БЕСКОНЕ́ЧНОСТЬ

БЕСКОНЕ́ЧНОСТЬ (бес­ко­неч­ное), фи­лос. по­ня­тие, обо­зна­чаю­щее без­гра­нич­ность и бес­пре­дель­ность как в бы­тий­ст­вен­ном, так и в по­зна­ват. смыс­ле. Во­прос о Б. воз­ни­ка­ет на всём про­тя­же­нии ис­то­рии куль­ту­ры в са­мых раз­но­об­раз­ных фор­мах. Од­на из не­по­средств. про­блем – про­бле­ма Б. (или ко­неч­но­сти) ми­ро­во­го про­стран­ст­ва, вре­ме­ни, ко­ли­че­ст­ва ве­щей в ми­ре. Сю­да же от­но­сит­ся во­прос о воз­мож­но­сти бес­ко­неч­но­го де­ле­ния кон­ти­нуу­ма, вы­де­ле­ния в нём то­чек. Во­прос о ло­ги­че­ской и он­то­ло­гич. при­ро­де Б., о её ста­ту­се в Бо­ге и в твар­ном ми­ре по­лу­чал раз­ные ре­ше­ния и обос­но­ва­ния в фи­ло­со­фии, ис­то­рии нау­ки и бо­го­сло­вии.

Актуальная и потенциальная бесконечность

Рус. сло­во «бес­ко­неч­ное» име­ет смысл от­ри­ца­ния: бес-ко­неч­ное есть не ко­неч­ное (ана­ло­гич­но лат. infinitum). Но это от­ри­ца­ние мож­но по­ни­мать дво­яко: или как ча­ст­ное от­ри­ца­ние – то, что мо­жет пре­взой­ти лю­бое ко­неч­ное, или как пол­ное от­ри­ца­ние – то, что ак­ту­аль­но пре­вос­хо­дит лю­бое ко­неч­ное. Уже в схо­ла­сти­ке 13–14 вв. (В. Шер­вуд, В. Хей­тес­бе­ри) осоз­на­ёт­ся это раз­ли­чие, из схо­ла­сти­ки же (Гри­го­рий из Ри­ми­ни) про­ис­хо­дит и на­име­но­ва­ние этих двух раз­ных под­хо­дов к бес­ко­неч­но­му – по­тен­ци­аль­ная и ак­ту­аль­ная Б. Это раз­ли­че­ние бы­ло ис­ход­ным пунк­том и у соз­да­те­ля мно­жеств тео­рии – Г. Кан­то­ра. Б. мож­но по­ни­мать или как про­цесс – как уве­ли­че­ние, напр., на­ту­раль­ных чи­сел, уд­вое­ние дли­ны от­рез­ка, ли­бо, на­обо­рот, как умень­ше­ние, де­ле­ние дан­но­го от­рез­ка на всё бо­лее мел­кие час­ти, – или как ак­ту­аль­но дан­ное за­кон­чен­ное мно­же­ст­во (или ве­ли­чи­ну). Б. как про­цесс не яв­ля­ет­ся, по Кан­то­ру, Б. в собств. смыс­ле: в ка­ж­дой фа­зе это­го про­цес­са, хо­тя и без­гра­нич­но­го, мы име­ем де­ло лишь с ко­неч­ной ве­ли­чи­ной, а в це­лом – с пе­ре­мен­ной ко­неч­ной ве­ли­чи­ной. Эта «не­соб­ст­вен­ная бес­ко­неч­ность» и на­зы­ва­ет­ся по­тен­ци­аль­ной Б. Ес­ли же рас­смат­ри­вать бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во как не­что це­лое, ак­ту­аль­но дан­ное, не свя­зан­ное ни с ка­ким про­цес­сом, напр., мно­же­ст­во всех на­ту­раль­ных чи­сел или за­вер­шён­ный ре­зуль­тат бес­ко­неч­но­го де­ле­ния от­рез­ка на бо­лее мел­кие час­ти (как бы ни па­ра­док­саль­но бы­ло пред­по­ло­же­ние по­доб­но­го рас­смот­ре­ния), то в этом слу­чае речь идёт о соб­ст­вен­но бес­ко­неч­ном, или об ак­ту­аль­ной Б. За­слу­гой Кан­то­ра бы­ла его кри­ти­ка имею­щих ты­ся­че­лет­нюю ис­то­рию ар­гу­мен­тов про­тив су­ще­ст­во­ва­ния Б., ос­но­ван­ных не­ред­ко на сме­ше­нии ак­ту­аль­ной и по­тен­ци­аль­ной Б.

