ВО́ЛНЫ

  • рубрика

    Рубрика: Физика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 5. Москва, 2006, стр. 645-649

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Н. С. Степанов

ВО́ЛНЫ, из­ме­не­ния во вре­ме­ни (воз­му­ще­ния) к.-л. фи­зич. па­ра­мет­ров сре­ды (по­лей), рас­про­стра­няю­щие­ся в про­стран­ст­ве и пе­ре­но­ся­щие энер­гию и ин­фор­ма­цию. Вол­но­вые про­цес­сы разл. при­ро­ды иг­ра­ют ис­клю­чи­тель­но важ­ную роль в при­ро­де и жиз­ни че­ло­ве­ка. Так, по­сту­паю­щая от Солн­ца на Зем­лю энер­гия пе­ре­но­сит­ся в осн. элек­тро­маг­нит­ны­ми В. разл. диа­па­зо­на. Бла­го­да­ря све­то­во­му и ра­дио­из­лу­че­нию мы по­лу­ча­ем ин­фор­ма­цию об уда­лён­ных кос­мич. объ­ек­тах, в т. ч. на­хо­дя­щих­ся «на краю Все­лен­ной». Вол­но­вой ха­рак­тер име­ют элек­трич. им­пуль­сы, рас­про­стра­няю­щие­ся по нерв­ным во­лок­нам жи­вых ор­га­низ­мов (см. Нерв­ный им­пульс). Мик­ро­объ­ек­ты, изу­чае­мые в кван­то­вой фи­зи­ке, об­ла­да­ют свой­ст­ва­ми не толь­ко час­тиц, но и волн (см. Кор­пус­ку­ляр­но-вол­но­вой дуа­лизм, Вол­ны де Брой­ля).

Рис. 1. Продольная (а) и поперечная (б) волны.

Наи­бо­лее при­выч­ны­ми с древ­ней­ших вре­мён яв­ля­ют­ся вол­ны на по­верх­но­сти жид­ко­сти, для ко­то­рых ха­рак­тер­но пе­ре­ме­ще­ние ко­ле­ба­ний её уров­ня, хо­тя са­ма жид­кость в це­лом мо­жет ос­та­вать­ся не­под­виж­ной. В объ­ё­мах жид­ко­стей и га­зов мо­гут рас­про­стра­нять­ся про­доль­ные уп­ру­гие вол­ны сжа­тия и раз­ре­же­ния (аку­сти­че­ские вол­ны, в т. ч. зву­ко­вые), в ко­то­рых сме­ще­ния час­тиц сре­ды про­ис­хо­дят вдоль на­прав­ле­ния рас­про­стра­не­ния В. (рис. 1а). В твёр­дых сре­дах мо­гут су­ще­ст­во­вать так­же и по­пе­реч­ные В., в ко­то­рых сме­ще­ния про­ис­хо­дят по­пе­рёк на­прав­ле­ния рас­про­стра­не­ния вол­ны (рис. 1б). Та­кие В. обо­их ти­пов, про­ни­зы­ваю­щие всю тол­щу Зем­ли, воз­ни­ка­ют при зем­ле­тря­се­ни­ях. По­пе­реч­ны­ми яв­ля­ют­ся и из­гиб­ные вол­ны в стру­нах и стерж­нях. Не­об­хо­ди­мое ус­ло­вие рас­про­стра­не­ния вол­но­вых дви­же­ний с ко­неч­ной ско­ро­стью – на­ли­чие инер­ции сре­ды и ло­каль­ной (близ­ко­дей­ст­вую­щей) свя­зи ме­ж­ду из­ме­не­ния­ми па­ра­мет­ров в со­сед­них её точ­ках, при­во­дя­щей к по­яв­ле­нию воз­врат­ной си­лы. Так, в слу­чае про­доль­ных В. сжа­тие сре­ды в не­ко­то­рой об­лас­ти при­во­дит к по­вы­ше­нию дав­ле­ния в ней и пе­ре­да­че дви­же­ния в со­сед­ние об­лас­ти. Уп­ру­гие вол­ны и вол­ны на по­верх­но­сти жид­ко­сти фак­ти­че­ски яв­ля­ют­ся рас­про­стра­няю­щим­ся воз­му­ще­ни­ем сре­ды (от­кло­не­нием от со­стоя­ния рав­но­ве­сия), од­на­ко элек­тро­маг­нит­ные вол­ны (свет, ра­дио­вол­ны и др.), пред­став­ляю­щие со­бой взаи­мо­свя­зан­ные про­стран­ст­вен­но-вре­мен­ные из­ме­не­ния элек­трич. и маг­нит­ных по­лей, по­пе­реч­ных к на­прав­ле­нию рас­про­стра­не­ния, су­ще­ст­ву­ют и в ва­куу­ме. Об­щая тео­рия от­но­си­тель­но­сти пред­ска­зы­ва­ет так­же воз­мож­ность рас­про­стра­не­ния в ва­куу­ме гра­ви­та­ци­он­ных волн.

Во всех слу­ча­ях, ко­гда пе­ре­нос вол­но­вых воз­му­ще­ний от од­ной точ­ки про­стран­ст­ва к дру­гой про­ис­хо­дит в ре­зуль­та­те при­чин­но-след­ст­вен­ных свя­зей ме­ж­ду по­ля­ми в этих точ­ках, ско­рость их рас­про­стра­не­ния не мо­жет пре­вы­шать ско­рость све­та $c$ в ва­куу­ме. Од­на­ко при ис­поль­зо­ва­нии ис­точ­ни­ков, спе­ци­аль­но рас­по­ло­жен­ных вдоль не­ко­то­рой ли­нии, мож­но соз­да­вать воз­му­ще­ния, пе­ре­ме­щаю­щие­ся вдоль неё со сколь угод­но боль­шой (в т. ч. сверх­све­то­вой) ско­ро­стью. В чис­то ки­не­ма­тич. смыс­ле та­кие про­цес­сы ино­гда то­же на­зы­ва­ют В., но при этом не про­ис­хо­дит пе­ре­но­са энер­гии и в ди­на­мич. смыс­ле по­доб­ный про­цесс В. не яв­ля­ет­ся.

