ВО́ЛНЫ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ВО́ЛНЫ, изменения во времени (возмущения) к.-л. физич. параметров среды (полей), распространяющиеся в пространстве и переносящие энергию и информацию. Волновые процессы разл. природы играют исключительно важную роль в природе и жизни человека. Так, поступающая от Солнца на Землю энергия переносится в осн. электромагнитными В. разл. диапазона. Благодаря световому и радиоизлучению мы получаем информацию об удалённых космич. объектах, в т. ч. находящихся «на краю Вселенной». Волновой характер имеют электрич. импульсы, распространяющиеся по нервным волокнам живых организмов (см. Нервный импульс). Микрообъекты, изучаемые в квантовой физике, обладают свойствами не только частиц, но и волн (см. Корпускулярно-волновой дуализм, Волны де Бройля).
Наиболее привычными с древнейших времён являются волны на поверхности жидкости, для которых характерно перемещение колебаний её уровня, хотя сама жидкость в целом может оставаться неподвижной. В объёмах жидкостей и газов могут распространяться продольные упругие волны сжатия и разрежения (акустические волны, в т. ч. звуковые), в которых смещения частиц среды происходят вдоль направления распространения В. (рис. 1а). В твёрдых средах могут существовать также и поперечные В., в которых смещения происходят поперёк направления распространения волны (рис. 1б). Такие В. обоих типов, пронизывающие всю толщу Земли, возникают при землетрясениях. Поперечными являются и изгибные волны в струнах и стержнях. Необходимое условие распространения волновых движений с конечной скоростью – наличие инерции среды и локальной (близкодействующей) связи между изменениями параметров в соседних её точках, приводящей к появлению возвратной силы. Так, в случае продольных В. сжатие среды в некоторой области приводит к повышению давления в ней и передаче движения в соседние области. Упругие волны и волны на поверхности жидкости фактически являются распространяющимся возмущением среды (отклонением от состояния равновесия), однако электромагнитные волны (свет, радиоволны и др.), представляющие собой взаимосвязанные пространственно-временные изменения электрич. и магнитных полей, поперечных к направлению распространения, существуют и в вакууме. Общая теория относительности предсказывает также возможность распространения в вакууме гравитационных волн.
Во всех случаях, когда перенос волновых возмущений от одной точки пространства к другой происходит в результате причинно-следственных связей между полями в этих точках, скорость их распространения не может превышать скорость света $c$ в вакууме. Однако при использовании источников, специально расположенных вдоль некоторой линии, можно создавать возмущения, перемещающиеся вдоль неё со сколь угодно большой (в т. ч. сверхсветовой) скоростью. В чисто кинематич. смысле такие процессы иногда тоже называют В., но при этом не происходит переноса энергии и в динамич. смысле подобный процесс В. не является.
Бегущие волны, фазовая и групповая скорости
Простейшим и типичным примером волновых движений являются бегущие волны, в которых соответствующая динамич. переменная $s$ (напр., давление в звуковой В.) зависит от времени $t$ и одной пространственной координаты $x$ по закону:$$s(x, t) = F(x - vt),$$где $F$ – произвольная функция. Величина $s$ остаётся постоянной при $x-vt=const$, и весь профиль В. перемещается вдоль оси $x$ без искажений со скоростью $v=\Delta x/\Delta t$; такие В. называются стационарными. Значение $v$ зависит от конкретной волновой системы; так, для электромагнитных В. в изотропной непроводящей среде $v=c/(e\mu )^{1/2}$, где $e$ и $\mu $ – диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, а в жидкостях и газах скорость звука определяется их адиабатич. сжимаемостью. Выражение $s(x, t)$ является решением волнового уравнения$$d^2s/dx^2-v^{–2}d^2s/dt^2=0,$$называемого в одномерном случае уравнением Д’Аламбера.