Бесконечность в истории философии

Ан­тич­ная мысль в осн. рас­смат­ри­ва­ет Б. как не­что не­оформ­лен­ное, «не став­шее» и, сле­до­ва­тель­но, не­со­вер­шен­ное. В пи­фа­го­рей­ском спи­ске про­ти­во­по­лож­но­стей бес­ко­неч­ное сто­ит на сто­ро­не дур­но­го (зло­го). Бы­тие в ан­тич­ной мыс­ли свя­за­но с ка­те­го­ри­ей ме­ры и пре­де­ла. Б. вы­сту­па­ет как бес­пре­дель­ное, без­гра­нич­ное (греч. άπειρον ), поч­ти не су­ще­ст­вую­щее (греч. μή ὂν) и, сле­до­ва­тель­но, как не­что близ­кое к хао­су, а ино­гда и ото­жде­ст­в­ля­ет­ся с ним. Бес­ко­неч­ное сбли­жа­ет­ся у Пла­то­на и Ари­сто­те­ля с ма­те­ри­ей как бес­фор­мен­ным и в си­лу это­го как бы не­су­ще­ст­вую­щим. Бы­тие ве­щи дос­тав­ля­ет­ся иде­ей (или фор­мой), ко­то­рая ог­ра­ни­чи­ва­ет бес­ко­неч­ное, осу­ще­ст­в­ляя «впи­сы­ва­ние» ве­щи в упо­ря­до­чен­ное един­ст­во кос­мо­са.

Для Ари­сто­те­ля Б. су­ще­ст­ву­ет толь­ко по­тен­ци­аль­но, как воз­мож­ность без­гра­нич­но­го из­ме­не­ния; не су­ще­ст­ву­ет ни ак­ту­аль­но бес­ко­неч­но­го те­ла (ко­не­чен сам кос­мос), ни бес­ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти при­чин (т. к. в про­тив­ном слу­чае, по Ари­сто­те­лю, от­сут­ст­во­ва­ла бы пер­во­на­чаль­ная ис­тин­ная при­чи­на дви­же­ния). Ак­ту­аль­ная Б. не да­на ни чув­ст­вам, ни уму. По­тен­ци­аль­ная Б. реа­ли­зу­ет­ся у Ари­сто­те­ля для чи­сел в на­прав­ле­нии воз­рас­та­ния – на­ту­раль­ный ряд, а для ве­ли­чин – в на­прав­ле­нии убы­ва­ния: по­тен­ци­аль­но бес­ко­неч­ное де­ле­ние дан­но­го от­рез­ка. Ан­тич­ная ма­те­ма­ти­ка то­же мыс­лит свои «пря­мые» и «плос­ко­сти» как ко­неч­ные, хо­тя и про­из­воль­но боль­шие от­рез­ки или кус­ки плос­ко­стей (в от­ли­чие от но­во­ев­роп. ма­те­ма­ти­ки, в ко­то­рой уже с 17 в. на­чи­на­ют рас­смат­ри­вать бес­ко­неч­ные пря­мые, напр., в про­ек­тив­ной гео­мет­рии).

В не­оп­ла­то­низ­ме не без влия­ния вост. мис­ти­ки скла­ды­ва­ет­ся по­ло­жи­тель­ное по­ни­ма­ние Б. В ие­рар­хии бы­тия у Пло­ти­на Ум пред­ста­ёт бес­ко­неч­но мо­гу­ще­ст­вен­ным, и всё су­щее рас­по­ла­га­ет­ся ме­ж­ду ак­ту­аль­ной Б. Ума и по­тен­ци­аль­ной Б. ме­о­наль­ной ма­те­рии, ли­шён­ной гра­ниц и фор­мы и по­лу­чаю­щей свои оп­ре­де­ле­ния толь­ко че­рез «от­ра­же­ния» со­вер­шенств выс­ше­го бы­тия.