Бегущие волны, фазовая и групповая скорости

Про­стей­шим и ти­пич­ным при­ме­ром вол­но­вых дви­же­ний яв­ля­ют­ся бе­гу­щие вол­ны, в ко­то­рых со­от­вет­ст­вую­щая ди­на­мич. пе­ре­мен­ная $s$ (напр., дав­ле­ние в зву­ко­вой В.) за­ви­сит от вре­ме­ни $t$ и од­ной про­стран­ст­вен­ной ко­ор­ди­на­ты $x$ по за­ко­ну:$$s(x, t) = F(x - vt),$$где $F$ – про­из­воль­ная функ­ция. Ве­ли­чина $s$ ос­та­ёт­ся по­сто­ян­ной при $x-vt=const$, и весь про­филь В. пе­ре­ме­ща­ется вдоль оси $x$ без ис­ка­же­ний со ско­ро­стью $v=\Delta x/\Delta t$; та­кие В. на­зы­ва­ют­ся ста­цио­нар­ны­ми. Зна­че­ние $v$ за­ви­сит от кон­крет­ной вол­но­вой сис­те­мы; так, для элек­тро­маг­нит­ных В. в изо­троп­ной не­про­во­дя­щей сре­де $v=c/(e\mu )^{1/2}$, где $e$  и $\mu $ – ди­элек­три­че­ская и маг­нит­ная про­ни­цае­мо­сти сре­ды, а в жид­ко­стях и га­зах ско­рость зву­ка оп­ре­де­ля­ет­ся их адиа­ба­тич. сжи­мае­мо­стью. Вы­ра­же­ние $s(x, t)$ яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем вол­но­во­го урав­не­ния$$d^2s/dx^2-v^{–2}d^2s/dt^2=0,$$на­зы­вае­мо­го в од­но­мер­ном слу­чае урав­не­ни­ем Д’Аламбера.

Про­стран­ст­вен­но-вре­мен­на́я струк­ту­ра ре­аль­ных вол­но­вых по­лей мо­жет быть раз­но­об­раз­ной – в ви­де отд. им­пуль­сов, цу­гов (ог­ра­ни­чен­но­го ря­да по­вто­ряю­щих­ся воз­му­ще­ний) и дос­та­точ­но близ­кой к пе­рио­ди­че­ской. Осо­бо важ­ное зна­че­ние име­ют и на­хо­дят ши­ро­кое при­ме­не­ние В., близ­кие к си­ну­сои­даль­ным (на­зы­вае­мым гар­мо­ни­че­ски­ми), ко­гда ха­рак­те­ри­зую­щая вол­но­вое по­ле ди­на­мич. ве­ли­чи­на опи­сы­ва­ет­ся вы­ра­же­ни­ем:$$s(x,t)=A\sin φ(x,t),\\φ(x,t)=ωt-kx+φ_0,$$где $A$ – ам­пли­ту­да (наи­боль­шее сме­ще­ние от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия), $φ_0$ – на­чаль­ная фа­за вол­ны, $ω=2π/T$ – уг­ло­вая час­то­та ко­ле­ба­ний, $𝑘=2π/λ$ – вол­но­вое чис­ло, $λ$ – дли­на вол­ны (рас­стоя­ние ме­ж­ду со­сед­ни­ми мак­си­му­ма­ми или ми­ни­му­ма­ми), $T$ – пе­ри­од (вре­мя, за ко­то­рое со­вер­ша­ет­ся пол­ный цикл ко­ле­ба­ний). Точ­ки с по­сто­ян­ной фа­зой $φ (x,t)=const$ (вол­но­вой фронт) при этом пе­ре­ме­ща­ют­ся в про­стран­ст­ве с фа­зо­вой ско­ро­стью $v_ф=ω/𝑘=λ/T$. Имея в ви­ду по­доб­ные «бе­гу­щие» ко­ле­ба­тель­ные струк­ту­ры, вол­ну ино­гда оп­ре­де­ля­ют как распро­стра­няю­щие­ся ко­ле­ба­ния. Во мно­гих вол­но­вых сис­те­мах зна­че­ние $v$ раз­лич­но на раз­ных час­то­тах (име­ет ме­сто диспер­сия волн), за­ви­си­мость $v(ω)$ или эк­ви­ва­лент­ное ей со­от­но­ше­ние $ω(𝑘)$ на­зыва­ет­ся дис­пер­си­он­ным урав­не­ни­ем. Для элек­тро­маг­нит­ных В. дис­пер­сия оп­ре­де­ля­ет­ся час­тот­ной за­ви­си­мо­стью па­ра­мет­ров $ε$ и $μ$ сре­ды; в ва­куу­ме $ε=μ=1$ и дис­пер­сии нет (ско­рость В. не за­ви­сит от их час­то­ты и рав­на $c$). Для волн в плаз­ме, од­на­ко, эта дис­пер­сия весь­ма су­ще­ст­вен­на. В боль­шин­ст­ве жид­ко­стей дис­пер­сия аку­стич. В. дос­та­точ­но ма­ла. Длин­ные по­верх­но­ст­ные В. на «мел­кой во­де» (глу­би­на слоя жид­ко­сти $<λ$) рас­про­стра­ня­ют­ся бы­ст­рее ко­рот­ких. Это спра­вед­ли­во и для воз­ни­каю­щих при зем­ле­тря­се­ни­ях мощ­ных В. – цу­на­ми.

