Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

Э́ЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРА́ЛЫ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 35. Москва, 2017, стр. 232

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Э́ЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРА́ЛЫ, ин­те­гра­лы вида $$B(a,b)=\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx\tag{1}$$ (Э. и. 1-го ро­да, или бе­та-функ­ция) и $$Γ(a)=\int_{0}^{\infty} x^{a-1}e^{-x}dx\tag{2}$$ (Э. и. 2-го ро­да, или гам­ма-функ­ция).

Э. и. 1-го ро­да изу­чал­ся Л. Эй­ле­ром в 1730–31, ра­нее рас­смат­ри­вал­ся И. Нью­то­ном и Дж. Вал­ли­сом; Э. и. 2-го ро­да рас­смат­ри­вал­ся Эй­ле­ром в 1729–30 в фор­ме, эк­ви­ва­лент­ной фор­му­ле (2); са­ма фор­му­ла (2) встре­ча­ет­ся у не­го в 1781 (опубл. в 1794); назв. «Э. и.» да­но А. Ле­жан­дром.

Э. и. по­зво­ля­ют обоб­щить по­ня­тия би­но­ми­аль­ных ко­эф­фи­ци­ен­тов $C_n^m$ и фак­то­риа­ла $n!$, ибо ес­ли $a$,$b$ – на­ту­раль­ные чис­ла, то$$B(a,b)=\frac{1}{bC_{a+b-1}^{a-1}},\,Γ(a+1)=a!$$Ин­те­гра­лы (1) и (2) аб­со­лют­но схо­дят­ся, ес­ли $a$ и $b$ по­ло­жи­тель­ны, и не су­щест­ву­ют, ес­ли $a$ и $b$ от­ри­ца­тель­ны. Спра­вед­ли­вы со­от­но­ше­ния$$B(a,b)=B(b,a),\,B(a,b)=\frac{Γ(a)Γ(b)}{Γ(a+b)};$$по­след­нее сво­дит изу­че­ние бе­та-функ­ции к изу­че­нию гам­ма-функ­ции. Су­ще­ст­ву­ет ряд со­от­но­ше­ний ме­ж­ду Э. и. при разл. зна­че­ни­ях ар­гу­мен­тов, обоб­щаю­щих со­от­вет­ст­вую­щие со­от­но­ше­ния ме­ж­ду би­но­ми­аль­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми. Э. и. мож­но рас­смат­ри­вать и при ком­плекс­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­тов. Э. и. встре­ча­ют­ся во мно­гих во­про­сах тео­рии спе­ци­аль­ных функ­ций, к ним сво­дят­ся мно­гие оп­ре­де­лён­ные ин­те­гра­лы, не вы­ра­жае­мые эле­мен­тар­но. Э. и. на­зы­ва­ют так­же ин­те­грал$$\int_0^1 u^{b-1}(1-u)^{c-b-1}(1-xu)^{-a}du=\\=\frac{Γ(b)Γ(c-b)}{Γ(c)}F(a,b,c,x),$$вы­ра­жаю­щий ги­пер­гео­мет­ри­че­скую функ­цию $F(a,b,c,x)$.

Лит.: Град­штейн И. С., Ры­жик И. М. Таб­ли­цы ин­те­гра­лов, сумм, ря­дов и про­из­ве­де­ний / При уча­стии Ю. В. Ге­ро­ни­му­са, М. Ю. Цейт­ли­на. 5-e изд. М., 1971.

Вернуться к началу