ла соз­да­на за не­пол­ных три го­да. В 1925 В. Гей­зен­берг, опи­ра­ясь на идеи Бо­ра, пред­ло­жил мат­рич­ную ме­ха­ни­ку, ко­то­рая к кон­цу то­го же го­да при­об­ре­ла вид за­кон­чен­ной тео­рии в тру­дах М. Бор­на, нем. фи­зи­ка П. Йор­да­на и П. Ди­ра­ка. Осн. объ­ек­та­ми этой тео­рии ста­ли мат­ри­цы спец. ви­да, ко­то­рые в К. м. пред­став­ля­ют фи­зич. ве­ли­чи­ны клас­сич. ме­ха­ни­ки.

В 1926 Э. Шрё­дин­гер, ис­хо­дя из пред­став­ле­ний Л. де Брой­ля о вол­нах ма­те­рии, пред­ло­жил вол­но­вую ме­ха­ни­ку, где осн. роль иг­ра­ет вол­но­вая функ­ция кван­то­во­го со­стоя­ния, ко­то­рая под­чи­ня­ет­ся диф­фе­рен­ци­аль­но­му урав­не­нию 2-го по­ряд­ка с за­дан­ны­ми гра­нич­ны­ми ус­ло­вия­ми. Обе тео­рии оди­на­ко­во хо­ро­шо объ­яс­ня­ли ус­той­чи­вость пла­не­тар­но­го ато­ма и по­зво­ля­ли вы­чис­лить его осн. ха­рак­те­ри­сти­ки. В том же го­ду М. Борн пред­ло­жил ста­ти­стич. ин­тер­пре­та­цию вол­но­вой функ­ции, Шрё­дин­гер (а так­же не­за­ви­си­мо В. Пау­ли и др.) до­ка­зал ма­те­ма­тич. эк­ви­ва­лент­ность мат­рич­ной и вол­но­вой ме­ха­ник, а Борн совм. с Н. Ви­не­ром ввёл по­ня­тие опе­ра­то­ра фи­зич. ве­ли­чи­ны.

В 1927 В. Гей­зен­берг от­крыл со­от­но­ше­ние не­оп­ре­де­лён­но­стей, а Н. Бор сфор­му­ли­ро­вал прин­цип до­пол­ни­тель­но­сти. От­кры­тие спи­на элек­тро­на (Дж. Улен­бек и С. Га­уд­смит, 1925) и вы­вод урав­не­ния Пау­ли, учи­ты­ваю­ще­го спин элек­тро­на (1927), за­вер­ши­ли ло­ги­че­скую и рас­чёт­ную схе­мы не­ре­ля­ти­ви­ст­ской К. м., а П. Ди­рак и Дж. фон Ней­ман из­ло­жи­ли К. м. как за­кон­чен­ную кон­цеп­ту­аль­но не­за­ви­си­мую тео­рию на ба­зе ог­ра­ни­чен­но­го на­бо­ра по­ня­тий и по­сту­ла­тов, та­ких как опе­ра­тор, век­тор со­стоя­ния, ам­пли­ту­да ве­ро­ят­но­сти, су­пер­по­зи­ция со­стоя­ний и др.

Основные понятия и формализм квантовой механики

Осн. урав­не­ни­ем К. м. яв­ля­ет­ся вол­но­вое урав­не­ние Шрё­дин­ге­ра, роль ко­то­ро­го по­доб­на роли урав­не­ний Нью­то­на в клас­сич. ме­ха­ни­ке и урав­не­ни­ям Мак­свел­ла в элек­тро­ди­на­ми­ке. В про­стран­ст­ве пе­ре­мен­ных $x$ (ко­ор­ди­на­та) и $t$ (вре­мя) оно име­ет вид $$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=\hat{H} \psi,$$где $\hat H$  – опе­ра­тор Га­миль­то­на; его вид сов­па­да­ет с опе­ра­то­ром Га­миль­то­на клас­сич. ме­ха­ни­ки, в ко­то­ром ко­ор­ди­на­та $x$ и им­пульс $p$ за­ме­не­ны на опе­ра­то­ры $\hat x$ и $\hat p$ этих пе­ре­мен­ных, т. е. $$\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+V(x), \hat x=x, \hat p=-i \hbar \frac{\partial}{\partial x},$$где $V(x)$ – по­тен­ци­аль­ная энер­гия сис­те­мы.

В от­ли­чие от урав­не­ния Нью­то­на, из ко­то­ро­го на­хо­дит­ся на­блю­дае­мая тра­ек­то­рия $x(t)$ ма­те­ри­аль­ной точ­ки, дви­жу­щей­ся в по­ле сил по­тен­циа­ла $V(\boldsymbol x)$, из урав­не­ния Шрё­дин­ге­ра на­хо­дят не­на­б­лю­дае­мую вол­но­вую функ­цию $\psi(\boldsymbol x)$ кван­то­вой сис­те­мы, с по­мо­щью ко­то­рой, од­на­ко, мож­но вы­чис­лить зна­че­ния всех из­ме­ри­мых ве­ли­чин. Сра­зу же по­сле от­кры­тия урав­не­ния Шрё­дин­ге­ра М. Борн объ­яс­нил смысл вол­но­вой фу­нк­ции: $|\psi(x)|^2$ – это плот­ность ве­ро­ят­но­сти, а $|\psi(x)^2|\cdot \Delta x$ – ве­ро­ят­ность об­на­ру­жить кван­то­вую сис­те­му в ин­тер­ва­ле $\Delta x$ зна­че­ний ко­ор­ди­на­ты $x$.

Ка­ж­дой фи­зич. ве­ли­чи­не (ди­на­мич. пе­ре­мен­ной клас­сич. ме­ха­ни­ки) в К. м. со­пос­тав­ля­ет­ся на­блю­дае­мая $a$ и со­от­вет­ст­вую­щий ей эр­ми­тов опе­ра­тор $\hat A$, ко­то­рый в вы­бран­ном ба­зи­се ком­плекс­ных функ­ций $|i\rangle=f_i(x)$ пред­став­ля­ет­ся мат­ри­цей $$A_{ij}=\langle i|\hat A|j\rangle=\int f_i^*(x)\hat Afj(x)dx,$$ где $f^*(x)$ – функ­ция, ком­плекс­но со­пря­жён­ная к функ­ции $f(x)$.

Ор­то­го­наль­ным ба­зи­сом в этом про­стран­ст­ве яв­ля­ет­ся на­бор собств. функ­ций $|n\rangle=|f_n(x)\rangle$, $n=1,2,3,\dots$, для ко­торых дей­ст­вие опе­ра­то­ра $\hat A$ сво­дит­ся к ум­но­же­нию на чис­ло (собств. зна­че­ние $a_n$ опе­ра­то­ра $\hat A$): $$\hat A|n\rangle=a_n| n\rangle.$$Ба­зис функ­ций $|n\rangle$ нор­ми­ро­ван ус­ло­ви­ем $$\langle n|n'\rangle=\delta_{nn'} = \begin{cases} 1 & \quad \text{при } n=n'\\ 0 & \quad \text{при } n \neq n'\\ \end{cases}, $$а чис­ло ба­зис­ных функ­ций (в от­ли­чие от ба­зис­ных век­то­ров трёх­мер­но­го про­стран­ст­ва клас­сич. фи­зи­ки) бес­ко­неч­но, при­чём ин­декс $n$ мо­жет из­ме­нять­ся как дис­крет­но, так и не­пре­рыв­но. Все воз­мож­ные зна­че­ния на­блю­дае­мой $a$ со­дер­жат­ся в на­бо­ре $\{a_n\}$ собств. зна­че­ний со­от­вет­ст­вую­ще­го ей опе­ра­то­ра $\hat A$, и толь­ко эти зна­че­ния мо­гут стать ре­зуль­та­та­ми из­ме­ре­ний.

Осн. объ­ек­том К. м. яв­ля­ет­ся век­тор со­стоя­ния $|\Psi\rangle$, ко­то­рый мо­жет быть раз­ло­жен по собств. функ­ци­ям $|n\rangle$ вы­бран­но­го опе­ра­то­ра $\hat A$: $$|\Psi\rangle=\sum_n \psi_n|n\rangle,$$где $\psi_n$ – ам­пли­ту­да ве­ро­ят­но­сти (вол­но­вая функ­ция) со­стоя­ния $|n\rangle$, а $|\psi_n|^2$ рав­но ве­су со­стоя­ния $n$ в раз­ло­же­нии $|\Psi\rangle$, причём $\langle\Psi|\Psi\rangle=\sum_n|\psi_n|^2=1$, т. е. пол­ная веро­ят­ность най­ти сис­те­му в од­ном из кван­то­вых со­стоя­ний $n$ рав­на еди­ни­це.

В К. м. Гей­зен­бер­га опе­ра­то­ры $\hat A$ и со­от­вет­ст­вую­щие им мат­ри­цы под­чи­ня­ют­ся урав­не­нию $$i\hbar \frac{\partial \hat A}{\partial t}=[\hat A,\hat H],$$где $|\hat A, \hat H|=\hat A\hat H-\hat H\hat A$ – ком­му­та­тор опе­ра­то­ров $\hat A$ и $\hat H$. В от­ли­чие от схе­мы Шрёдин­ге­ра, где от вре­ме­ни за­ви­сит вол­но­вая функ­ция $\psi$, в схе­ме Гей­зен­бер­га вре­мен­нáя за­ви­си­мость от­не­се­на к опе­ра­то­ру $\hat A$. Оба эти под­хо­да ма­те­ма­ти­че­ски эк­ви­ва­лент­ны, од­на­ко в мно­го­числ. при­ло­же­ни­ях К. м. под­ход Шрё­дин­ге­ра ока­зал­ся пред­поч­ти­тель­нее.