В об­щем слу­чае фа­зу пло­ских В. мож­но за­пи­сать в ви­де: $φ(r,t)=ωt-𝑘r$, где $𝑘$ – вол­но­вой век­тор, пер­пен­ди­ку­ляр­ный фрон­ту вол­ны, $r$ – ра­ди­ус-век­тор точ­ки про­стран­ст­ва.

Ис­поль­зуе­мые на прак­ти­ке В. (сиг­на­лы) не яв­ля­ют­ся стро­го гар­мо­ни­че­ски­ми: ли­бо ам­пли­ту­да, ли­бо фа­за, ли­бо час­тота их плав­но из­ме­ня­ют­ся в мас­шта­бах $T$ и $λ$ (мо­ду­ли­ру­ют­ся; см. Мо­ду­ля­ция ко­ле­ба­ний и волн), при­чём пе­ре­но­си­мая сиг­на­лом ин­фор­ма­ция ко­ди­ру­ет­ся имен­но за­ко­ном мо­ду­ля­ции. В дис­пер­ги­рую­щей сре­де раз­ли­чие фа­зо­вых ско­ро­стей отд. спек­траль­ных со­став­ляю­щих при­во­дит к то­му, что оги­баю­щая сиг­нала в об­щем слу­чае рас­про­стра­ня­ет­ся с т. н. груп­по­вой ско­ро­стью, от­лич­ной от фа­зо­вой ско­ро­сти на не­су­щей час­то­те $ω$: $v_{гр}=dω/d𝑘=v-λdv/dλ.$

Имен­но груп­по­вая ско­рость В. пред­став­ля­ет со­бой ре­аль­ную ско­рость рас­про­стра­не­ния сиг­на­ла, в т. ч. пе­ре­но­са энер­гии, и ре­ля­ти­ви­ст­ское ог­ра­ни­че­ние от­но­сит­ся имен­но к ней ($v_{гр} < c$); фа­зо­вая же ско­рость В. в прин­ци­пе мо­жет пре­вы­шать ско­рость све­та. Воз­мож­ны и та­кие вол­но­вые сис­те­мы, ко­гда фа­зо­вая и груп­по­вая ско­ро­сти на­прав­ле­ны в про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны, та­кие В. на­зы­ва­ют­ся об­рат­ны­ми вол­на­ми.

В ли­ней­ных дис­пер­ги­рую­щих сис­те­мах фор­ма оги­баю­щей В. ос­та­ёт­ся не­из­мен­ной толь­ко на ог­ра­ни­чен­ных рас­стоя­ниях. На боль­ших рас­стоя­ни­ях на­чи­на­ют­ся ис­ка­же­ния; в ча­ст­но­сти, ко­рот­кие им­пуль­сы на­чи­на­ют рас­плы­вать­ся, т. к. раз­ные спек­траль­ные со­став­ляю­щие сиг­на­ла рас­про­стра­ня­ют­ся с разл. ско­ро­стью. На та­ких рас­стоя­ни­ях по­ня­тие груп­по­вой ско­ро­сти уже те­ря­ет фи­зич. смысл.

Интерференция волн

Рис. 2. Интерференция волн от двух точечных источников.

В. лю­бой при­ро­ды спо­соб­ны ин­тер­фе­ри­ро­вать. Под ин­тер­фе­рен­ци­ей по­ни­ма­ет­ся вза­им­ное уси­ле­ние или ос­лаб­ле­ние двух или боль­ше­го чис­ла В., пе­ре­кры­ваю­щих­ся в про­стран­ст­ве, в за­ви­си­мо­сти от со­от­но­ше­ния их фаз. Сум­мар­ная ин­тен­сив­ность двух гар­мо­ни­че­ских В. с оди­на­ко­вы­ми час­то­та­ми и ам­пли­ту­да­ми $A_1$ и $A_2$ в об­лас­ти их пе­ре­кры­ва­ния рав­на $$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos Δφ;$$раз­ность пол­ных фаз волн $Δφ$ раз­лич­на в раз­ных точ­ках про­стран­ст­ва. В тех точ­ках, где $Δφ=0$ (или крат­но це­ло­му чис­лу $2π$), ре­зуль­ти­рую­щая ам­пли­ту­да рав­на сум­ме ам­пли­туд ($A=A_1+A_2$), а в точ­ках с про­ти­во­по­лож­ны­ми фа­за­ми $∣A∣=∣A_2-A_1∣$, при $A_1=A_2$ в этих точ­ках од­на вол­на пол­но­стью «га­сит» дру­гую. В ре­зуль­та­те в про­стран­ст­ве об­ра­зу­ют­ся по­верх­но­сти ми­ни­му­мов и мак­си­му­мов ин­тен­сив­но­сти ко­ле­ба­ний (рис. 2), струк­ту­ра ко­то­рых за­ви­сит от фор­мы фа­зо­вых фрон­тов ин­тер­фе­ри­рую­щих волн. Фак­ти­че­ски это оз­на­ча­ет пе­ре­рас­пре­деле­ние энер­гии вол­но­во­го по­ля в про­стран­ст­ве. В ча­ст­но­сти, для двух пло­ских В. с оди­на­ко­вы­ми ам­пли­ту­да­ми и ну­ле­вы­ми на­чаль­ны­ми фа­за­ми, рас­про­стра­няю­щих­ся на­встре­чу друг дру­гу вдоль оси $x$, сум­мар­ное по­ле име­ет вид стоя­чей вол­ны:$$s(x,t)= 2A_1\cos kx\cos wt.$$В точ­ках $x=0$ или $mλ/2$ ($m$ – це­лое чис­ло) рас­по­ло­же­ны «пуч­но­сти» стоя­чей В., в них ам­пли­ту­да мак­си­маль­на и рав­на $2A$, на рас­стоя­нии $λ/4$ от них на­хо­дят­ся «уз­лы», где ам­пли­ту­да рав­на ну­лю. Для уп­ру­гих В. уз­лам вол­ны дав­ле­ния со­от­вет­ст­ву­ют пуч­но­сти ко­ле­ба­тель­ной ско­ро­сти, и на­обо­рот; уз­лы и пуч­но­сти элек­трич. и маг­нит­но­го по­лей элек­тро­маг­нит­ной В. так­же сдви­ну­ты на $λ/4$. По­это­му в стоя­чей В. в сред­нем не про­ис­хо­дит на­прав­лен­но­го пе­ре­но­са энер­гии.