Пространственно-временна́я структура реальных волновых полей может быть разнообразной – в виде отд. импульсов, цугов (ограниченного ряда повторяющихся возмущений) и достаточно близкой к периодической. Особо важное значение имеют и находят широкое применение В., близкие к синусоидальным (называемым гармоническими), когда характеризующая волновое поле динамич. величина описывается выражением:$$s(x,t)=A\sin φ(x,t),\\φ(x,t)=ωt-kx+φ_0,$$где $A$ – амплитуда (наибольшее смещение от положения равновесия), $φ_0$ – начальная фаза волны, $ω=2π/T$ – угловая частота колебаний, $𝑘=2π/λ$ – волновое число, $λ$ – длина волны (расстояние между соседними максимумами или минимумами), $T$ – период (время, за которое совершается полный цикл колебаний). Точки с постоянной фазой $φ (x,t)=const$ (волновой фронт) при этом перемещаются в пространстве с фазовой скоростью $v_ф=ω/𝑘=λ/T$. Имея в виду подобные «бегущие» колебательные структуры, волну иногда определяют как распространяющиеся колебания. Во многих волновых системах значение $v$ различно на разных частотах (имеет место дисперсия волн), зависимость $v(ω)$ или эквивалентное ей соотношение $ω(𝑘)$ называется дисперсионным уравнением. Для электромагнитных В. дисперсия определяется частотной зависимостью параметров $ε$ и $μ$ среды; в вакууме $ε=μ=1$ и дисперсии нет (скорость В. не зависит от их частоты и равна $c$). Для волн в плазме, однако, эта дисперсия весьма существенна. В большинстве жидкостей дисперсия акустич. В. достаточно мала. Длинные поверхностные В. на «мелкой воде» (глубина слоя жидкости $<λ$) распространяются быстрее коротких. Это справедливо и для возникающих при землетрясениях мощных В. – цунами.
В общем случае фазу плоских В. можно записать в виде: $φ(r,t)=ωt-𝑘r$, где $𝑘$ – волновой вектор, перпендикулярный фронту волны, $r$ – радиус-вектор точки пространства.
Используемые на практике В. (сигналы) не являются строго гармоническими: либо амплитуда, либо фаза, либо частота их плавно изменяются в масштабах $T$ и $λ$ (модулируются; см. Модуляция колебаний и волн), причём переносимая сигналом информация кодируется именно законом модуляции. В диспергирующей среде различие фазовых скоростей отд. спектральных составляющих приводит к тому, что огибающая сигнала в общем случае распространяется с т. н. групповой скоростью, отличной от фазовой скорости на несущей частоте $ω$: $v_{гр}=dω/d𝑘=v-λdv/dλ.$
Именно групповая скорость В. представляет собой реальную скорость распространения сигнала, в т. ч. переноса энергии, и релятивистское ограничение относится именно к ней ($v_{гр} < c$); фазовая же скорость В. в принципе может превышать скорость света. Возможны и такие волновые системы, когда фазовая и групповая скорости направлены в противоположные стороны, такие В. называются обратными волнами.
В линейных диспергирующих системах форма огибающей В. остаётся неизменной только на ограниченных расстояниях. На больших расстояниях начинаются искажения; в частности, короткие импульсы начинают расплываться, т. к. разные спектральные составляющие сигнала распространяются с разл. скоростью. На таких расстояниях понятие групповой скорости уже теряет физич. смысл.
Интерференция волн
В. любой природы способны интерферировать. Под интерференцией понимается взаимное усиление или ослабление двух или большего числа В., перекрывающихся в пространстве, в зависимости от соотношения их фаз. Суммарная интенсивность двух гармонических В. с одинаковыми частотами и амплитудами $A_1$ и $A_2$ в области их перекрывания равна $$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos Δφ;$$разность полных фаз волн $Δφ$ различна в разных точках пространства. В тех точках, где $Δφ=0$ (или кратно целому числу $2π$), результирующая амплитуда равна сумме амплитуд ($A=A_1+A_2$), а в точках с противоположными фазами $∣A∣=∣A_2-A_1∣$, при $A_1=A_2$ в этих точках одна волна полностью «гасит» другую. В результате в пространстве образуются поверхности минимумов и максимумов интенсивности колебаний (рис. 2), структура которых зависит от формы фазовых фронтов интерферирующих волн. Фактически это означает перераспределение энергии волнового поля в пространстве. В частности, для двух плоских В. с одинаковыми амплитудами и нулевыми начальными фазами, распространяющихся навстречу друг другу вдоль оси $x$, суммарное поле имеет вид стоячей волны:$$s(x,t)= 2A_1\cos kx\cos wt.$$В точках $x=0$ или $mλ/2$ ($m$ – целое число) расположены «пучности» стоячей В., в них амплитуда максимальна и равна $2A$, на расстоянии $λ/4$ от них находятся «узлы», где амплитуда равна нулю. Для упругих В. узлам волны давления соответствуют пучности колебательной скорости, и наоборот; узлы и пучности электрич. и магнитного полей электромагнитной В. также сдвинуты на $λ/4$. Поэтому в стоячей В. в среднем не происходит направленного переноса энергии.