Собств. зна­че­ние опе­ра­то­ра Га­миль­то­на $\hat H$ есть пол­ная энер­гия сис­те­мы $E$, не за­ви­ся­щая от вре­ме­ни, ко­то­рая на­хо­дит­ся как ре­ше­ние ста­цио­нар­но­го урав­не­ния Шрё­дин­ге­ра $$\hat H\psi=E\psi.$$Его ре­ше­ния под­раз­де­ля­ют­ся на два ти­па в за­ви­си­мо­сти от ви­да гра­нич­ных ус­ло­вий.

Для ло­ка­ли­зо­ван­но­го со­стоя­ния вол­но­вая функ­ция удов­ле­тво­ря­ет ес­те­ст­вен­но­му гра­нич­но­му ус­ло­вию $\psi(\infty)=0$. В этом слу­чае урав­не­ние Шрё­дин­ге­ра име­ет ре­ше­ние толь­ко для дис­к­рет­но­го на­бо­ра энер­гий $E_n, n=1,2,3,\dots,$ко­то­рым со­от­вет­ст­ву­ют вол­но­вые функ­ции $\psi_n(\boldsymbol r)$: $$\hat H\psi_n=E_n\psi_n.$$

При­ме­ром ло­ка­ли­зо­ван­но­го со­стоя­ния яв­ля­ет­ся атом во­до­ро­да. Его га­миль­то­ни­ан $\hat H$ име­ет вид $$\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta-\frac{e^2}{r},$$где $\Delta=\partial^2/\partial x^2+\partial^2/\partial y^2+\partial^2/\partial z^2$ – опе­ра­тор Ла­п­ла­са, $e^2/r$ – по­тен­ци­ал взаи­мо­дей­ствия элек­тро­на и яд­ра, $r$ – рас­стоя­ние от яд­ра до элек­тро­на, а собств. зна­че­ния энер­гии $E_n$, вы­чис­лен­ные из урав­не­ния Шрё­дин­ге­ра, сов­па­да­ют с уров­ня­ми энер­гии ато­ма Бо­ра.

Про­стей­ший при­мер не­ло­ка­ли­зо­ван­но­го со­стоя­ния – сво­бод­ное од­но­мер­ное дви­же­ние элек­тро­на с им­пуль­сом $p$. Ему со­от­вет­ст­ву­ет урав­не­ние Шрё­дин­ге­ра $$\hat p\psi_p=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\psi_p=p\psi_p,$$ре­ше­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся пло­ская вол­на $$\psi_p(x)=C \exp \left\{i \frac{px}{\hbar} \right\}=C\exp\{ikx\},$$где в об­щем слу­чае $C=|C|\exp\{i\phi\}$ – ком­плекс­ная функ­ция, $|C|$ и $\phi$ – её мо­дуль и фа­за. В этом слу­чае энер­гия элек­тро­на $E=p^2/2m$, а ин­декс $p$ ре­ше­ния $\psi_p(x)$ при­ни­ма­ет не­пре­рыв­ный ряд зна­че­ний.

Опе­ра­то­ры ко­ор­ди­на­ты и им­пуль­са (и лю­бой др. па­ры ка­но­ни­че­ски со­пря­жён­ных пе­ре­мен­ных) под­чи­ня­ют­ся пе­ре­ста­но­воч­но­му (ком­му­та­ци­он­но­му) со­от­но­ше­нию: $$[\hat x, \hat p]=\hat x \hat p-\hat p \hat x=i\hbar.$$Об­ще­го ба­зи­са собств. функ­ций для пар та­ких опе­ра­то­ров не су­ще­ст­ву­ет, а со­от­вет­ст­вую­щие им фи­зич. ве­ли­чи­ны не мо­гут быть оп­ре­де­ле­ны од­но­вре­мен­но с про­из­воль­ной точ­но­стью. Из со­от­но­ше­ния ком­му­та­ции для опе­ра­то­ров $\hat x$ и $\hat p$ сле­ду­ет ог­ра­ни­че­ние на точ­ность $\Delta x$ и $\Delta p$ оп­ре­де­ле­ния ко­ор­ди­на­ты $x$ и со­пря­жён­но­го ей им­пуль­са $p$ кван­то­вой сис­те­мы (со­от­но­ше­ние не­оп­ре­де­лён­но­стей Гей­зен­бер­га): $$\Delta x\cdot \Delta p \geq \frac {\hbar}{2}.$$От­сю­да, в ча­ст­но­сти, сра­зу сле­ду­ет вы­вод об ус­той­чи­во­сти ато­ма, по­сколь­ку со­от­но­ше­ние $\Delta x=\Delta p=0$, со­от­вет­ст­вую­щее па­де­нию элек­тро­на на яд­ро, в этой схе­ме за­пре­ще­но.

Со­во­куп­ность од­но­вре­мен­но из­ме­ри­мых ве­ли­чин, ха­рак­те­ри­зую­щих кван­то­вую сис­те­му, пред­став­ля­ет­ся на­бо­ром опе­ра­то­ров $\{\hat A, \hat B, \hat C, \dots\}$, ком­му­ти­рую­щих меж­ду со­бой, т. е. удов­ле­тво­ряю­щих со­от­но­ше­ни­ям $\hat A\hat B-\hat B\hat A=\hat A\hat C-\hat C\hat A=\hat B\hat C-\hat C\hat B=\ldots=0$. Для не­ре­ля­ти­ви­ст­ско­го ато­ма во­до­ро­да та­кой на­бор со­став­ля­ют, напр., опе­ра­то­ры: $\hat H$ (опе­ра­тор пол­ной энер­гии), $\hat L^2$ (квад­рат опе­ра­то­ра мо­мен­та) и $\hat L_z$ ($z$-ком­по­нен­та опе­ра­то­ра мо­мен­та). Век­тор со­стоя­ния ато­ма оп­ре­де­ля­ет­ся как со­во­куп­ность об­щих собств. функ­ций $\psi_i(\boldsymbol r)$ всех опе­ра­то­ров $\hat H$,  $\hat L^2$, $\hat L_z$, ко­то­рые ну­ме­ру­ют­ся на­бо­ром $\{i\}=(nlm)$ кван­то­вых чи­сел энер­гии $(n=1,2,3,\dots)$, ор­би­таль­но­го мо­мен­та $(l=0,1,\dots, n-1)$ и его про­ек­ции на ось $z$ $(m=-l, \dots, -1,0,1,\dots,l)$. Функ­ции $|\psi_i(\boldsymbol r)|^2$ мож­но ус­лов­но рас­смат­ри­вать как фор­му ато­ма в разл. кван­то­вых со­стоя­ни­ях $i$ (т. н. си­лу­эты Уай­та).

Зна­че­ние фи­зич. ве­ли­чи­ны (на­блю­дае­мая К. м.) оп­ре­де­ля­ет­ся как ср. зна­че­ние $\bar A$ со­от­вет­ст­вую­ще­го ей опе­ра­то­ра $\hat A$: $$\bar A=\langle\Psi|\hat A|\Psi\rangle=\sum_{m,n}\psi^*_mA_{mn}\psi_n.$$Это со­от­но­ше­ние спра­вед­ли­во для чис­тых со­стоя­ний, т. е. для изо­ли­ро­ван­ных кван­то­вых сис­тем. В об­щем слу­чае сме­шан­ных со­стоя­ний мы все­гда име­ем де­ло с боль­шой со­во­куп­но­стью (ста­ти­стич. ан­самб­лем) иден­тич­ных сис­тем (напр., ато­мов), свой­ст­ва ко­то­рой оп­ре­де­ля­ют­ся пу­тём ус­ред­не­ния по это­му ан­самб­лю. В этом слу­чае ср. зна­че­ние $\bar A$ опе­ра­то­ра $\hat A$ при­ни­ма­ет вид $$\bar A=\sum_{m,n}\rho_{nm}A_{mn},$$где $\rho_{nm}$ – мат­ри­ца плот­но­сти (Л. Д. Лан­дау, Дж. фон Ней­ман, 1929) с ус­ло­ви­ем нор­ми­ров­ки $\sum_n\rho_{nn}=1$. Фор­ма­лизм матри­цы плот­но­сти по­зво­ля­ет объ­е­ди­нить кван­то­во­ме­ха­нич. ус­ред­не­ние по со­стоя­ни­ям и ста­ти­стич. ус­ред­не­ние по ан­самб­лю. Мат­ри­ца плот­но­сти иг­ра­ет важ­ную роль так­же в тео­рии кван­то­вых из­ме­ре­ний, суть ко­то­рых все­гда со­сто­ит во взаи­мо­дей­ст­вии кван­то­вой и клас­сич. под­сис­тем. По­ня­тие мат­ри­цы плот­но­сти яв­ля­ет­ся ос­но­вой кван­то­вой ста­ти­сти­ки и ба­зи­сом для од­ной из аль­тер­на­тив­ных фор­му­ли­ро­вок К. м. Ещё од­ну фор­му К. м., ос­но­ван­ную на по­ня­тии кон­ти­ну­аль­но­го ин­те­гра­ла (или ин­те­гра­ла по тра­ек­то­ри­ям), пред­ло­жил Р. Фейн­ман в 1948.