Для на­блю­де­ния ин­тер­фе­рен­ци­он­ных кар­тин су­ще­ст­вен­ное зна­че­ние име­ет ко­ге­рент­ность волн. Фа­зы ре­аль­ных ис­точ­ни­ков и из­лу­чае­мых ими В. не­из­беж­но ис­пы­ты­ва­ют слу­чай­ные флук­туа­ции, и ес­ли вы­зван­ные ими ухо­ды раз­но­сти фаз $Δφ$ срав­ни­мы или пре­вы­ша­ют $π/2$, то по­ло­же­ния мак­си­му­мов и ми­ни­му­мов так­же хао­ти­че­ским об­ра­зом бу­дут пе­реме­щать­ся в про­стран­ст­ве. То­гда при инер­ци­он­ном на­блю­де­нии ин­тер­фе­рен­ци­он­ная кар­ти­на бу­дет раз­мы­вать­ся. В аку­стич. и ра­дио­диа­па­зо­нах обыч­но этот фак­тор ма­ло су­ще­ст­вен, од­на­ко в оп­тич. диа­па­зо­не си­туа­ция дру­гая. При ис­поль­зо­ва­нии ес­те­ств. ис­точ­ни­ков све­та вре­мя, в те­че­ние ко­то­ро­го фа­зу вол­ны мож­но счи­тать по­сто­ян­ной, при нор­маль­ных ус­ло­ви­ях со­став­ля­ет все­го 10–9–10–10 с. Кро­ме то­го, фа­за вол­ны ис­пы­ты­ва­ет так­же слу­чай­ные флук­туа­ции в плос­ко­сти фрон­та В. По­это­му ин­тер­фе­рен­цию све­та дол­го не уда­ва­лось на­блю­дать экс­пе­ри­мен­таль­но, и лишь в нач. 19 в. про­бле­му уда­лось впер­вые ре­шить, ис­поль­зуя ме­тод раз­де­ле­ния ис­точ­ни­ков (см. Ин­тер­фе­рен­ция све­та). С по­яв­ле­ни­ем ис­точ­ни­ков ко­ге­рент­но­го све­та – ла­зе­ров – соз­да­ние и на­блю­де­ние ин­тер­фе­рен­ции све­та не пред­став­ля­ет слож­но­сти.

Неоднородные среды, преломление и отражение волн

Рис. 3. Отражённая и преломлённая волны на плоской границе раздела двух сред.

Пло­ские бе­гу­щие В., стро­го го­во­ря, мо­гут су­ще­ст­во­вать толь­ко в од­но­род­ном про­стран­ст­ве. Ко­гда име­ет­ся рез­кая (в мас­шта­бе дли­ны вол­ны $λ$) гра­ни­ца раз­де­ла двух сред, воз­ни­ка­ет от­ра­же­ние волн и пре­лом­ле­ние волн (их про­ник­но­ве­ние во вто­рую сре­ду) (рис. 3). Ес­ли па­даю­щая В. и са­ма гра­ни­ца пло­ские, то пло­ски­ми бу­дут про­шед­шая и от­ра­жён­ная В. Связь па­ра­мет­ров этих В. оп­ре­де­ля­ет­ся гра­нич­ны­ми ус­ло­вия­ми, вы­те­каю­щи­ми из урав­не­ний ди­на­ми­ки со­от­вет­ст­вую­ще­го вол­но­во­го по­ля. В ча­ст­но­сти, для элек­тро­маг­нит­ных В. – это ус­ло­вия не­пре­рыв­но­сти тан­ген­ци­аль­ных ком­по­нент век­то­ров на­пря­жён­но­сти элек­трич. и маг­нит­но­го по­лей, в слу­чае уп­ру­гих В. – ус­ло­вия не­пре­рыв­но­сти дав­ле­ния и ко­ле­ба­тель­но­го сме­ще­ния час­тиц сре­ды по обе сто­ро­ны от гра­ни­цы. В изо­троп­ных сре­дах угол от­ра­же­ния $α_{отр}$ ра­вен уг­лу па­де­ния $α_0$, а угол пре­лом­ле­ния $α_{пр}$ удов­ле­тво­ря­ет за­ко­ну Снел­ла: $v_2sina_0=v_1sina_{пр}$. Для элек­тро­маг­нит­ных В. в не­про­во­дя­щей и не­маг­нит­ной сре­де ко­эф­фи­ци­ен­ты от­ра­же­ния и пре­лом­ле­ния оп­ре­де­ля­ют­ся Фре­не­ля фор­му­ла­ми. Эти ко­эф­фи­ци­ен­ты ока­зы­ва­ют­ся раз­лич­ны­ми для раз­ных по­ля­ри­за­ций па­даю­щей В. Ес­ли век­тор на­пря­жён­но­сти элек­трич. по­ля па­даю­щей В. ле­жит в плос­ко­сти па­де­ния, то при уг­ле па­де­ния $α_0$ та­ком, что вы­пол­ня­ет­ся ус­ло­вие $tga_0=n_2/n_1(n_1, n_2$ – по­ка­за­те­ли пре­лом­ле­ния сред), от­ра­жён­ная В. не воз­ни­ка­ет (см. Брю­сте­ра за­кон), то­гда как для дру­гой по­ля­ри­за­ции (элек­трич. по­ле пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти па­де­ния) от­ра­же­ние есть все­гда. В ре­зуль­та­те при от­ра­же­нии ме­ня­ет­ся ха­рак­тер по­ля­ри­за­ции В. В ани­зо­троп­ных сре­дах про­шед­шие В. раз­ных по­ля­ри­за­ций име­ют раз­ные уг­лы пре­лом­ле­ния (см. Двой­ное лу­че­пре­лом­ле­ние). Силь­ное влия­ние на от­ра­жа­тель­ную спо­соб­ность ма­те­риа­лов ока­зы­ва­ет их элек­трич. про­во­ди­мость; в ча­ст­но­сти, боль­шин­ст­во ме­тал­лов яв­ля­ют­ся хо­ро­ши­ми от­ра­жа­те­ля­ми в оп­тич. и ра­дио­диа­па­зо­нах.