Пе­ре­лом в по­ни­ма­нии Б. про­ис­хо­дит с ут­вер­жде­ни­ем в ев­роп. куль­ту­ре хри­сти­ан­ст­ва: не толь­ко Бог пред­ста­ёт ак­ту­аль­но бес­ко­неч­ным, но и тво­ре­ние, в осо­бен­но­сти че­ло­век как «об­раз Бо­жий», не­сёт на се­бе (в оп­ре­де­лён­ной ме­ре) от­пе­ча­ток со­вер­шенств Твор­ца. Од­на­ко про­ис­хо­дит это не сра­зу. Ещё у Аль­бер­та Ве­ли­ко­го и Фо­мы Ак­вин­ско­го пол­но­стью гос­под­ству­ют ари­сто­те­лев­ские за­пре­ты: в ми­ре не мо­жет су­ще­ст­во­вать ак­ту­аль­ная Б. Ре­шаю­щую роль в ут­вер­жде­нии те­зи­са об ак­ту­аль­ном су­ще­ст­во­ва­нии бес­ко­неч­но­го сыг­ра­ла ср.-век. мис­ти­ка с её осо­бым под­чёр­ки­ва­ни­ем зна­че­ния во­ли в по­зна­нии. Дунс Скот счи­тал, что че­ло­ве­че­ская ду­ша, спо­соб­ная вос­при­ни­мать Бо­же­ст­вен­ную бла­го­дать, т. е. са­мо­го бес­ко­неч­но­го Бо­га, об­ла­да­ет не­кой бес­ко­неч­ной вос­при­ни­маю­щей спо­соб­но­стью. Май­стер Эк­харт учил, что в глу­би­не че­ло­ве­че­ской ду­ши име­ет­ся не­твар­ная Бо­же­ст­вен­ная «ис­кор­ка» и, как со­при­род­ная Бо­гу, эта «ис­кор­ка», ес­те­ст­вен­но, ак­ту­аль­но бес­ко­неч­на. В уче­нии Ни­ко­лая Ку­зан­ско­го о сов­па­де­нии аб­со­лют­но­го мак­си­му­ма и аб­со­лют­но­го ми­ни­му­ма бес­ко­неч­ное, аб­со­лют­ный мак­си­мум, ста­но­вит­ся «аде­к­ват­ной ме­рой» всех ко­неч­ных ве­щей. По­ни­ма­ние со­от­но­ше­ния бес­ко­неч­но­го и ко­неч­но­го прин­ци­пи­аль­но ме­ня­ет­ся по от­но­ше­нию к ан­тич­но­му тол­ко­ва­нию: ес­ли для по­след­не­го всё ко­неч­ное бы­ло ак­ту­аль­ным, а бес­ко­неч­ное вы­сту­па­ло лишь как по­тен­ци­аль­ное, то для Ни­ко­лая Ку­зан­ско­го, на­обо­рот, лю­бая ко­неч­ная вещь вы­сту­па­ет как по­тен­ци­аль­ное ог­ра­ни­че­ние ак­ту­аль­но бес­ко­неч­но­го бы­тия Бо­же­ст­вен­ной воз­мож­но­сти. В рам­ках пан­теи­стич. фи­ло­со­фии Б. Спи­но­зы не че­рез пре­дел, не че­рез ог­ра­ни­че­ние бес­фор­мен­ной ма­те­рии ве­щи по­лу­ча­ют своё бы­тие, а от бес­ко­неч­ной бо­же­ст­вен­ной суб­стан­ции-при­ро­ды, внут­ри ко­то­рой са­мо­оп­ре­де­ле­ние ве­щей вы­сту­па­ет как час­тич­ная не­га­ция («ка­ж­дое оп­ре­де­ле­ние есть от­ри­ца­ние»); ат­ри­бу­ты этой суб­стан­ции – про­тя­жён­ность и дли­тель­ность – так­же бес­ко­неч­ны. Фи­лос.-бо­го­слов­ская кон­цеп­ция Ни­ко­лая Ку­зан­ско­го слу­жит так­же ос­но­ва­ни­ем пред­став­ле­ний и о Б. Все­лен­ной: то, что со­дер­жит­ся в Бо­ге «в свёр­ну­том ви­де», мир «раз­во­ра­чи­вает» в про­ст­ран­ст­ве и вре­ме­ни; хо­тя мир не яв­ля­ет­ся бес­ко­неч­ным в том же смыс­ле, что и Бог, – мир не есть всё, что мо­жет быть, – тем не ме­нее про­стран­ст­вен­ная про­тя­жён­ность ми­ра и вре­мя его су­ще­ст­во­ва­ния не мо­гут быть ко­неч­ны­ми, по­то­му что они «вы­ра­жа­ют» Б. Бо­га. Пе­ре­смотр Н. Ко­пер­ни­ком гео­цен­трич. сис­те­мы ми­ра и по­ле­мич. та­лант Дж. Бру­но (диа­лог «О бес­ко­неч­но­сти, все­лен­ной и ми­рах», 1584) по­мог­ли это­му те­зи­су Ни­ко­лая Ку­зан­ско­го стать в выс­шей сте­пе­ни по­пу­ляр­ным к 18 в.