Принцип соответствия

К. м. име­ет глу­бо­кие кор­ни как в клас­си­че­ской, так и в ста­ти­стич. ме­ха­ни­ке. Уже в сво­ей пер­вой ра­бо­те Н. Бор сфор­му­ли­ро­вал прин­цип со­от­вет­ст­вия, со­глас­но ко­то­ро­му кван­то­вые со­от­но­ше­ния долж­ны пе­ре­хо­дить в клас­си­че­ские при боль­ших кван­то­вых чис­лах $n$. П. Эрен­фест в 1927 по­ка­зал, что с учё­том урав­не­ний К. м. ср. зна­че­ние $\bar A$ опе­ра­то­ра $\hat A$ удов­ле­тво­ря­ет урав­не­нию дви­же­ния клас­сич. ме­ха­ни­ки. Тео­ре­ма Эрен­фе­ста есть ча­ст­ный слу­чай об­ще­го прин­ци­па со­от­вет­ст­вия: в пре­де­ле $h \to 0$ урав­не­ния К. м. пе­ре­хо­дят в урав­не­ния клас­сич. ме­ха­ни­ки. В ча­ст­но­сти, вол­но­вое урав­не­ние Шрё­дин­ге­ра в пре­де­ле $h \to 0$ пе­ре­хо­дит в урав­не­ние гео­мет­рич. оп­ти­ки для тра­ек­то­рии све­то­во­го лу­ча (и лю­бо­го из­лу­че­ния) без учё­та его вол­но­вых свойств. Пред­ста­вив ре­ше­ние $\psi(x)$ урав­не­ния Шрё­дин­ге­ра в ви­де $\psi(x)=\exp\{iS/\hbar\}$, где $S=\int p(x)dx$ – ана­лог клас­сич. ин­те­гра­ла дей­ст­вия, мож­но убе­дить­ся, что в пре­де­ле $\hbar \to 0$ функ­ция $S$ удов­ле­тво­ря­ет клас­сич. урав­не­нию Га­миль­то­на – Яко­би. Кро­ме то­го, в пре­де­ле $h \to 0$ опе­ра­то­ры $\hat x$ и $\hat p$ ком­му­ти­ру­ют и со­от­вет­ст­вую­щие им зна­че­ния ко­ор­ди­на­ты и им­пуль­са мо­гут быть оп­ре­де­ле­ны од­но­вре­мен­но, как это и пред­по­ла­га­ет­ся в клас­сич. ме­ха­ни­ке.

Наи­бо­лее су­ще­ст­вен­ные ана­ло­гии ме­ж­ду со­от­но­ше­ния­ми клас­сич. и кван­то­вой ме­ха­ник для пе­рио­дич. дви­же­ний про­сле­жи­ва­ют­ся на фа­зо­вой плос­ко­сти ка­но­ни­че­ски со­пря­жён­ных пе­ре­мен­ных, напр. ко­ор­ди­на­ты $x$ и им­пуль­са $p$ сис­те­мы. Ин­те­гра­лы ти­па $\oint p(x)dx$, взя­тые по замк­ну­той тра­ек­то­рии (ин­те­граль­ные ин­ва­ри­ан­ты Пу­ан­ка­ре), из­вест­ны в пре­д­ыс­то­рии К. м. как адиа­ба­тич. ин­ва­ри­ан­ты Эрен­фе­ста. А. Зом­мер­фельд ис­поль­зо­вал их для опи­са­ния кван­то­вых за­ко­но­мер­но­стей на язы­ке клас­сич. ме­ха­ни­ки, в ча­ст­но­сти для про­стран­ст­вен­но­го кван­то­ва­ния ато­ма и вве­де­ния кван­то­вых чи­сел $l$ и $m$ (имен­но он ввёл этот тер­мин в 1915).

Раз­мер­ность фа­зо­во­го ин­те­гра­ла $\oint pdx$ сов­па­да­ет с раз­мер­но­стью по­сто­ян­ной План­ка $h$, и в 1911 А. Пу­ан­ка­ре и М. Планк пред­ло­жи­ли рас­смат­ри­вать квант дей­ст­вия $h$ как ми­ним. объ­ём фа­зо­во­го про­стран­ст­ва, чис­ло $n$ яче­ек ко­то­ро­го крат­но $h$: $n=\oint pdx/h$. В ча­ст­но­сти, при дви­же­нии элек­тро­на по кру­го­вой тра­ек­то­рии с по­сто­ян­ным им­пуль­сом $p$ из со­от­но­ше­ния $n=\oint p(x)dx/\hbar=p \cdot 2\pi r/h$ сразу сле­ду­ет ус­ло­вие кван­то­ва­ния Бо­ра: $mvr=n h$ (П. Де­бай, 1913).

Од­на­ко в слу­чае од­но­мер­но­го дви­же­ния в по­тен­циа­ле $V(x)=m\omega_0^2x^2/2$ (гар­мо­нич. ос­цил­ля­тор с собств. час­то­той $\omega_0$) из ус­ло­вия кван­то­ва­ния $\oint p(x)dx=n h$ сле­ду­ет ряд зна­че­ний энер­гии $E_n=\hbar \omega_0n$, в то вре­мя как точ­ное ре­ше­ние кван­то­вых урав­не­ний для ос­цил­ля­то­ра при­во­дит к по­сле­до­ва­тель­но­сти $E_n=\hbar \omega_0(n+1/2)$. Этот ре­зуль­тат К. м., впер­вые по­лу­чен­ный В. Гей­зен­бер­гом, прин­ци­пи­аль­но от­ли­ча­ет­ся от при­бли­жён­но­го на­ли­чи­ем ну­ле­вой энер­гии ко­ле­ба­ний $E_0=\hbar \omega_0/2$, ко­то­рая име­ет чис­то кван­то­вую при­ро­ду: со­стоя­ние по­коя $(x=0, p=0)$ в К. м. за­пре­ще­но, по­сколь­ку оно про­ти­во­ре­чит со­от­но­ше­нию не­оп­ре­де­лён­но­стей $\Delta x\cdot\Delta p \geq \hbar/2$.

Принцип суперпозиции состояний и вероятностная интерпретация

Ос­нов­ное и на­гляд­ное про­ти­во­ре­чие ме­ж­ду кор­пус­ку­ляр­ной и вол­но­вой кар­ти­на­ми кван­то­вых яв­ле­ний уда­лось уст­ра­нить в 1926, по­сле то­го, как М. Борн пред­ло­жил ин­тер­пре­ти­ро­вать ком­плекс­ную вол­но­вую функ­цию $\psi_n(x)=|\psi_n(x)|\cdot \exp(i \phi_n)$ как ам­пли­ту­ду ве­ро­ят­но­сти со­стоя­ния $n$, а квад­рат её мо­ду­ля $|\psi_n(x)|^2$ – как плот­ность ве­ро­ят­но­сти об­на­ру­жить со­стоя­ние $n$ в точ­ке $x$. Кван­то­вая сис­те­ма мо­жет на­хо­дить­ся в раз­лич­ных, в т. ч. аль­тер­на­тив­ных, со­стоя­ни­ях, а её ам­пли­ту­да ве­ро­ят­но­сти рав­на ли­ней­ной ком­би­на­ции ам­пли­туд ве­ро­ят­но­сти этих со­стоя­ний: $$\psi=\psi_1+\psi_2+\dots$$Плот­ность ве­ро­ят­но­сти ре­зуль­ти­рую­ще­го со­стоя­ния рав­на квад­ра­ту сум­мы ам­пли­туд ве­ро­ят­но­сти, а не сум­ме квад­ра­тов ам­пли­туд, как это име­ет ме­сто в ста­ти­стич. фи­зи­ке: $$|\psi|^2=|\psi_1+\psi_2+\dots|^2 \neq |\psi_1|^2+|\psi_2|^2+\dots$$

Рис. 2. Рассеяние электронов на двух щелях: вместо изображения двух щелей на фотографии видна система интерференционных полос.

Этот по­сту­лат – прин­цип су­пер­по­зи­ции со­стоя­ний – один из важ­ней­ших в сис­те­ме по­ня­тий К. м.; он име­ет мно­го на­блю­дае­мых след­ст­вий. Од­но из них, а имен­но про­хо­ж­де­ние элек­тро­на че­рез две близ­ко рас­по­ло­жен­ные ще­ли, об­су­ж­да­ет­ся ча­ще дру­гих (рис. 2). Пу­чок элек­тро­нов па­да­ет сле­ва, про­хо­дит сквозь ще­ли в пе­ре­го­род­ке и за­тем ре­ги­ст­ри­ру­ет­ся на эк­ра­не (или фо­то­пла­стин­ке) спра­ва. Ес­ли по­оче­рёд­но за­кры­вать ка­ж­дую из ще­лей, то на эк­ра­не спра­ва мы уви­дим изо­бра­же­ние от­кры­той ще­ли. Но ес­ли от­крыть обе ще­ли од­но­вре­мен­но, то вме­сто двух ще­лей мы уви­дим сис­те­му ин­тер­фе­рен­ци­он­ных по­лос, ин­тен­сив­ность ко­то­рых опи­сы­ва­ет­ся вы­ра­же­ни­ем: $$|\psi|^2=|\psi_1+\psi_2|^2=(\psi_1^*+\psi_2^*)(\psi_1+\psi_2)=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2+(\psi_1^*\psi_2+\psi_1\psi_2^*)=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2+2|\psi_1||\psi_2|\cos(\phi_1-\phi_2).$$По­след­ний член в этой сум­ме пред­став­ля­ет ин­тер­фе­рен­цию двух волн ве­ро­ят­но­сти, при­шед­ших в дан­ную точ­ку эк­ра­на из раз­ных ще­лей в пе­ре­го­род­ке, и за­ви­сит от раз­но­сти фаз вол­но­вых функ­ций $\Delta\phi=\phi_1-\phi_2$. В слу­чае рав­ных ам­пли­туд $|\psi_1|=|\psi_2|$: $$|\psi|^2=4|\psi_1|^2\sin^2 \frac{\Delta \phi}{2},$$ т. е. ин­тен­сив­ность изо­бра­же­ния ще­лей в раз­ных точ­ках эк­ра­на ме­ня­ет­ся от 0 до $4|\psi_1|^2$ – в со­от­вет­ст­вии с из­ме­не­ни­ем раз­но­сти фаз $\Delta \phi$ от 0 до $\pi/2$. В ча­ст­но­сти, при этом мо­жет ока­зать­ся, что при двух от­кры­тых ще­лях на мес­те изо­бра­же­ния оди­ноч­ной ще­ли мы не об­на­ру­жим ни­ка­ко­го сиг­на­ла, что с кор­пус­ку­ляр­ной точ­ки зре­ния аб­сурд­но.