По­сле­до­ва­тель­ные от­ра­же­ния В. в на­прав­ле­нии их рас­про­стра­не­ния от двух или боль­ше­го чис­ла по­верх­но­стей мо­гут при­вес­ти к их вол­но­вод­но­му рас­про­стра­не­нию. Вол­но­во­ды ши­ро­ко при­ме­ня­ют­ся в ра­дио- и оп­ти­че­ском диа­па­зо­нах, а так­же в аку­сти­ке. Ис­поль­зуя не­сколь­ко хо­ро­шо от­ра­жаю­щих по­верх­но­стей, мож­но соз­да­вать ре­зо­на­то­ры, вол­но­вое по­ле ко­то­рых замк­ну­то в ог­ра­ни­чен­ном объ­ё­ме. Про­стей­ший при­мер та­ко­го ре­зо­на­то­ра для элек­тро­маг­нит­ных В. (час­то при­ме­няе­мый в оп­тич. диа­па­зо­не, в т. ч. в ла­зе­рах) – ин­тер­фе­ро­метр Фаб­ри – Пе­ро, пред­став­ляю­щий со­бой сис­те­му из двух па­рал­лель­ных зер­кал, ме­ж­ду ко­то­ры­ми ус­та­нав­ли­ва­ет­ся стоя­чая вол­на. При иде­аль­но про­во­дя­щих зер­ка­лах на их по­верх­но­стях ока­зы­ва­ют­ся уз­лы элек­трич. по­ля, по­это­му внут­ри та­ко­го ре­зо­на­то­ра мо­гут су­ще­ст­во­вать лишь В. с дис­крет­ны­ми зна­че­ния­ми вол­но­во­го чис­ла.

Ес­ли же сре­да яв­ля­ет­ся плав­но не­од­но­род­ной, то вол­но­вое по­ле мож­но счи­тать «ква­зи­п­ло­ским» – на рас­стоя­ни­ях по­ряд­ка $λ$ из­ме­не­ния ам­пли­ту­ды $A$ и вол­но­во­го век­то­ра $𝑘$ бу­дут дос­та­точ­но ма­лы­ми. В та­ких слу­ча­ях ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся при­бли­же­ние гео­мет­ри­че­ской оп­ти­ки, в ос­но­ве ко­то­рой ле­жит пред­став­ле­ние вол­но­во­го по­ля в ви­де на­бо­ра не­за­ви­си­мых лу­чей. В изо­троп­ной сре­де на­прав­ле­ние лу­ча сов­па­да­ет с вол­но­вым век­то­ром $𝑘$, плав­ное пре­лом­ле­ние лу­ча в не­од­но­род­ной сре­де на­зы­ва­ет­ся ре­фрак­ци­ей. Тер­мин «гео­мет­ри­че­ская оп­ти­ка» обыч­но ис­поль­зу­ют не толь­ко для све­то­вых В., но и для В. лю­бой фи­зич. при­ро­ды (в аку­сти­ке ана­ло­гич­ное при­бли­же­ние на­зы­ва­ет­ся гео­мет­ри­че­ской аку­сти­кой). Реф­рак­ция В. в сре­де с плав­ным из­ме­не­ни­ем по­ка­за­те­ля пре­лом­ле­ния в по­пе­реч­ном на­прав­ле­нии так­же мо­жет при­вес­ти к вол­но­вод­но­му рас­про­стра­не­нию.

Волновые пучки. Дифракция волн

Рис. 4. Вверху – дифракция света от края экрана (виден сложный переход от света к тени); внизу – кривая, характеризующая освещённость пространства между светом и тенью (край экрана соответствует начал...