Для наблюдения интерференционных картин существенное значение имеет когерентность волн. Фазы реальных источников и излучаемых ими В. неизбежно испытывают случайные флуктуации, и если вызванные ими уходы разности фаз $Δφ$ сравнимы или превышают $π/2$, то положения максимумов и минимумов также хаотическим образом будут перемещаться в пространстве. Тогда при инерционном наблюдении интерференционная картина будет размываться. В акустич. и радиодиапазонах обычно этот фактор мало существен, однако в оптич. диапазоне ситуация другая. При использовании естеств. источников света время, в течение которого фазу волны можно считать постоянной, при нормальных условиях составляет всего 10–9–10–10 с. Кроме того, фаза волны испытывает также случайные флуктуации в плоскости фронта В. Поэтому интерференцию света долго не удавалось наблюдать экспериментально, и лишь в нач. 19 в. проблему удалось впервые решить, используя метод разделения источников (см. Интерференция света). С появлением источников когерентного света – лазеров – создание и наблюдение интерференции света не представляет сложности.
Неоднородные среды, преломление и отражение волн
Плоские бегущие В., строго говоря, могут существовать только в однородном пространстве. Когда имеется резкая (в масштабе длины волны $λ$) граница раздела двух сред, возникает отражение волн и преломление волн (их проникновение во вторую среду) (рис. 3). Если падающая В. и сама граница плоские, то плоскими будут прошедшая и отражённая В. Связь параметров этих В. определяется граничными условиями, вытекающими из уравнений динамики соответствующего волнового поля. В частности, для электромагнитных В. – это условия непрерывности тангенциальных компонент векторов напряжённости электрич. и магнитного полей, в случае упругих В. – условия непрерывности давления и колебательного смещения частиц среды по обе стороны от границы. В изотропных средах угол отражения $α_{отр}$ равен углу падения $α_0$, а угол преломления $α_{пр}$ удовлетворяет закону Снелла: $v_2sina_0=v_1sina_{пр}$. Для электромагнитных В. в непроводящей и немагнитной среде коэффициенты отражения и преломления определяются Френеля формулами. Эти коэффициенты оказываются различными для разных поляризаций падающей В. Если вектор напряжённости электрич. поля падающей В. лежит в плоскости падения, то при угле падения $α_0$ таком, что выполняется условие $tga_0=n_2/n_1(n_1, n_2$ – показатели преломления сред), отражённая В. не возникает (см. Брюстера закон), тогда как для другой поляризации (электрич. поле перпендикулярно плоскости падения) отражение есть всегда. В результате при отражении меняется характер поляризации В. В анизотропных средах прошедшие В. разных поляризаций имеют разные углы преломления (см. Двойное лучепреломление). Сильное влияние на отражательную способность материалов оказывает их электрич. проводимость; в частности, большинство металлов являются хорошими отражателями в оптич. и радиодиапазонах.
Последовательные отражения В. в направлении их распространения от двух или большего числа поверхностей могут привести к их волноводному распространению. Волноводы широко применяются в радио- и оптическом диапазонах, а также в акустике. Используя несколько хорошо отражающих поверхностей, можно создавать резонаторы, волновое поле которых замкнуто в ограниченном объёме. Простейший пример такого резонатора для электромагнитных В. (часто применяемый в оптич. диапазоне, в т. ч. в лазерах) – интерферометр Фабри – Перо, представляющий собой систему из двух параллельных зеркал, между которыми устанавливается стоячая волна. При идеально проводящих зеркалах на их поверхностях оказываются узлы электрич. поля, поэтому внутри такого резонатора могут существовать лишь В. с дискретными значениями волнового числа.
Если же среда является плавно неоднородной, то волновое поле можно считать «квазиплоским» – на расстояниях порядка $λ$ изменения амплитуды $A$ и волнового вектора $𝑘$ будут достаточно малыми. В таких случаях широко используется приближение геометрической оптики, в основе которой лежит представление волнового поля в виде набора независимых лучей. В изотропной среде направление луча совпадает с волновым вектором $𝑘$, плавное преломление луча в неоднородной среде называется рефракцией. Термин «геометрическая оптика» обычно используют не только для световых В., но и для В. любой физич. природы (в акустике аналогичное приближение называется геометрической акустикой). Рефракция В. в среде с плавным изменением показателя преломления в поперечном направлении также может привести к волноводному распространению.