Су­ще­ст­вен­но, что эта кар­ти­на яв­ле­ния не за­ви­сит от ин­тен­сив­но­сти пуч­ка элек­тро­нов, т. е. это не ре­зуль­тат их взаи­мо­дей­ст­вия ме­ж­ду со­бой. Ин­тер­фе­рен­ци­он­ная кар­ти­на воз­ни­ка­ет да­же в пре­де­ле, ко­гда элек­тро­ны про­хо­дят че­рез ще­ли в пе­ре­го­род­ке по­оди­ноч­ке, т. е. ка­ж­дый элек­трон ин­тер­фе­ри­ру­ет сам с со­бой. Та­кое не­воз­мож­но для час­ти­цы, но впол­не ес­те­ст­вен­но для вол­ны, напр. при её от­ра­же­нии или ди­фрак­ции на пре­пят­ст­вии, раз­ме­ры ко­то­ро­го срав­ни­мы с её дли­ной. В этом опы­те дуа­лизм вол­на-час­ти­ца про­яв­ля­ет­ся в том, что один и тот же элек­трон ре­ги­ст­ри­ру­ет­ся как час­ти­ца, но рас­про­стра­ня­ет­ся как вол­на осо­бой при­ро­ды: это вол­на ве­ро­ят­но­сти об­на­ру­жить элек­трон в к.-л. точ­ке про­стран­ст­ва. В та­кой кар­ти­не про­цес­са рас­сея­ния во­прос: «Че­рез ка­кую из ще­лей про­шёл элек­трон-час­ти­ца?» те­ря­ет смысл, по­сколь­ку со­от­вет­ст­вую­щая ему вол­на ве­ро­ят­но­сти про­хо­дит че­рез обе ще­ли сра­зу.

Дру­гой при­мер, ил­лю­ст­ри­рую­щий ве­ро­ят­но­ст­ный ха­рак­тер яв­ле­ний К. м., – про­хо­ж­де­ние све­та че­рез по­лу­про­зрач­ную пла­стин­ку. По оп­ре­де­ле­нию, ко­эф. от­ра­же­ния све­та ра­вен от­но­ше­нию чис­ла фо­то­нов, от­ра­жён­ных от пла­стин­ки, к чис­лу па­даю­щих. Од­на­ко это есть не ре­зуль­тат ус­ред­не­ния боль­шо­го чис­ла со­бы­тий, а ха­рак­те­ри­сти­ка, из­на­чаль­но при­су­щая ка­ж­до­му фо­то­ну.

Прин­цип су­пер­по­зи­ции и кон­цеп­ция ве­ро­ят­но­сти по­зво­ли­ли осу­ще­ст­вить не­про­ти­во­ре­чи­вый син­тез по­ня­тий «вол­на» и «час­ти­ца»: ка­ж­дое из кван­то­вых со­бы­тий и его ре­ги­ст­ра­ция дис­крет­ны, но их рас­пре­де­ле­ние дик­ту­ет­ся за­ко­ном рас­про­стра­не­ния не­пре­рыв­ных волн ве­ро­ят­но­сти.

Туннельный эффект и резонансное рассеяние

Тун­нель­ный эф­фект – ед­ва ли не са­мое из­вест­ное яв­ле­ние кван­то­вой фи­зи­ки. Он обу­слов­лен вол­но­вы­ми свой­ст­ва­ми кван­то­вых объ­ек­тов и толь­ко в рам­ках К. м. по­лу­чил аде­к­ват­ное объ­яс­не­ние. При­мер тун­нель­но­го эф­фек­та – рас­пад яд­ра ра­дия на яд­ро ра­до­на и $\alpha$-час­ти­цу: $\ce {Ra-> Rn + \alpha}$.

Рис. 3. Схема туннельного эффекта при α-распаде ядра с зарядом Z0.

На рис. 3 при­ве­де­на схе­ма по­тен­циа­ла $\alpha$-рас­па­да $V(r)$: $\alpha$-час­ти­ца ко­леб­лет­ся с час­то­той $v$ в «по­тен­ци­аль­ной яме» яд­ра с за­ря­дом $Z_0$, а по­ки­нув её, дви­жет­ся в от­тал­ки­ваю­щем ку­ло­нов­ском по­тен­циа­ле $2Ze^2/r$, где $Z=Z_0-2$. В клас­сич. ме­ха­ни­ке час­ти­ца не мо­жет по­ки­нуть по­тен­ци­аль­ную яму, ес­ли её энер­гия $E$ мень­ше, чем вы­со­та по­тен­ци­аль­но­го барь­е­ра $V_{макс}$. В К. м. вслед­ст­вие со­от­но­ше­ния не­оп­ре­де­лён­но­стей час­ти­ца с ко­неч­ной ве­ро­ят­но­стью $W$ про­ни­ка­ет в под­барь­ер­ную об­ласть $r_0 \lt r \lt r_1$ и мо­жет «про­со­чить­ся» из об­лас­ти $r \lt r_0$ в об­ласть $r \gt r_1$ ана­ло­гич­но то­му, как свет про­ни­ка­ет в об­ласть гео­мет­рич. те­ни на рас­стоя­ния, срав­ни­мые с дли­ной све­то­вой вол­ны. Ис­поль­зуя урав­не­ние Шрёдин­ге­ра, мож­но вы­чис­лить ко­эф. $D$ про­хо­ж­де­ния $\alpha$-час­ти­цы че­рез барь­ер, ко­то­рый в ква­зи­клас­сич. при­бли­же­нии ра­вен: $$D \approx \exp \left\{-\displaystyle\int^{r1}_{r_0} \sqrt {2m(V(r)-E)}dr \right\} \approx \exp \left\{- \frac{4 \pi Ze^2}{\hbar v}\right \}.$$Со вре­ме­нем чис­ло ядер ра­дия $N(t)$ убы­ва­ет по за­ко­ну: $N(t)=N_0 \exp\{-t/\tau\}$, где $\tau$ – ср. вре­мя жиз­ни яд­ра, $N_0$ – на­чаль­ное чис­ло ядер при $t=0$. Ве­ро­ят­ность $\alpha$-рас­па­да $W=vD$ свя­за­на со вре­ме­нем жиз­ни со­от­но­ше­ни­ем $W=1/\tau$, от­ку­да сле­ду­ет за­кон Гей­ге­ра – Нет­то­ла: $$\ln\tau=\frac{4\pi Ze^2}{\hbar v}+ \text{const},$$где $v$ – ско­рость $\alpha$-час­ти­цы, $Z$ – за­ряд об­ра­зо­вав­ше­го­ся яд­ра. Экс­пе­ри­мен­таль­но эта за­ви­си­мость бы­ла об­на­ру­же­на ещё в 1909, но толь­ко в 1928 Г. Га­мов (и не­за­ви­си­мо англ. фи­зик Р. Гёр­ни и амер. фи­зик Э. Кон­дон) впер­вые объ­яс­нил её на язы­ке К. м. Тем са­мым бы­ло по­ка­за­но, что К. м. опи­сы­ва­ет не толь­ко про­цес­сы из­лу­че­ния и др. яв­ле­ния атом­ной фи­зи­ки, но так­же яв­ле­ния ядер­ной фи­зи­ки.

В атом­ной фи­зи­ке тун­нель­ный эф­фект объ­яс­ня­ет яв­ле­ние ав­то­элек­трон­ной эмис­сии. В од­но­род­ном элек­трич. по­ле на­пря­жён­но­стью $\boldsymbol E$ ку­ло­нов­ский по­тен­ци­ал $V(r)=-e^2/r$ при­тя­же­ния ме­ж­ду яд­ром и элек­тро­ном ис­ка­жа­ет­ся: $V(r)=e^2/r-e \boldsymbol E r$, уров­ни энер­гии ато­ма $E_{nlm}$ при этом сме­ща­ют­ся, что при­во­дит к из­ме­не­нию час­тот $\nu_{nk}$ пе­ре­хо­дов ме­ж­ду ни­ми (эф­фект Штар­ка). Кро­ме то­го, ка­че­ст­вен­но этот по­тен­ци­ал ста­но­вит­ся по­доб­ным по­тен­циа­лу $\alpha$-рас­па­да, вслед­ст­вие че­го воз­ни­ка­ет ко­неч­ная ве­ро­ят­ность тун­не­ли­ро­ва­ния элек­тро­на че­рез по­тен­ци­аль­ный барь­ер (Р. Оп­пен­гей­мер, 1928). При дос­ти­же­нии кри­тич. зна­че­ний $\boldsymbol E$ барь­ер по­ни­жа­ет­ся на­столь­ко, что элек­трон по­ки­да­ет атом (т. н. ла­вин­ная ио­ни­за­ция).

Аль­фа-рас­пад есть ча­ст­ный слу­чай рас­па­да ква­зи­ста­цио­нар­но­го со­стоя­ния, ко­то­рый тес­но свя­зан с по­ня­ти­ем кван­то­во­ме­ха­нич. ре­зо­нан­са и по­зво­ля­ет по­нять до­пол­нит. ас­пек­ты не­ста­цио­нар­ных про­цес­сов в К. м. Из урав­не­ния Шрё­дин­ге­ра сле­ду­ет за­ви­си­мость его ре­ше­ний от вре­ме­ни: $$\psi(x,t)=\exp \left\{ -\frac{i}{\hbar}Et \right\}\psi(x),$$где $E$ – собств. зна­че­ние га­миль­то­ниа­на $\hat H$, ко­то­рое для эр­ми­то­вых опе­ра­то­ров К. м. дей­ст­ви­тель­но, а со­от­вет­ст­вую­щая ему на­блю­дае­мая (пол­ная энер­гия $E$) не за­ви­сит от вре­ме­ни. Од­на­ко энер­гия не­ста­цио­нар­ных сис­тем от вре­ме­ни за­ви­сит, и этот факт мож­но фор­маль­но учесть, ес­ли энер­гию та­кой сис­те­мы пред­ста­вить в ком­плекс­ном ви­де: $E=E_0-iГ/2$. В этом слу­чае за­ви­си­мость вол­но­вой функ­ции от вре­ме­ни име­ет вид $$\psi(x,t)=\exp \left\{- \frac{i}{\hbar} \left(E_0-i \frac{Г}{2}\right )t \right\}\psi(x),$$а ве­ро­ят­ность об­на­ру­жить со­от­вет­ст­вую­щее со­стоя­ние убы­ва­ет по экс­по­нен­ци­аль­но­му за­ко­ну: $$|\psi(x,t)|^2 \sim \exp \left \{- \frac{Г}{\hbar}t \right \}=\exp \left \{- \frac{t}{\tau} \right \},$$ко­то­рый сов­па­да­ет по фор­ме с за­ко­ном $\alpha$-рас­па­да с по­сто­ян­ной рас­па­да $\tau= \hbar/Г$.

