Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ЭЛЛИПТИ́ЧЕСКИЙ ИНТЕГРА́Л

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 35. Москва, 2017, стр. 358

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ЭЛЛИПТИ́ЧЕСКИЙ ИНТЕГРА́Л, ин­те­грал ви­да$$\int_{z_1}^{z_2} R(z,w)dz,$$где $R(z, w)$ – ра­цио­наль­ная функ­ция от пе­ре­мен­ных $z$ и $w$, свя­зан­ных ал­геб­ра­ич. урав­не­ни­ем $$w^2=f(z)=a_0+z^4+a_1z^3+a_2z^2+a_3z+a_4,$$ в ко­то­ром $f(z)$ мно­го­член 3-й или 4-й сте­пе­ни без крат­ных кор­ней. При этом обыч­но под­ра­зу­ме­ва­ет­ся, что этот ин­те­грал нель­зя вы­ра­зить че­рез од­ни толь­ко эле­мен­тар­ные функ­ции; в том слу­чае, ко­гда та­кое вы­ра­же­ние воз­мож­но, он на­зы­ва­ет­ся псев­до­эл­лип­ти­че­ским ин­те­гра­лом. При­ме­ром Э. и. яв­ля­ет­ся Э. и. пер­во­го ро­да в нор­маль­ной фор­ме Ле­жан­д­ра$$\int_0^z \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}},$$он на­зы­ва­ет­ся так­же не­пол­ным Э. и. пер­во­го ро­да.

На­зва­ние «Э. и.» свя­за­но с тем, что впер­вые они поя­ви­лись при спрям­ле­нии ду­ги эл­лип­са и др. кри­вых 2-го по­ряд­ка в ра­бо­тах кон. 17 – нач. 18 вв. Боль­шой вклад в тео­рию Э. и. вне­сли И. и Я. Бер­нул­ли и Л. Эй­лер.

Лит.: Бе­ля­ков В. М., Крав­цо­ва Р. И., Рап­по­порт М. Г. Таб­ли­цы эл­лип­ти­че­ских ин­те­гра­лов. М., 1962–1963. Т. 1–2; Ян­ке Е., Эм­де Ф., Лёш Ф. Спе­ци­аль­ные функ­ции: Фор­му­лы, гра­фи­ки, таб­ли­цы. 3-е изд. М., 1977.

Вернуться к началу