Со­глас­но Р. Де­кар­ту, хо­тя и «не­до­пус­ти­мо рас­су­ж­дать о бес­ко­неч­ном, но сле­ду­ет про­сто счи­тать бес­пре­дель­ны­ми ве­щи, у ко­то­рых мы не ус­мат­ри­ва­ем ни­ка­ких гра­ниц, – та­ко­ва про­тя­жён­ность ми­ра, де­ли­мость час­тей ма­те­рии, чис­ло звёзд и т. д.» («Пер­во­на­ча­ла фи­ло­со­фии», ч. 1); бес­ко­неч­на че­ло­ве­че­ская во­ля, яв­ляю­щая­ся су­ще­ст­вен­ным при­зна­ком об­раза Божь­е­го в че­ло­ве­ке. В 17 в. наи­бо­лее убе­ж­дён­ным за­щит­ни­ком су­ще­ст­во­ва­ния ак­ту­аль­ной Б. вы­сту­па­ет Г. В. Лейб­ниц: ак­ту­аль­но бес­ко­неч­но ко­ли­че­ст­во суб­стан­ций – мо­над – в уни­вер­су­ме; ка­ж­дая час­ти­ца ма­те­рии пред­став­ля­ет со­бой так­же ак­ту­аль­но бес­конеч­ную со­во­куп­ность мо­над; в свою оче­редь ка­ж­дая мо­на­да пред­став­ля­ет в сво­их вос­при­яти­ях весь уни­вер­сум, бес­ко­неч­ный как в про­стран­ст­ве, так и во вре­ме­ни. Это при­во­дит Лейб­ни­ца в пси­хо­ло­гии к фор­му­ли­ров­ке кон­цеп­ции бес­ко­неч­но ма­лых («под­соз­на­тель­ных») вос­при­ятий, а в ма­те­ма­ти­ке – к осо­бо­му по­ни­ма­нию струк­ту­ры про­стран­ст­вен­ного кон­ти­нуу­ма и, на­ко­нец, к соз­да­нию диф­ферен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ний.

В «Кри­ти­ке чис­то­го ра­зу­ма» И. Кан­та не­воз­мож­ны ни бес­ко­неч­ное чис­ло, ни бес­ко­неч­ная ве­ли­чи­на, мир в от­но­ше­нии сво­их про­стран­ст­вен­ных и вре­мен­ны́х ха­рак­те­ри­стик вы­сту­па­ет ни как ко­неч­ный, ни как бес­ко­неч­ный, а как in­de­fi­nitum – не­оп­ре­де­лён­ный. У И. Г. Фих­те, по-сво­ему раз­ра­ба­ты­вав­ше­го идею Май­сте­ра Эк­хар­та о при­ча­ст­но­сти че­ло­ве­че­ско­го ду­ха к бо­же­ст­вен­ной сущ­но­сти, вся при­ро­да вы­сту­па­ет уже как блед­ное от­ра­же­ние ис­тин­ной Б., за­клю­чён­ной в аб­со­лют­ном Я; в про­цес­се его дея­тель­но­сти про­ис­хо­дит ста­нов­ле­ние це­лой по­сле­до­ва­тель­но­сти ми­ров, и в этой от ве­ка су­щей по­тен­ци­аль­но бес­ко­неч­ной дея­тель­но­сти бо­же­ст­вен­ная при­ро­да аб­со­лют­но­го Я всё яс­нее при­хо­дит к осоз­на­нию сво­ей ак­ту­аль­ной Б. У Г. В. Ф. Ге­ге­ля ко­неч­ное и бес­ко­неч­ное яв­ля­ют­ся лишь дву­мя тер­ми­на­ми в его диа­лек­тич. триа­де. Про­стое от­ри­ца­ние ко­неч­но­го да­ёт лишь «дур­ную бес­ко­неч­ность»: ни­ко­гда не за­вер­шаю­щий­ся пе­ре­ход от од­но­го ко­неч­но­го к дру­го­му; в ис­тин­но же бес­ко­неч­ном долж­ны быть диа­лек­ти­че­ски сня­ты оба со­от­не­сён­ных мо­мен­та. Та­ко­вым пред­ста­ёт у Ге­ге­ля аб­со­лют­ный дух, ко­то­рый од­но­вре­мен­но и ак­ту­аль­но бес­ко­не­чен, и осу­ще­ст­в­ля­ет своё раз­ви­тие че­рез мир ко­неч­ных ду­хов.