В об­рат­ном про­цес­се, напр. при столк­но­ве­нии ядер дей­те­рия и три­тия, в ре­зуль­та­те ко­то­ро­го об­ра­зу­ют­ся ге­лий и ней­трон (ре­ак­ция тер­мо­ядер­но­го син­те­за), ис­поль­зу­ет­ся по­ня­тие се­че­ния ре­ак­ции $\sigma$, ко­то­рое оп­ре­де­ля­ет­ся как ме­ра ве­ро­ят­но­сти ре­ак­ции при еди­нич­ном по­то­ке стал­ки­ваю­щих­ся час­тиц.

Для клас­сич. час­тиц се­че­ние рас­сея­ния на ша­ри­ке ра­диу­сом $r_0$ сов­па­да­ет с его гео­мет­рич. се­че­ни­ем и рав­но $\sigma=\pi r^2_0$. В К. м. оно мо­жет быть пред­став­ле­но че­рез фа­зы рас­сея­ния $\delta_l(k)$: $$\sigma(E)=\frac{4\pi}{k^2}\sum_l(2l+1)\sin^2\delta_l(k),$$где $k=p/\hbar=\sqrt{2mE}/\hbar$ – вол­но­вое чис­ло, $l$ – ор­би­таль­ный мо­мент сис­те­мы. В пре­де­ле очень ма­лых энер­гий столк­но­ве­ния $[k \to 0, l=0 \quad\text {и} \quad \delta_0(k) \approx kr_0]$ се­чение кван­то­во­го рас­сея­ния в 4 раза пре­вы­ша­ет гео­мет­рическое се­че­ние ша­ри­ка. (Этот эф­фект – од­но из след­ствий вол­но­вой при­ро­ды кван­то­вых яв­ле­ний.) В ок­ре­ст­но­сти ре­зо­нан­са при $E \approx E_0$ фа­за рас­сея­ния ве­дёт се­бя как $\delta_0(k) \approx \text{arctg} Г/2(E-E_0) \xrightarrow[E \to E_0]{} \pi/2$, а се­че­ние рас­сея­ния рав­но $$\sigma(E)\approx 4 \pi \bar \lambda^2W(E)(2l+1),$$где $\bar\lambda=1/k$, $W(E)$ – функ­ция Брей­та – Виг­не­ра: $$W(E)= \frac{Г^2}{4} \left[(E-E_0)^2+ \frac{Г^2}{4} \right]^{-1}.$$

При ма­лых энер­ги­ях рас­сея­ния $l_0 \approx 0$, а дли­на вол­ны де Брой­ля $\bar\lambda$ зна­чи­тель­но боль­ше раз­ме­ров ядер, по­это­му при $E=E_0$, ре­зо­нанс­ные се­че­ния ядер $\sigma_{рез} \approx 4 \pi \bar\lambda^2_0$ мо­гут в ты­ся­чи и мил­лио­ны раз пре­вы­шать их гео­мет­рич. се­че­ния $\pi r^2_0$. В ядер­ной фи­зи­ке имен­но от этих се­че­ний за­ви­сит ра­бо­та ядер­но­го и тер­мо­ядер­но­го ре­ак­то­ров. В атом­ной фи­зи­ке это яв­ле­ние впер­вые на­блю­да­ли Дж. Франк и Г. Герц (1913) в опы­тах по ре­зо­нанс­но­му по­гло­ще­нию элек­тро­нов ато­ма­ми рту­ти. В про­ти­во­по­лож­ном слу­чае $(\delta_0=0)$ се­че­ние рас­сея­ния ано­маль­но ма­ло (эф­фект Рам­зау­эра, 1921).

Функ­ция $W(E)$ из­вест­на в оп­ти­ке как ло­рен­цев­ский про­филь ли­нии из­лу­че­ния и име­ет вид ти­пич­ной ре­зо­нанс­ной кри­вой с мак­си­му­мом при $E=E_0$, а ши­ри­на ре­зо­нан­са $Г=2\Delta E=2(E-E_0)$ оп­ре­де­ля­ет­ся из со­от­но­ше­ния $W(E_0 \pm \Delta E)=W(E_0)/2$. Фу­нк­ция  но­сит уни­вер­саль­ный ха­рак­тер и опи­сы­ва­ет как рас­пад ква­зи­ста­цио­нар­но­го со­стоя­ния, так и ре­зо­нанс­ную за­ви­си­мость се­че­ния рас­сея­ния от энер­гии столк­но­ве­ния $E$, а в яв­ле­ни­ях из­лу­че­ния оп­ре­де­ля­ет ес­теств. ши­ри­ну Γ спек­траль­ной ли­нии, ко­то­рая свя­за­на с вре­ме­нем жиз­ни $\tau$ из­лу­ча­те­ля со­от­но­ше­ни­ем $\tau=\hbar/Г$. Это со­от­но­ше­ние оп­ре­де­ля­ет так­же вре­мя жиз­ни эле­мен­тар­ных час­тиц.

Из оп­ре­де­ле­ния $\tau=\hbar/Г$ с учё­том ра­вен­ст­ва $Г=2\Delta E$ сле­ду­ет со­от­но­ше­ние не­опре­де­лён­но­стей для энер­гии и вре­ме­ни: $\Delta E \cdot \Delta t \geq\hbar/2$, где $\Delta t \geq \tau$. По фор­ме оно ана­ло­гич­но со­от­но­ше­нию $\Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar/2$, од­на­ко он­то­ло­гич. ста­тус это­го не­ра­вен­ст­ва дру­гой, по­сколь­ку в К. м. вре­мя $t$ не яв­ля­ет­ся ди­на­мич. пе­ре­мен­ной. По­это­му со­от­но­ше­ние $\Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar/2$ не сле­ду­ет не­по­сред­ст­вен­но из осн. по­сту­ла­тов ста­цио­нар­ной К. м. и, стро­го го­во­ря, име­ет смысл толь­ко для сис­тем, энер­гия ко­то­рых ме­ня­ет­ся во вре­ме­ни. Его фи­зич. смысл со­сто­ит в том, что за вре­мя $\Delta t$ энер­гия сис­те­мы не мо­жет быть из­ме­ре­на точ­нее, чем ве­ли­чи­на $\Delta E$, оп­ре­де­ляе­мая со­от­но­ше­ни­ем $\Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar/2$. Ста­цио­нар­ное со­стоя­ние $(\Delta E \to 0)$ су­ще­ст­ву­ет бес­ко­неч­но дол­го $(\Delta t \to \infty)$.

Спин, тождественность частиц и обменное взаимодействие

По­ня­тие «спин» ут­вер­ди­лось в фи­зи­ке тру­да­ми В. Пау­ли, ни­дерл. фи­зи­ка Р. Кро­ни­га, С. Га­уд­сми­та и Дж. Улен­бе­ка (1924–27), хо­тя экс­пе­рим. сви­де­тель­ст­ва о его су­ще­ст­во­ва­нии бы­ли по­лу­че­ны за­дол­го до со­зда­ния К. м. в опы­тах А. Эйн­штей­на и В. Й. де Хаа­за (1915), а так­же О. Штер­на и нем. фи­зи­ка В. Гер­ла­ха (1922). Спин (соб­ст­вен­ный ме­ха­нич. мо­мент час­ти­цы) для элек­тро­на ра­вен $S=\hbar/2$. Это та­кая же важ­ная ха­рак­те­ри­сти­ка кван­то­вой час­ти­цы, как и за­ряд и мас­са, ко­то­рая, од­на­ко, не име­ет клас­сич. ана­ло­гов.

Опе­ра­тор спи­на  $\hat S=\hbar \hat\sigma/2$, где $\hat\sigma=(\hat\sigma_x, \hat\sigma_y,\hat\sigma_z)$ – дву­мер­ные мат­ри­цы Пау­ли, оп­ре­де­лён в про­стран­ст­ве двух­ком­по­нент­ных собств. функ­ций $u=(u_+, u_-)$ опе­ра­то­ра $\hat S_z$ про­ек­ции спи­на на ось $z$: $\hat\sigma_zu=\sigma u, \sigma=\pm 1/2$. Собств. маг­нит­ный мо­мент $\boldsymbol \mu$ час­ти­цы с мас­сой $m$ и спи­ном $S$ ра­вен $\boldsymbol \mu=2 \mu_0 \boldsymbol S$, где $\mu_0=e \hbar/2mc$ – маг­не­тон Бо­ра. Опе­ра­то­ры $\hat S^2$ и $\hat S_z$ ком­му­ти­ру­ют с на­бо­ром $\hat H_0$, $\hat L^2$ и $\hat L_z$ опе­ра­то­ров ато­ма во­до­ро­да и вме­сте они фор­ми­ру­ют га­миль­то­ни­ан урав­не­ния Пау­ли (1927), ре­ше­ния ко­то­ро­го ну­ме­ру­ют­ся на­бо­ром $i=(nlm\sigma)$ кван­то­вых чи­сел соб­ст­вен­ных зна­че­ний со­во­куп­но­сти ком­мути­рую­щих опе­ра­то­ров $\hat H_0$, $\hat L^2$, $\hat L_z$, $\hat S^2$, $\hat S_z$. Эти ре­ше­ния опи­сы­ва­ют са­мые тон­кие осо­бен­но­сти на­блю­дае­мых спек­тров ато­мов, в ча­ст­но­сти рас­ще­п­ле­ние спек­траль­ных ли­ний в маг­нит­ном по­ле (нор­маль­ный и ано­маль­ный эф­фект Зее­ма­на), а так­же их муль­ти­плет­ную струк­ту­ру в ре­зуль­та­те взаи­мо­дей­ст­вия спи­на элек­тро­на с ор­би­таль­ным мо­мен­том ато­ма (тон­кая струк­ту­ра) и спи­ном яд­ра (сверх­тон­кая струк­ту­ра).