При нор­маль­ном па­де­нии пло­ской В. на не­про­зрач­ный эк­ран с от­вер­сти­ем $d$ за эк­ра­ном, со­глас­но за­ко­нам гео­мет­рич. оп­ти­ки, дол­жен рас­про­стра­нять­ся па­рал­лель­ный пу­чок ши­ри­ной $d$ с рез­кой гра­ни­цей све­та и те­ни. Од­на­ко не­за­ви­си­мо от фи­зич. при­ро­ды В. та­кой вы­вод ока­зы­ва­ет­ся спра­вед­ли­вым толь­ко до рас­стоя­ний от эк­ра­на по­ряд­ка $r < d^2/λ$ (эта об­ласть на­зы­ва­ет­ся ближ­ней зо­ной). На бо́льших рас­стоя­ни­ях пу­чок на­чи­на­ет ис­ка­жать­ся – вол­но­вое по­ле «за­те­ка­ет» в зо­ну гео­мет­рич. те­ни, а в «ос­ве­щён­ной» об­лас­ти по­яв­ля­ют­ся мак­си­му­мы и ми­ни­му­мы ин­тен­сив­но­сти. Эти яв­ле­ния, за­клю­чаю­щие­ся в от­кло­не­нии ре­аль­ных вол­но­вых по­лей от пред­ска­зы­вае­мых за­ко­на­ми гео­мет­рич. оп­ти­ки, на­зы­ва­ют­ся ди­фрак­ци­ей волн. При об­рат­ном не­ра­вен­ст­ве $r ≫ d^2/λ$ (ди­фрак­ция Фра­ун­го­фе­ра) вол­но­вой фронт ста­но­вит­ся ло­каль­но сфе­ри­че­ским с уг­ло­вой ши­ри­ной пуч­ка $α=λ/d$. При­чи­на ди­фрак­ци­он­ных ис­ка­же­ний пуч­ка за­клю­ча­ет­ся в том, что, в от­ли­чие от иде­аль­ной пло­ской В., ог­ра­ни­чен­ный по ши­ри­не пу­чок со­дер­жит в сво­ём про­стран­ст­вен­ном спек­тре па­кет вол­но­вых век­то­ров с уг­ло­вым раз­бро­сом по­ряд­ка $λ/d$. Для при­бли­жён­но­го рас­чё­та ди­фрак­ци­он­ных за­дач удо­бен и ши­ро­ко при­ме­ня­ет­ся Гюй­ген­са – Фре­не­ля прин­цип, со­глас­но ко­то­ро­му вол­но­вое по­ле в про­из­воль­ной точ­ке вне ис­точ­ни­ка мо­жет быть най­де­но в ви­де су­пер­по­зи­ции В. (с учё­том их ин­тер­фе­рен­ции) от вто­рич­ных ис­точ­ни­ков, рас­по­ла­гае­мых на замк­ну­той по­верх­но­сти, ок­ру­жаю­щей пер­вич­ный ис­точ­ник; ес­ли на пу­ти ме­ж­ду пер­вич­ной (ос­ве­щаю­щей) вол­ной и точ­кой на­блю­де­ния име­ет­ся не­про­зрач­ный эк­ран, ам­пли­ту­да вто­рич­ных ис­точ­ни­ков в со­от­вет­ст­вую­щих мес­тах при­ни­ма­ет­ся рав­ной ну­лю. На рис. 4 при­ве­де­на кар­ти­на, на­блю­дае­мая при ди­фрак­ции све­та от края не­про­зрач­но­го эк­ра­на. Ост­рые мак­си­му­мы, об­ра­зую­щие­ся при ди­фрак­ции Фра­ун­го­фе­ра, мож­но фор­ми­ро­вать, ис­поль­зуя ди­фрак­ци­он­ные ре­шёт­ки – пе­рио­дич. струк­туры из ще­лей или от­ра­жа­те­лей; та­кие решёт­ки ис­поль­зу­ют­ся в ка­че­ст­ве спек­траль­ных при­бо­ров. В бо­лее ши­ро­ком смыс­ле к ди­фрак­ци­он­ным от­но­сят­ся все эф­фек­ты, воз­ни­каю­щие при рас­про­стра­не­нии В. в сре­дах, со­дер­жа­щих лю­бые не­од­но­род­но­сти, в т. ч. ма­лые по срав­не­нию с $λ$.

Ди­фрак­ция ог­ра­ни­чи­ва­ет пре­дель­ные воз­мож­но­сти различных уст­ройств, ис­поль­зу­ю­щих вол­но­вое из­лу­че­ние, при­чём естеств. мас­шта­бом, оп­ре­де­ляю­щим эти пре­де­лы, яв­ля­ет­ся дли­на В. Так, сла­борас­хо­дя­щий­ся вол­но­вой пу­чок воз­мо­жен лишь, ес­ли его ши­ри­на на­мно­го пре­вы­ша­ет $λ$. Разл. фо­ку­си­рую­щие уст­рой­ст­ва (лин­зы, зер­ка­ла и их ком­би­на­ции) не мо­гут сфо­ку­си­ро­вать из­лу­че­ние в об­ласть раз­ме­ром, мень­шим $λ$ . Раз­ре­ша­ющая спо­соб­ность при­бо­ров, строя­щих изо­бра­же­ние, в т. ч. оп­тич. мик­ро­ско­пов, так­же ог­ра­ни­чи­ва­ет­ся дли­ной вол­ны, по­это­му для по­лу­че­ния изо­бра­же­ний бо­лее мел­ких струк­тур, раз­ме­ра­ми мень­ши­ми $λ$, ис­поль­зу­ет­ся элек­трон­ный мик­ро­скоп.