Волновые пучки. Дифракция волн
При нормальном падении плоской В. на непрозрачный экран с отверстием $d$ за экраном, согласно законам геометрич. оптики, должен распространяться параллельный пучок шириной $d$ с резкой границей света и тени. Однако независимо от физич. природы В. такой вывод оказывается справедливым только до расстояний от экрана порядка $r < d^2/λ$ (эта область называется ближней зоной). На бо́льших расстояниях пучок начинает искажаться – волновое поле «затекает» в зону геометрич. тени, а в «освещённой» области появляются максимумы и минимумы интенсивности. Эти явления, заключающиеся в отклонении реальных волновых полей от предсказываемых законами геометрич. оптики, называются дифракцией волн. При обратном неравенстве $r ≫ d^2/λ$ (дифракция Фраунгофера) волновой фронт становится локально сферическим с угловой шириной пучка $α=λ/d$. Причина дифракционных искажений пучка заключается в том, что, в отличие от идеальной плоской В., ограниченный по ширине пучок содержит в своём пространственном спектре пакет волновых векторов с угловым разбросом порядка $λ/d$. Для приближённого расчёта дифракционных задач удобен и широко применяется Гюйгенса – Френеля принцип, согласно которому волновое поле в произвольной точке вне источника может быть найдено в виде суперпозиции В. (с учётом их интерференции) от вторичных источников, располагаемых на замкнутой поверхности, окружающей первичный источник; если на пути между первичной (освещающей) волной и точкой наблюдения имеется непрозрачный экран, амплитуда вторичных источников в соответствующих местах принимается равной нулю. На рис. 4 приведена картина, наблюдаемая при дифракции света от края непрозрачного экрана. Острые максимумы, образующиеся при дифракции Фраунгофера, можно формировать, используя дифракционные решётки – периодич. структуры из щелей или отражателей; такие решётки используются в качестве спектральных приборов. В более широком смысле к дифракционным относятся все эффекты, возникающие при распространении В. в средах, содержащих любые неоднородности, в т. ч. малые по сравнению с $λ$.
Дифракция ограничивает предельные возможности различных устройств, использующих волновое излучение, причём естеств. масштабом, определяющим эти пределы, является длина В. Так, слаборасходящийся волновой пучок возможен лишь, если его ширина намного превышает $λ$. Разл. фокусирующие устройства (линзы, зеркала и их комбинации) не могут сфокусировать излучение в область размером, меньшим $λ$ . Разрешающая способность приборов, строящих изображение, в т. ч. оптич. микроскопов, также ограничивается длиной волны, поэтому для получения изображений более мелких структур, размерами меньшими $λ$, используется электронный микроскоп.
Излучение волн. Эффект Доплера
Источниками В. могут служить любые внешние воздействия, выводящие волновую систему (среду, поле) из состояния равновесия; при этом возбуждаемые В. уносят с собой энергию, расходуемую источником. Колеблющееся в упругой среде тело излучает акустические В., источником электромагнитных В. являются переменные токи, т. е. ускоренно движущиеся заряды, напр. электрич. диполь с периодически изменяющимся во времени дипольным моментом. В общем случае энергия излучения распределяется по разл. направлениям неравномерно.
Излучение В. возможно и при равномерном движении тел, движущихся в к.-л. среде со скоростью, превышающей скорость распространения В. в этой среде. Так, движущийся со сверхзвуковой скоростью ($v > v_{зв}$) самолёт или снаряд возбуждает ударные волны, распространяющиеся под углом $θ=arccos(v_ф/v)$ к направлению движения тела (Маха конус). В среде без дисперсии этот конус одинаков для всех частот, в результате на фронте такой волны образуется резкий скачок давления – ударная волна. Такую же природу имеет «носовая волна» на поверхности воды, возникающая при движении судов. Электрич. заряд, движущийся в диэлектрич. среде со сверхсветовой скоростью $v > c/n$, излучает электромагнитные В. (Вавилова – Черенкова излучение). Излучение возможно и при $v < c/n$, если среда неоднородна; напр., когда заряд пересекает границу двух сред (т. н. переходное излучение).