В 1924, ещё до соз­да­ния К. м., В. Пау­ли сфор­му­ли­ро­вал прин­цип за­пре­та: в ато­ме не мо­жет быть двух элек­тро­нов с од­ним и тем же на­бо­ром кван­то­вых чи­сел $i=(nlm\sigma)$. Этот прин­цип по­зво­лил по­нять струк­ту­ру пе­рио­дич. сис­те­мы хи­мич. эле­мен­тов и объ­яс­нить пе­рио­дич­ность из­ме­не­ния их хи­мич. свойств при мо­но­тон­ном уве­ли­че­нии за­ря­да их ядер.

Прин­цип за­пре­та есть ча­ст­ный слу­чай бо­лее об­ще­го прин­ци­па, ко­то­рый ус­та­нав­ли­ва­ет связь ме­ж­ду спи­ном час­ти­цы и сим­мет­ри­ей её вол­но­вой функ­ции. В за­ви­си­мо­сти от зна­че­ния спи­на все эле­мен­тар­ные час­ти­цы раз­де­ля­ют­ся на два клас­са: фер­мио­ны – час­ти­цы с по­лу­це­лым спи­ном (элек­трон, про­тон, $\mu$-ме­зон и т. д.) и бо­зо­ны – час­ти­цы с ну­ле­вым или це­лым спи­ном (фо­тон, $\pi$-ме­зон, K-ме­зон и т. д.). В 1940 Пау­ли до­ка­зал об­щую тео­ре­му о свя­зи спи­на со ста­ти­сти­кой, из ко­то­рой сле­ду­ет, что вол­но­вые функ­ции лю­бой сис­те­мы фер­мио­нов об­ла­да­ют от­ри­ца­тель­ной чёт­но­стью (ме­ня­ют знак при их по­пар­ной пе­ре­ста­нов­ке), а чёт­ность вол­но­вой функ­ции сис­те­мы бо­зо­нов все­гда по­ло­жи­тель­на. В со­от­вет­ст­вии с этим су­ще­ст­ву­ют два ти­па рас­пре­де­ле­ний час­тиц по энер­ги­ям: рас­пре­де­ле­ние Фер­ми – Ди­ра­ка и рас­пре­де­ле­ние Бо­зе – Эйн­штей­на, ча­ст­ным слу­ча­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся рас­пре­де­ле­ние План­ка для сис­те­мы фо­то­нов.

Од­но из след­ст­вий прин­ци­па Пау­ли – су­ще­ст­во­ва­ние т. н. об­мен­но­го взаи­мо­дей­ст­вия, ко­то­рое про­яв­ля­ет­ся уже в сис­те­ме двух элек­тро­нов. В ча­ст­но­сти, имен­но это взаи­мо­дей­ст­вие обес­пе­чи­ва­ет ко­ва­лент­ную хи­мич. связь ато­мов в мо­ле­ку­лах Н₂, N₂, О₂ и т. п. Об­мен­ное взаи­мо­дей­ст­вие – ис­клю­чи­тель­но кван­то­вый эф­фект, ана­ло­га та­ко­го взаи­мо­дей­ст­вия в клас­сич. фи­зи­ке нет. Его спе­ци­фи­ка объ­яс­ня­ет­ся тем, что плот­ность ве­ро­ят­но­сти вол­но­вой функ­ции сис­те­мы двух элек­т­ро­нов $|\psi(r_1,r_2)^2|$ со­дер­жит не только чле­ны $|\psi_n(r_1)|^2|\psi_m(r_2)|^2$, где $n$ и $m$ – кван­то­вые со­стоя­ния элек­тро­нов обо­их ато­мов, но так­же «об­мен­ные чле­ны» $\psi_n^*(r_1)\psi_m^*(r_1)\psi_n(r_2)\psi_m(r_2)$, воз­ни­каю­щие как след­ст­вие прин­ци­па су­пер­по­зи­ции, ко­то­рый по­зво­ля­ет ка­ж­до­му элек­тро­ну на­хо­дить­ся од­но­вре­мен­но в разл. кван­то­вых со­стоя­ни­ях $n$ и $m$ обо­их ато­мов. Кро­ме то­го, в си­лу прин­ци­па Пау­ли, спи­но­вая часть вол­но­вой функ­ции мо­ле­ку­лы долж­на быть ан­ти­сим­мет­рич­ной по от­но­ше­нию к пе­ре­ста­нов­ке элек­тро­нов, т. е. хи­мич. связь ато­мов в мо­ле­ку­ле осу­ще­ст­в­ля­ет­ся па­рой элек­тро­нов с про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ны­ми спи­на­ми. Вол­но­вая функ­ция слож­ных мо­ле­кул мо­жет быть пред­став­ле­на как су­пер­по­зи­ция вол­но­вых функ­ций, со­от­вет­ст­вую­щих разл. воз­мож­ным кон­фи­гу­ра­ци­ям мо­ле­ку­лы (тео­рия ре­зо­нан­са, Л. По­линг, 1928).

Раз­ви­тые в К. м. ме­то­ды рас­чё­та (ме­тод Хар­три – Фо­ка, ме­тод мо­ле­ку­ляр­ных ор­би­та­лей и др.) по­зво­ля­ют вы­чис­лить на совр. ком­пь­ю­те­рах все ха­рак­тери­сти­ки ус­той­чи­вых кон­фи­гу­ра­ций слож­ных мо­ле­кул: по­ря­док за­пол­не­ния элек­трон­ных обо­ло­чек в ато­ме, рав­но­вес­ные рас­стоя­ния ме­ж­ду ато­ма­ми в мо­ле­ку­лах, энер­гию и на­прав­ле­ние хи­мич. свя­зей, рас­по­ло­же­ние ато­мов в про­стран­ст­ве, а так­же по­стро­ить по­тен­ци­аль­ные по­верх­но­сти, ко­то­рые оп­ре­де­ля­ют на­прав­ле­ние хи­мич. ре­ак­ций. Та­кой под­ход по­зво­ля­ет так­же вы­чис­лить по­тен­циа­лы меж­атом­ных и меж­мо­ле­ку­ляр­ных взаи­мо­дей­ст­вий, в ча­ст­но­сти си­лы Ван дер Ва­аль­са, оце­нить проч­ность во­до­род­ных свя­зей и др. Тем са­мым про­бле­ма хи­мич. свя­зи сво­дит­ся к за­да­че рас­чё­та кван­то­вых ха­рак­те­ри­стик сис­те­мы час­тиц с ку­ло­нов­ским взаи­мо­дей­ст­ви­ем, и с этой точ­ки зре­ния струк­тур­ную хи­мию мож­но рас­смат­ри­вать как один из раз­де­лов кван­то­вой ме­ха­ни­ки.

Об­мен­ное взаи­мо­дей­ст­вие су­ще­ст­вен­но за­ви­сит от ви­да по­тен­ци­аль­но­го взаи­мо­дей­ст­вия ме­ж­ду час­ти­ца­ми. В ча­ст­но­сти, в не­ко­то­рых ме­тал­лах имен­но бла­го­да­ря ему бо­лее ус­той­чи­вым яв­ля­ет­ся со­стоя­ние пар элек­тро­нов с па­рал­лель­ны­ми спи­на­ми, что объ­яс­ня­ет яв­ле­ние фер­ро­маг­не­тиз­ма.

Приложения квантовой механики

К. м. – тео­ре­тич. ба­зис кван­то­вой фи­зи­ки. Она по­зво­ли­ла по­нять строе­ние элек­трон­ных обо­ло­чек ато­мов и за­ко­но­мер­но­сти в их спек­трах из­лу­че­ния, струк­ту­ру ядер и за­ко­ны их ра­дио­ак­тив­но­го рас­па­да, про­ис­хо­ж­де­ние хи­мич. эле­мен­тов и эво­лю­цию звёзд, вклю­чая взры­вы но­вых и сверх­но­вых звёзд, а так­же ис­точ­ник энер­гии Солн­ца. К. м. объ­яс­ни­ла смысл пе­рио­дич. сис­те­мы эле­мен­тов, при­ро­ду хи­мич. свя­зи и строе­ние кри­с­тал­лов, те­п­ло­ём­кость и маг­нит­ные свой­ст­ва ве­ществ, яв­ле­ния сверх­про­во­ди­мо­сти и сверх­те­ку­че­сти и др. К. м. – фи­зич. ос­но­ва мно­го­числ. тех­нич. при­ло­же­ний: спек­траль­но­го ана­ли­за, ла­зе­ра, тран­зи­с­то­ра и ком­пь­ю­те­ра, ядер­но­го ре­ак­то­ра и атом­ной бом­бы и т. д.