Излучение волн. Эффект Доплера

Ис­точ­ни­ка­ми В. мо­гут слу­жить лю­бые внеш­ние воз­дей­ст­вия, вы­во­дя­щие вол­но­вую сис­те­му (сре­ду, по­ле) из со­стоя­ния рав­но­ве­сия; при этом воз­бу­ж­дае­мые В. уно­сят с со­бой энер­гию, рас­хо­дуе­мую ис­точ­ни­ком. Ко­леб­лю­щее­ся в уп­ру­гой сре­де те­ло из­лу­ча­ет аку­сти­че­ские В., ис­точ­ни­ком элек­тро­маг­нит­ных В. яв­ля­ют­ся пе­ре­мен­ные то­ки, т. е. ус­ко­рен­но дви­жу­щие­ся за­ря­ды, напр. элек­трич. ди­поль с пе­рио­ди­че­ски из­ме­няю­щим­ся во вре­ме­ни ди­поль­ным мо­мен­том. В об­щем слу­чае энер­гия из­лу­че­ния рас­пре­де­ля­ет­ся по разл. на­прав­ле­ни­ям не­рав­но­мер­но.

Из­лу­че­ние В. воз­мож­но и при рав­но­мер­ном дви­же­нии тел, дви­жу­щих­ся в к.-л. сре­де со ско­ро­стью, пре­вы­шаю­щей ско­рость рас­про­стра­не­ния В. в этой сре­де. Так, дви­жу­щий­ся со сверх­зву­ко­вой ско­ро­стью ($v > v_{зв}$) са­мо­лёт или сна­ряд воз­бу­ж­да­ет удар­ные вол­ны, рас­про­стра­няю­щие­ся под уг­лом $θ=arccos(v_ф/v)$ к на­прав­ле­нию дви­же­ния те­ла (Ма­ха ко­нус). В сре­де без дис­пер­сии этот ко­нус оди­на­ков для всех час­тот, в ре­зуль­та­те на фрон­те та­кой вол­ны об­ра­зу­ет­ся рез­кий ска­чок дав­ле­ния – удар­ная вол­на. Та­кую же при­ро­ду име­ет «но­со­вая вол­на» на по­верх­но­сти во­ды, воз­ни­каю­щая при дви­же­нии су­дов. Элек­трич. за­ряд, дви­жу­щий­ся в ди­элек­трич. сре­де со сверх­све­то­вой ско­ро­стью $v > c/n$, из­лу­ча­ет элек­тро­маг­нит­ные В. (Ва­ви­ло­ва – Че­рен­ко­ва из­лу­че­ние). Из­лу­че­ние воз­мож­но и при $v < c/n$, ес­ли сре­да не­од­но­род­на; напр., ко­гда за­ряд пе­ре­се­ка­ет гра­ни­цу двух сред (т. н. пе­ре­ход­ное из­лу­че­ние).

Ес­ли ис­точ­ник В. и их при­ём­ник (на­блю­да­тель) не­под­виж­ны, то в ли­ней­ной сре­де час­то­та при­ни­мае­мых В. сов­па­да­ет с час­то­той ис­точ­ни­ка. Ес­ли же ис­точ­ник дви­жет­ся, то час­то­та В., при­ни­мае­мых не­под­виж­ным на­блю­да­те­лем, за­ви­сит от на­прав­ле­ния дви­же­ния ис­точ­ни­ка. При дви­же­нии ис­точ­ни­ка к не­под­виж­но­му на­блю­да­те­лю (или на­блю­да­те­ля к не­под­виж­но­му ис­точ­ни­ку) при­ни­мае­мая час­то­та $ω$ бу­дет боль­ше, чем час­то­та $ω_0$ при не­под­виж­ном ис­точ­ни­ке; при уда­ле­нии ис­точ­ни­ка от на­блю­да­те­ля час­то­та при­ни­мае­мо­го на­блю­да­те­лем из­лу­че­ния бу­дет мень­ше. Та­кое из­ме­не­ние час­то­ты при вза­им­ном дви­же­нии ис­точ­ни­ка и при­ём­ни­ка В. на­зы­ва­ет­ся До­п­ле­ра эф­фек­том; этот эф­фект ки­не­ма­ти­че­ский и име­ет ме­сто для В. лю­бой фи­зич. при­ро­ды.

Из­ме­не­ние час­то­ты В. воз­мож­но так­же в про­цес­се их рас­про­стра­не­ния в не­ста­цио­нар­ной сре­де, па­ра­мет­ры ко­то­рой ме­ня­ют­ся во вре­ме­ни. Так, при от­ра­же­нии вол­ны от дви­жу­щей­ся на­встре­чу гра­ни­цы час­то­та от­ра­жён­ной В. по­вы­ша­ется.

Нелинейные волны

Рис. 5. Эволюция простой волны (а), образование «перехлёста» (б) и разрыва ударной волны (в).

При дос­та­точ­но боль­ших ам­пли­ту­дах В. на­чи­на­ют про­яв­лять­ся разл. не­ли­ней­ные эф­фек­ты (см. Не­ли­ней­ная оп­ти­ка, Не­ли­ней­ная аку­с­ти­ка). Так, для по­верх­но­ст­ных В. на мел­кой во­де ско­рость дви­же­ния греб­ней ока­зы­ва­ет­ся боль­ше, чем ско­рость впа­дин, по­это­му по ме­ре их рас­про­стра­нения про­ис­хо­дит ук­ру­че­ние пе­ред­не­го фрон­та, при­во­дя­щее в ко­неч­ном счё­те к их об­ру­ше­нию. По­доб­ная не­ли­ней­ная транс­фор­ма­ция аку­стич. В. при­во­дит к об­ра­зо­ва­нию удар­ной В., а пер­во­на­чаль­но си­ну­сои­даль­ный про­филь на не­ко­то­ром рас­стоя­нии ста­но­вит­ся пи­ло­об­раз­ным (рис. 5).