Если источник В. и их приёмник (наблюдатель) неподвижны, то в линейной среде частота принимаемых В. совпадает с частотой источника. Если же источник движется, то частота В., принимаемых неподвижным наблюдателем, зависит от направления движения источника. При движении источника к неподвижному наблюдателю (или наблюдателя к неподвижному источнику) принимаемая частота $ω$ будет больше, чем частота $ω_0$ при неподвижном источнике; при удалении источника от наблюдателя частота принимаемого наблюдателем излучения будет меньше. Такое изменение частоты при взаимном движении источника и приёмника В. называется Доплера эффектом; этот эффект кинематический и имеет место для В. любой физич. природы.
Изменение частоты В. возможно также в процессе их распространения в нестационарной среде, параметры которой меняются во времени. Так, при отражении волны от движущейся навстречу границы частота отражённой В. повышается.
Нелинейные волны
При достаточно больших амплитудах В. начинают проявляться разл. нелинейные эффекты (см. Нелинейная оптика, Нелинейная акустика). Так, для поверхностных В. на мелкой воде скорость движения гребней оказывается больше, чем скорость впадин, поэтому по мере их распространения происходит укручение переднего фронта, приводящее в конечном счёте к их обрушению. Подобная нелинейная трансформация акустич. В. приводит к образованию ударной В., а первоначально синусоидальный профиль на некотором расстоянии становится пилообразным (рис. 5).
Подобная трансформация профиля В., возможная и в др. волновых системах без дисперсии, в т. ч. электромагнитных, означает появление в её спектре большого числа высших гармоник. При наличии заметной дисперсии образование скачкообразных фронтов уже невозможно, и нелинейная эволюция В. имеет более сложный характер, зависящий от соотношения параметров нелинейности и дисперсии. При определённых условиях могут существовать стационарные бегущие В., профиль которых при малых амплитудах близок к синусоиде, а при больших – к последовательности коротких импульсов. В пределе бесконечного периода получаются уединённые В. – солитоны, они имеют тем меньшую длительность и бо́льшую скорость распространения, чем выше их амплитуда.
Нелинейность может существенно влиять на распространение волновых пучков. Если, напр., показатель преломления среды $n$ зависит от интенсивности В. $I$ так, что $dn/dI > 0$, то пучок со спадающей к краям интенсивностью сам создаёт условия, способствующие его волноводному распространению, что может уменьшить или даже скомпенсировать дифракционную расходимость, в результате происходит самофокусировка пучка (см. Самофокусировка света). По этой причине, в частности, мощные лазерные пучки обычно оказываются неустойчивыми и распадаются на отд. «нити».
Если в пространстве перекрываются две интенсивные В. (в т. ч. и разл. физич. природы), происходит их нелинейное взаимодействие (см. Взаимодействие волн); в частности, низкочастотная В. может модулировать высокочастотную. Если частоты исходных В. равны соответственно $ω_1$ и $ω_2$, в спектре появляются комбинационные частоты $lω_1+mω_2$, где $l$ и $m$ – целые числа. Так, при одновременном выполнении двух равенств: $ω_3=ω_1±ω_2$ и $𝑘_3=𝑘_1±𝑘_2$ (называемых условиями фазового синхронизма) происходит эффективная генерация суммарной или разностной частоты. При тех же условиях возможен и обратный процесс – «распад» В. с частотой $ω_3$ на две
с частотами $ω_1$, $ω_2$; подобные резонансные взаимодействия могут происходить и с участием четырёх и большего числа В. (см., напр., Взаимодействие световых волн). Существенное значение нелинейные процессы имеют в активных средах, в которых возникающие волновые возмущения не поглощаются, а, наоборот, усиливаются (в частности в лазерах). Именно нелинейные факторы, наряду с дисперсией, определяют амплитуду, форму и спектр генерируемых такими системами колебаний. При некоторых условиях эти колебания могут стать нерегулярными (хаотическими, см. Динамический хаос, Автоволны).
-
Рис. 1. Продольная (а) и поперечная (б) волны. -
Рис. 2. Интерференция волн от двух точечных источников. -
Рис. 3. Отражённая и преломлённая волны на плоской границе раздела двух сред. -
Рис. 4. Вверху – дифракция света от края экрана (виден сложный переход от света к тени); внизу – кривая, характеризующая освещённость пространства между светом и тенью (край экрана соответствует началу координат). -
Рис. 5. Эволюция простой волны (а), образование «перехлёста» (б) и разрыва ударной волны (в).