Свой­ст­ва ме­тал­лов, ди­элект­ри­ков, по­лу­про­вод­ни­ков и др. ве­ществ в рам­ках К. м. так­же по­лу­ча­ют ес­теств. объ­яс­не­ние. В кри­стал­лах ато­мы со­вер­ша­ют око­ло по­ло­же­ний рав­но­ве­сия ма­лые ко­ле­ба­ния с час­то­той $\omega$, ко­то­рым со­пос­тав­ля­ют­ся кван­ты ко­ле­ба­ний кри­стал­лич. ре­шёт­ки и со­от­вет­ст­вую­щие им ква­зи­ча­сти­цы – фо­но­ны с энер­ги­ей $E=\hbar \omega$. Те­п­ло­ём­кость кри­стал­ла в зна­чит. сте­пе­ни оп­ре­де­ля­ет­ся те­п­ло­ём­ко­стью га­за его фо­но­нов, а его те­п­ло­про­вод­ность мож­но трак­то­вать как те­п­ло­про­вод­ность фо­нон­но­го га­за. В ме­тал­лах элек­тро­ны про­во­ди­мо­сти пред­став­ля­ют со­бой газ фер­мио­нов, а их рас­сея­ние на фо­но­нах яв­ля­ет­ся осн. при­чи­ной элек­трич. со­про­тив­ле­ния про­вод­ни­ков, а так­же объ­яс­ня­ет по­до­бие те­п­ло­вых и элек­трич. свойств ме­тал­лов (см. Ви­де­ма­на – Фран­ца за­кон). В маг­ни­то­упо­ря­до­чен­ных струк­ту­рах воз­ни­ка­ют ква­зи­ча­сти­цы – маг­но­ны, ко­то­рым со­от­вет­ст­ву­ют спи­но­вые вол­ны, в кван­то­вых жид­ко­стях воз­ни­ка­ют кван­ты вра­ща­тель­но­го воз­бу­ж­де­ния – ро­то­ны, а маг­нит­ные свой­ст­ва ве­ществ оп­реде­ля­ют­ся спи­на­ми элек­тро­нов и ядер (см. Маг­не­тизм). Взаи­мо­дей­ст­вие спи­нов элек­тро­нов и ядер с маг­нит­ным по­лем – ос­но­ва прак­тич. при­ло­же­ний яв­ле­ний элек­трон­но­го па­ра­маг­нит­но­го и ядер­но­го маг­нит­но­го ре­зо­нан­сов, в част­но­сти в мед. то­мо­гра­фах.

Упо­ря­до­чен­ная струк­ту­ра кри­стал­лов по­ро­ж­да­ет до­пол­нит. сим­мет­рию га­миль­то­ниа­на по от­но­ше­нию к сдви­гу $x \to x+a$, где $a$ – пе­ри­од кри­стал­лич. ре­шёт­ки. Учёт пе­рио­дич. струк­ту­ры кван­то­вой сис­те­мы при­во­дит к рас­ще­п­ле­нию её энер­ге­тич. спек­тра на раз­ре­шён­ные и за­пре­щён­ные зо­ны. Та­кая струк­ту­ра уров­ней энер­гии ле­жит в ос­но­ве ра­бо­ты тран­зи­сто­ров и всей ба­зи­рую­щей­ся на них элек­тро­ни­ки (те­ле­ви­зор, ком­пь­ю­тер, со­то­вый те­ле­фон и др.). В нач. 21 в. дос­тиг­ну­ты су­ще­ст­вен­ные ус­пе­хи в соз­да­нии кри­стал­лов с за­дан­ны­ми свой­ст­ва­ми и струк­ту­рой энер­ге­тич. зон (сверх­ре­шёт­ки, фо­тон­ные кри­стал­лы и ге­те­ро­ст­рук­ту­ры: кван­то­вые точ­ки, кван­то­вые ни­ти, на­нот­руб­ки и др.).

При по­ни­же­нии темп-ры не­ко­то­рые ве­ще­ст­ва пе­ре­хо­дят в со­стоя­ние кван­то­вой жид­ко­сти, энер­гия ко­то­рой при темп-ре $T \to 0$ при­бли­жа­ет­ся к энер­гии ну­ле­вых ко­ле­ба­ний сис­те­мы. В не­ко­то­рых ме­тал­лах при низ­ких темп-рах об­ра­зу­ют­ся ку­пе­ров­ские па­ры – сис­те­мы из двух элек­т­ро­нов с про­ти­во­по­лож­ны­ми спи­на­ми и им­пуль­са­ми. При этом элек­трон­ный газ фер­мио­нов транс­фор­ми­ру­ет­ся в газ бо­зо­нов, что вле­чёт за со­бой бо­зе-кон­ден­са­цию, ко­то­рая объ­яс­ня­ет яв­ле­ние сверх­про­во­ди­мо­сти.

При низ­ких темп-рах дли­на вол­ны де Брой­ля те­п­ло­вых дви­же­ний ато­мов ста­но­вит­ся срав­ни­мой с меж­атом­ны­ми рас­стоя­ния­ми и воз­ни­ка­ет кор­ре­ля­ция фаз вол­но­вых функ­ций мн. час­тиц, что при­во­дит к мак­ро­ско­пич. кван­то­вым эф­фек­там (эф­фект Джо­зеф­со­на, кван­то­ва­ние маг­нит­но­го по­то­ка, дроб­ный кван­то­вый эф­фект Хол­ла, ан­д­ре­ев­ское от­ра­же­ние).

На ос­но­ве кван­то­вых яв­ле­ний соз­да­ны наи­бо­лее точ­ные кван­то­вые эта­ло­ны разл. фи­зич. ве­ли­чин: час­то­ты (ге­лий-не­оно­вый ла­зер), элек­трич. на­пря­же­ния (эф­фект Джо­зеф­со­на), со­про­тив­ле­ния (кван­то­вый эф­фект Хол­ла) и т. д., а так­же при­бо­ры для разл. пре­цизи­он­ных из­ме­ре­ний: скви­ды, кван­то­вые ча­сы, кван­то­вый ги­ро­скоп и т. д.

К. м. воз­ник­ла как тео­рия для объ­яс­не­ния спе­ци­фич. яв­ле­ний атом­ной фи­зи­ки (её вна­ча­ле так и на­зы­ва­ли: атом­ная ди­на­ми­ка), но по­сте­пен­но ста­ло яс­но, что К. м. об­ра­зу­ет так­же ос­но­ву всей суб­атом­ной фи­зи­ки, и все её осн. по­ня­тия при­ме­ни­мы для опи­са­ния яв­ле­ний фи­зи­ки яд­ра и эле­мен­тар­ных час­тиц. Пер­во­на­чаль­ная К. м. бы­ла не­ре­ля­ти­вист­ской, т. е. опи­сы­ва­ла дви­же­ние сис­тем со ско­ро­стя­ми мно­го мень­ши­ми ско­ро­сти све­та. Взаи­мо­дей­ст­вие час­тиц в этой тео­рии по-преж­не­му опи­сы­ва­лось в клас­сич. тер­ми­нах. В 1928 П. Ди­рак на­шёл ре­ля­ти­ви­ст­ское урав­не­ние К. м. (урав­не­ние Ди­ра­ка), ко­то­рое при со­хра­не­нии всех её по­ня­тий учи­ты­ва­ло тре­бо­ва­ния тео­рии от­но­си­тель­но­сти. Кро­ме то­го, был раз­вит фор­ма­лизм вто­рич­но­го кван­то­ва­ния, ко­то­рый опи­сы­ва­ет ро­ж­де­ние и унич­то­же­ние час­тиц, в ча­ст­но­сти ро­ж­де­ние и по­гло­ще­ние фо­то­нов в про­цес­сах из­лу­че­ния. На этой ос­но­ве воз­ник­ла кван­то­вая элек­тро­ди­на­ми­ка, ко­то­рая по­зво­ли­ла с боль­шой точ­но­стью рас­счи­ты­вать все свой­ст­ва сис­тем с элек­тро­маг­нит­ным взаи­мо­дей­ст­ви­ем. В даль­ней­шем она раз­ви­лась в кван­то­вую тео­рию по­ля, объ­е­ди­няю­щую в еди­ном фор­ма­лиз­ме час­ти­цы и по­ля, по­сред­ст­вом ко­то­рых они взаи­мо­дей­ст­ву­ют.

Для опи­са­ния эле­мен­тар­ных час­тиц и их взаи­мо­дей­ст­вий ис­поль­зу­ют­ся все осн. по­ня­тия К. м.: ос­та­ёт­ся спра­вед­ли­вым дуа­лизм вол­на-час­ти­ца, со­хра­ня­ет­ся язык опе­ра­то­ров и кван­то­вых чи­сел, ве­ро­ят­но­ст­ная трак­тов­ка на­блю­дае­мых яв­ле­ний и т. д. В ча­ст­но­сти, для объ­яс­не­ния взаи­мо­пре­вра­ще­ния трёх ти­пов ней­три­но: $\nu_e$, $\nu_\mu$ и $\nu_\tau$ (ос­цил­ля­ции ней­три­но), а так­же ней­траль­ных K-ме­зо­нов ис­поль­зу­ет­ся прин­цип су­пер­по­зи­ции со­стоя­ний.

Интерпретация квантовой механики

Спра­вед­ли­вость урав­не­ний и за­клю­че­ний К. м. мно­го­крат­но под­твер­жде­на мно­го­числ. опы­та­ми. Сис­те­ма её по­ня­тий, соз­дан­ная тру­да­ми Н. Бо­ра, его уче­ни­ков и по­сле­до­ва­те­лей, из­вест­ная как «ко­пен­га­ген­ская ин­тер­пре­та­ция», яв­ля­ет­ся ны­не об­ще­при­ня­той, хо­тя ряд соз­да­те­лей К. м. (М. Планк, А. Эйн­штейн и Э. Шрё­дин­гер и др.) до кон­ца жиз­ни ос­та­лись в убе­ж­де­нии, что К. м. – не­за­вер­шён­ная тео­рия. Спе­ци­фич. труд­ность вос­при­я­тия К. м. обу­слов­ле­на, в ча­ст­но­сти, тем об­стоя­тель­ст­вом, что бóльшая часть её осн. по­ня­тий (вол­на, час­ти­ца, на­блю­де­ние и т. д.) взя­ты из клас­сич. фи­зи­ки. В К. м. их смысл и об­ласть при­ме­ни­мо­сти ог­ра­ни­че­ны в си­лу ко­неч­но­сти кван­та дей­ст­вия $h$, а это, в свою оче­редь, по­тре­бо­ва­ло ре­ви­зии ус­то­яв­ших­ся по­ло­же­ний фи­ло­со­фии по­зна­ния.