По­доб­ная транс­фор­ма­ция про­фи­ля В., воз­мож­ная и в др. вол­но­вых сис­те­мах без дис­пер­сии, в т. ч. элек­тро­маг­нит­ных, оз­на­ча­ет по­яв­ле­ние в её спек­тре боль­шо­го чис­ла выс­ших гар­мо­ник. При на­ли­чии за­мет­ной дис­пер­сии об­ра­зо­ва­ние скач­ко­об­раз­ных фрон­тов уже не­воз­мож­но, и не­ли­ней­ная эво­лю­ция В. име­ет бо­лее слож­ный ха­рак­тер, за­ви­ся­щий от со­от­но­ше­ния па­ра­мет­ров не­ли­ней­но­сти и дис­пер­сии. При оп­ре­де­лён­ных ус­ло­ви­ях мо­гут су­ще­ст­во­вать ста­цио­нар­ные бе­гу­щие В., про­филь ко­то­рых при ма­лых ам­пли­ту­дах бли­зок к си­ну­сои­де, а при боль­ших – к по­сле­до­ва­тель­но­сти ко­рот­ких им­пуль­сов. В пре­де­ле бес­ко­неч­но­го пе­рио­да по­лу­ча­ют­ся уе­ди­нён­ные В. – со­ли­то­ны, они име­ют тем мень­шую дли­тель­ность и бо́льшую ско­рость рас­про­стра­не­ния, чем вы­ше их ам­пли­ту­да.

Не­ли­ней­ность мо­жет су­ще­ст­вен­но вли­ять на рас­про­стра­не­ние вол­но­вых пуч­ков. Ес­ли, напр., по­ка­за­тель пре­лом­ле­ния сре­ды $n$ за­ви­сит от ин­тен­сив­но­сти В. $I$ так, что $dn/dI > 0$, то пу­чок со спа­даю­щей к кра­ям ин­тен­сив­но­стью сам соз­да­ёт ус­ло­вия, спо­соб­ст­вую­щие его вол­но­вод­но­му рас­про­стра­не­нию, что мо­жет умень­шить или да­же ском­пен­си­ро­вать ди­фрак­ци­он­ную рас­хо­ди­мость, в ре­зуль­та­те про­ис­хо­дит са­мо­фо­ку­си­ров­ка пуч­ка (см. Са­мо­фо­ку­си­ров­ка све­та). По этой при­чи­не, в ча­ст­но­сти, мощ­ные ла­зер­ные пуч­ки обыч­но ока­зы­ва­ют­ся не­ус­той­чи­вы­ми и рас­па­да­ют­ся на отд. «ни­ти».

Ес­ли в про­стран­ст­ве пе­ре­кры­ва­ют­ся две ин­тен­сив­ные В. (в т. ч. и разл. фи­зич. при­ро­ды), про­ис­хо­дит их не­ли­ней­ное взаи­мо­дей­ст­вие (см. Взаи­мо­дей­ст­вие волн); в ча­ст­но­сти, низ­ко­час­тот­ная В. мо­жет мо­ду­ли­ро­вать вы­со­ко­час­тот­ную. Ес­ли час­то­ты ис­ход­ных В. рав­ны со­от­вет­ст­вен­но $ω_1$ и $ω_2$, в спек­тре по­яв­ля­ют­ся ком­би­на­ци­он­ные час­то­ты $lω_1+mω_2$, где $l$ и $m$ – це­лые чис­ла. Так, при од­но­вре­мен­ном вы­пол­не­нии двух ра­венств: $ω_3=ω_1±ω_2$ и $𝑘_3=𝑘_1±𝑘_2$ (на­зы­вае­мых ус­ло­вия­ми фа­зо­во­го син­хро­низ­ма) про­ис­хо­дит эф­фек­тив­ная ге­не­ра­ция сум­мар­ной или раз­но­ст­ной час­то­ты. При тех же ус­ло­ви­ях воз­мо­жен и об­рат­ный про­цесс – «рас­пад» В. с час­то­той $ω_3$ на две

с час­то­та­ми $ω_1$, $ω_2$; по­доб­ные ре­зо­нанс­ные взаи­мо­дей­ст­вия мо­гут про­ис­хо­дить и с уча­сти­ем че­ты­рёх и боль­ше­го чис­ла В. (см., напр., Взаи­мо­дей­ст­вие све­то­вых волн). Су­ще­ст­вен­ное зна­че­ние не­ли­ней­ные про­цес­сы име­ют в ак­тив­ных сре­дах, в ко­то­рых воз­ни­каю­щие вол­но­вые воз­му­ще­ния не по­гло­ща­ют­ся, а, на­обо­рот, уси­ли­ва­ют­ся (в ча­ст­но­сти в ла­зе­рах). Имен­но не­ли­ней­ные фак­то­ры, на­ря­ду с дис­пер­си­ей, оп­ре­де­ля­ют ам­пли­ту­ду, фор­му и спектр ге­не­ри­руе­мых та­ки­ми сис­те­ма­ми ко­ле­ба­ний. При не­ко­то­рых ус­ло­ви­ях эти ко­ле­ба­ния мо­гут стать не­ре­гу­ляр­ны­ми (хао­ти­че­ски­ми, см. Ди­на­ми­че­ский ха­ос, Ав­то­вол­ны).

Лит.: Го­ре­лик Г. С. Ко­ле­ба­ния и вол­ны. 2-е изд. М., 1959; Ви­но­гра­до­ва М. Б., Ру­ден­ко О. В., Су­хо­ру­ков А. П. Тео­рия волн. 2-е изд. М., 1990; Рыс­кин Н. М., Тру­бец­ков Д. И. Не­ли­ней­ные вол­ны. М., 2000; Тру­бец­ков Д. И., Рож­нев А. Г. Ли­ней­ные ко­ле­ба­ния и вол­ны. М., 2001.

Вернуться к началу