Не очень удач­ную по­пыт­ку оп­ро­верг­нуть тра­диц. воз­ра­же­ния про­тив ак­ту­аль­ной Б. пред­при­нял Б. Боль­ца­но в «Па­ра­док­сах бес­ко­неч­но­го» (1851, рус. пер. 1911).

Ис­поль­зо­ва­ние в но­во­ев­роп. ма­те­ма­ти­ке и нау­ке ме­то­дов диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ний, опи­раю­щих­ся на кон­цеп­цию ак­ту­аль­ной Б., по­сто­ян­но ста­ви­ло пе­ред фи­ло­со­фа­ми во­прос о ста­ту­се это­го по­ня­тия. Ог­ром­ное зна­че­ние име­ло для фи­ло­со­фии по­строе­ние Г. Кан­то­ром тео­рии мно­жеств как свое­об­раз­но­го «ис­чис­ле­ния бес­ко­неч­но­стей» (по­пыт­ка раз­де­лить сфе­ры Б.: в Бо­ге – Аб­со­лют, в ми­ре – Транс­фи­нит и в че­ло­ве­че­ском уме – тео­рия транс­фи­нит­ных чи­сел). Фи­лос. дис­кус­сии 20 в. во­круг про­блем Б. со­от­но­сят­ся с тео­ри­ей мно­жеств и про­бле­мой ос­но­ва­ний ма­те­ма­ти­ки. Та­ко­вы, напр., фе­но­ме­но­ло­гич. под­ход к про­бле­мам тео­рии мно­жеств у О. Бек­ке­ра («Ma­thematische Existenz», 1927), ин­тер­пре­та­ция про­блем тео­рии мно­жеств как вы­ра­же­ния клас­сич. кон­флик­та ме­ж­ду ари­сто­те­лев­ским кон­цеп­туа­лиз­мом и пла­то­ни­ст­ской тра­ди­ци­ей в ма­те­ма­ти­ке у Л. Брюн­сви­ка («Les éta­pes de la philo­sophie mathématique», 1912) и др. Осо­зна­ние па­ра­док­саль­ной при­ро­ды кан­то­ров­ской шка­лы бес­ко­неч­но­стей (па­ра­докс Бу­ра­ли – Фор­ти и др.), осу­ще­ст­в­лён­ное К. Гё­де­лем и П. Ко­эном до­ка­за­тель­ст­во не­пол­но­ты лю­бой дос­та­точ­но бо­га­той ло­гич. тео­рии оп­ре­де­ли­ли по­ни­ма­ние гра­ниц тео­рии мно­жеств в ис­тол­ко­ва­нии Б. Как пи­сал чеш. ма­те­ма­тик П. Во­пен­ка: «Тео­рия мно­жеств, уси­лия ко­то­рой бы­ли на­прав­ле­ны на ак­туа­ли­за­цию по­тен­ци­аль­ной бес­ко­неч­но­сти, ока­за­лась не­спо­соб­ной по­тен­ци­аль­ность уст­ра­нить, а толь­ко смог­ла пе­ре­мес­тить её в бо­лее вы­со­кую сфе­ру» (Во­пен­ка П., «Ма­те­ма­ти­ка в аль­тер­на­тив­ной тео­рии мно­жеств», 1983, с. 124).

Ис­то­рия ос­вое­ния кон­цеп­ции Б. в ев­ропейской куль­ту­ре сви­де­тель­ст­ву­ет о не­обы­чай­ной слож­но­сти это­го по­ня­тия, ко­то­рое вы­сту­па­ет од­ним из основных мо­мен­тов диа­ло­га нау­ки, фи­ло­со­фии и ре­ли­гии.