Пре­ж­де все­го в К. м. из­ме­нил­ся смысл по­ня­тия «на­блю­де­ние». В клас­сич. фи­зи­ке пред­по­ла­га­ли, что воз­му­ще­ния изу­чае­мой сис­те­мы, вы­зван­ные про­цес­сом из­ме­ре­ния, мо­гут быть кор­рект­но уч­те­ны, по­сле че­го мож­но вос­ста­но­вить ис­ход­ное со­стоя­ние сис­те­мы, не­за­ви­си­мое от средств на­блю­де­ния. В К. м. со­от­но­ше­ние не­оп­ре­де­лён­но­стей ста­вит на этом пу­ти прин­ци­пи­аль­ный пре­дел, ко­то­рый ни­как не свя­зан с ис­кус­ст­вом экс­пе­ри­мен­та­то­ра и тон­ко­стью ис­поль­зуе­мых ме­то­дов на­блю­де­ния. Квант дей­ст­вия $h$ оп­ре­де­ля­ет гра­ни­цы К. м., по­доб­но ско­ро­сти све­та в тео­рии элек­тро­маг­нит­ных яв­ле­ний или аб­со­лют­но­му ну­лю темп-р в тер­мо­ди­на­ми­ке.

При­чи­ну не­при­ятия со­от­но­ше­ния не­оп­ре­де­лён­но­стей и спо­соб пре­одо­ле­ния труд­но­стей вос­при­ятия его ло­гич. след­ст­вий пред­ло­жил Н. Бор в кон­цеп­ции до­пол­ни­тель­но­сти (см. До­пол­ни­тель­но­сти прин­цип). Со­глас­но Бо­ру, для пол­но­го и аде­к­ват­но­го опи­са­ния кван­то­вых яв­ле­ний не­об­хо­ди­ма па­ра до­пол­нит. по­ня­тий и со­от­вет­ст­вую­щая им па­ра на­блю­дае­мых. Для из­ме­ре­ния этих на­блю­дае­мых не­об­хо­ди­мы два раз­ных ти­па при­бо­ров с не­со­вмес­ти­мы­ми свой­ст­ва­ми. Напр., для точ­но­го из­ме­ре­ния ко­ор­ди­на­ты ну­жен ста­биль­ный, мас­сив­ный при­бор, а для из­ме­ре­ния им­пуль­са, на­обо­рот, лёг­кий и чув­ст­ви­тель­ный. Оба эти при­бо­ра не­со­вмес­ти­мы, но они до­пол­ни­тель­ны в том смыс­ле, что обе ве­ли­чи­ны, из­ме­ряе­мые ими, рав­но не­об­хо­ди­мы для пол­ной ха­рак­те­ри­сти­ки кван­то­во­го объ­ек­та или яв­ле­ния. Бор объ­яс­нил, что «яв­ле­ние» и «на­блю­де­ние» – до­пол­нит. по­ня­тия и не мо­гут быть оп­ре­де­ле­ны по­рознь: про­цесс на­блю­де­ния уже есть не­кое яв­ле­ние, а без на­блю­де­ния яв­ле­ние есть «вещь в се­бе». В дей­ст­ви­тель­но­сти мы все­гда име­ем де­ло не с яв­ле­ни­ем са­мим по се­бе, а с ре­зуль­та­том на­блю­де­ния яв­ле­ния, и ре­зуль­тат этот за­ви­сит в т. ч. от вы­бо­ра ти­па при­бо­ра, ис­поль­зуе­мо­го для из­ме­ре­ния ха­рак­те­ри­стик кван­то­во­го объ­ек­та. Ре­зуль­та­ты та­ких на­блю­де­ний К. м. объ­яс­ня­ет и пред­ска­зы­ва­ет без вся­ко­го про­из­во­ла.

Важ­ное от­ли­чие кван­то­вых урав­не­ний от клас­си­че­ских со­сто­ит так­же в том, что вол­но­вая функ­ция кван­то­вой сис­те­мы са­ма не на­блю­дае­ма, а все ве­ли­чи­ны, вы­чис­лен­ные с её по­мо­щью, име­ют ве­ро­ят­но­ст­ный смысл. Кро­ме то­го, по­ня­тие ве­ро­ят­но­сти в К. м. в кор­не от­ли­ча­ет­ся от при­выч­но­го по­ни­ма­ния ве­ро­ят­но­сти как ме­ры на­ше­го не­зна­ния де­та­лей про­цес­сов. Ве­ро­ят­ность в К. м. – это внутр. свой­ст­во ин­ди­ви­ду­аль­но­го кван­то­во­го яв­ле­ния, при­су­щее ему из­на­чаль­но и не­за­ви­си­мо от из­ме­ре­ний, а не спо­соб пред­став­ле­ния ре­зуль­та­тов из­ме­ре­ний. В со­от­вет­ст­вии с этим прин­цип су­пер­по­зи­ции в К. м. от­но­сит­ся не к ве­ро­ят­но­стям, а к ам­пли­ту­дам ве­ро­ят­но­сти. Кро­ме то­го, в си­лу ве­ро­ят­но­ст­но­го ха­рак­те­ра со­бы­тий су­пер­по­зи­ция кван­то­вых со­стоя­ний мо­жет вклю­чать в се­бя со­стоя­ния, не­со­в­ме­с­ти­мые с клас­сич. точ­ки зре­ния, напр. со­стоя­ния от­ра­жён­но­го и про­шед­ше­го фо­то­нов на гра­ни­це по­лу­про­зрач­но­го эк­ра­на или аль­тер­на­тив­ные со­стоя­ния элек­тро­на, про­хо­дя­ще­го че­рез лю­бую из ще­лей в зна­ме­ни­том ин­тер­фе­рен­ци­он­ном опы­те.

Не­при­ятие ве­ро­ят­но­ст­ной трак­тов­ки К. м. по­ро­ди­ло мас­су по­пы­ток мо­ди­фи­ци­ро­вать осн. по­ло­же­ния К. м. Од­на из та­ких по­пы­ток – вве­де­ние в К. м. скры­тых па­ра­мет­ров, ко­то­рые из­ме­ня­ют­ся в со­от­вет­ст­вии со стро­ги­ми за­ко­на­ми при­чин­но­сти, а ве­ро­ят­но­ст­ный ха­рак­тер опи­са­ния в К. м. воз­ни­ка­ет как ре­зуль­тат ус­ред­не­ния по этим па­ра­мет­рам. До­ка­за­тель­ст­во не­воз­мож­но­сти вве­де­ния в К. м. скры­тых па­ра­мет­ров без на­ру­ше­ния сис­те­мы её по­сту­ла­тов бы­ло да­но Дж. фон Ней­ма­ном ещё в 1929. Бо­лее де­таль­ный ана­лиз сис­те­мы по­сту­ла­тов К. м. был пред­при­нят Дж. Бел­лом в 1965. Экс­пе­рим. про­вер­ка т. н. не­ра­венств Бел­ла (1972) ещё раз под­твер­ди­ла об­ще­при­ня­тую схе­му кван­то­вой ме­ха­ни­ки.

Ны­не К. м. пред­став­ля­ет со­бой за­кон­чен­ную тео­рию, ко­то­рая все­гда да­ёт пра­виль­ные пред­ска­за­ния в гра­ни­цах её при­ме­ни­мо­сти. Все из­вест­ные по­пыт­ки её мо­ди­фи­ка­ции (их из­вест­но око­ло де­ся­ти) не из­ме­ни­ли её струк­ту­ры, но по­ло­жи­ли на­ча­ло но­вым от­рас­лям на­ук о кван­то­вых яв­ле­ни­ях: кван­то­вой элек­тро­ди­на­ми­ке, кван­то­вой тео­рии по­ля, тео­рии элек­тро­сла­бо­го взаи­мо­дей­ст­вия, кван­то­вой хро­мо­ди­на­ми­ке, кван­то­вой тео­рии гра­ви­та­ции, тео­рии струн и су­пер­струн и др.

К. м. сто­ит в ря­ду та­ких дос­ти­же­ний нау­ки, как клас­сич. ме­ха­ни­ка, уче­ние об элек­три­че­ст­ве, тео­рия от­но­си­тель­но­сти и ки­не­тич. тео­рия. Ни од­на фи­зич. тео­рия не объ­яс­ни­ла та­ко­го ши­ро­ко­го кру­га фи­зич. яв­ле­ний при­ро­ды: из 94 Но­бе­лев­ских пре­мий по фи­зи­ке, при­су­ж­дён­ных в 20 в., толь­ко 12 не свя­за­ны на­пря­мую с кван­то­вой фи­зи­кой. Зна­че­ние К. м. во всей сис­те­ме зна­ний об ок­ру­жаю­щей при­ро­де вы­хо­дит да­ле­ко за рам­ки уче­ния о кван­то­вых яв­ле­ни­ях: она соз­да­ла язык об­ще­ния в совр. фи­зи­ке, хи­мии и да­же био­ло­гии, при­ве­ла к пе­ре­смот­ру фи­ло­со­фии нау­ки и тео­рии по­зна­ния, а её тех­но­ло­гич. след­ст­вия до сих пор оп­ре­де­ля­ют на­прав­ле­ние раз­ви­тия совр. ци­ви­ли­за­ции.